1、信息安全数学基础 -环和域,计算机科学与技术系 王常远 13980688127 184780948,环的定义,环(Ring) : 一个非空集合S上有两种运算：加法“+”和乘法“”，如果这两种运算满足以下性质，就称为环：(R, +)是一个交换群，加法单位元记为0（称为零元）；R关于乘法“”满足结合律: (ab) c=a (bc), 并有单位元, 记为1；分配律成立: (a+b) c=ac+bc, c (a+b)=ca+cb. 注： 0是抽象的写法，不同于整数中的0.“+”和“”是抽象的运算,环的例子（1）,在通常的加法和乘法运算下，Z, Q, R 和 C都是环，加法单位元为0，乘法单位元为1。
2、,环的例子（2）,对任意n0，在模n加法和模n乘法下，Zn是一个环。加法单位元为0，乘法单位元为1。,环的例子 (3),多项式环 Zx,环中的零元,对于环中的任意元素a, 都有0a=a0=0一般地，0与1不相等，否则1a=a, 而0a=0，这表明环中只有一个元素，平凡情形，一般不考虑所以0关于乘法没有可逆元,环的几个性质,设R是一个环, a,b R, 有: a(-b)=(-a)b=-(ab) (-a)(-b)=ab,交换环,类似于交换群的定义，如果一个环关于乘 法运算具有可交换性，就称它为交换环。,无零因子环,设R是一个环, 如果存在a,bR, a0, b0, 但ab=0, 那么称R是有零因子
3、环, 否则称R是无零因子环.ab=0 a=0或b=0.,无零因子环的性质,性质1. 设R是无零因子环, 那么 若a0, ab=ac, 则b=c; 若a0, ba=ca, 则b=c.,性质2. 设R是无零因子环, 那么 R中非零元的加法阶相等, 或者为, 或者为素数.,子环、理想和商环,子环(subring),设R是一个环, S是R的非空子集, 如果S关于R的运算也构成环, 则称S是R的子环.,理想(Ideal),设R是一个环, I是R的一个子环, 如果a I , rR, 有ra R, ar R,则称I是R的一个理想.,理想的例子,Fx为数域F上的一元多项式环, I=a1x+a2x2+anxn|
4、aiF, n N,即I是由所有常数项为0的多项式构成的集合,则I是Fx的理想.,主理想,由R中一个元素a生成的理想称为主理想.,商环,设I是环R的理想, 在加法商群R/I上定义如下乘法(x+I)(y+I) = (x+y) +I则R/I关于加法和乘法构成一个环.,环同态,设R和R是两个环, f是R到R的一个映射, 如果a,bR, 均有f(a+b)=f(a)+f(b), f(ab)=f(a)f(b),那么称f是R到R的环同态映射. 如果f是满射, 那么称R和R同态;如果f是双射,那么称R和R同构.,类似的有环同态基本定理,概念的类比,域的定义,域(Field),非空集合F，若F中定义了加和乘两种运
5、算，且满足： 1) F关于加法构成阿贝尔群，加法恒等元记为0 2) F中所有非零元素对乘法构成阿贝尔群，乘法恒等元记为1 3) 加法和乘法之间满足分配律 则F与这两种运算构成域 每一个非零元都是可逆元的有单位元的交换环 如实数域复数域有理数域,域的例子（1）,在通常的加法和乘法运算下，Q, R 和 C都是域。,域的例子（2）,令p是一个素数，在模p加法和模p乘法运算下，Zp是一个域. 也记为Fp或者GF (p).,注意：整数环Z不是域；当n是合数时，Zn不是域。有限群、子群、商群和群的阶的概念可以直接推广到环和域中。,域的特征,F是域，其特征char(F)定义为单位元1的加法阶, 即使得 的最
6、小自然数n，如果不存在这样的自然数，那么记char(F) =.,性质：如果char(F)有限，那么一定是素数.,域的例子（3）,构造方法,域上的多项式环不可约多项式,利用不可约多项式构造有限域,Z Zp,Fx Fx/f(x),Fp=Zp,p为素数,F为p阶有限域 f 为n次不可约多项式,Fx/f(x)为pn阶有限域,域上的多项式的带余除法,设F是一个域，f, g是Fx中的两个多项式，且g不为0，类似于整数的除法：f=gq+r， 其中，q, r是Fx中的两个多项式，且deg(r)deg(g).,带余除法的例子,f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1F2xg(x)=x3+x+1F2xq=x2+x
7、, r=x2+1,不可约多项式,定义:设F是一个域，f(x) Fx, f(x)的次数为正数，若f(x)=g(x)h(x)，其中f(x) ,h(x) Fx, 则g(x)和h(x)中必有一个为常数多项式, 那么称f(x)是不可约的.,注意：多项式的可约性依赖于该多项式定义在什么样的代数结构上. 一个多项式在一种代数结构上不可约，但可能在另一种代数结构上就是可约的.,例,对于二次多项式f(x)=x2 - 2x+2：. （1）在复数域上可约；（2）在实数域上不可约；（3）在F3上不可约.,利用不可约多项式构造域,定义: Fx是域F上的多项式环, f,g,rFx, g0, 满足f = gq + r, d
8、eg(r)deg(g), 称r为f除以g的余式, 记为rf (mod g).考虑Fx中所有多项式模g(x)的余式, 将这些集合称为Fx模g(x)的多项式, 记为Fx/g(x).,利用不可约多项式构造域,令F是一个域，f(x)是Fx中的一个非零多项式，那么Fx/f(x)是一个环，当且仅当 f(x)在F上不可约时， Fx/f(x)是一个域.,f(x)是Fx中的一个不可约多项式， 当F是域时， Fx/f(x)是一个域. 将f(x)称为域Fx/f(x)的定义多项式.,定理,令F为含有p个元素的域，f(x)是F上的n次不可约多项式，那么域Fx/f(x)中元素的个数是pn. Fx/f(x)是Fx中所有次数
9、小于deg(f)=n、系数取遍F中所有p个元素的多项式全体构成的集合. 共有pn个这样的多项式.,注意：在此定理中，并没有假设p是素数，事实上，F可以是任意域，称Fx/f(x)为由基域F通过域扩张得到的扩域.,Pn 阶域的存在性,Zp是阶为p的域； 对任意的有限域F和任意的正整数n，Fx中一定存在n次不可约多项式. 推论 对于每一个素数p和每一个正整数n，都存在一个阶为pn的有限域.,域Fpx/f(x)中结构是很清楚的，它仅是所有次数小于n、系数在Fp的所有多项式的集合；在同构的意义下，这是唯一的阶为pn的有限域.,例：由GF(2)上的既约多项式p(x)= x4+x+1扩成GF(24),4位向
10、量形式 多项式形式 生成元幂形式 指数形式,0000 0 0 - 0001 1 a0 00010 x a1 1 0100 x2 a2 21000 x3 a3 30011 x+1 a4 40110 x2 +x a5 51100 x3 +x2 a6 6,4位向量形式 多项式形式 生成元幂形式 指数形式,1011 x3+x+1 a7 7 0101 x2+1 a8 81010 x3 +x a9 9 0100 x2 a10 100111 x2+x+1 a11 111110 x3+x2+x a12 121111 x3+x2 +x+1 a13 131101 x3 +x2+1 a14 141001 x3+1
11、a15 15,例子(1),实数域: R 不可约多项式 f(x) = x2+1Rx/f(x) (ax+b)+(cx+d) = (a+c)x+(b+d) (ax+b)(cx+d) = acx2+(ad+bc)x+bd=(ad+bc)x+(bd-ac) (mod f(x),Rx/f(x) C,ax+b ai+b,求逆 g(x)=ax+b (a0),例子(2),二元域F2 0+0=1 0+1=1 1+0=1 1+1=0 00=0 01=0 10=0 11=1 不可约多项式f(x)=x8+x4+x3+x+1,加法,乘法,求逆,第一章 学生讲解内容（每人选一个主题）,1）置换密码 2）单表代换密码 3）多表代换密码 4）Vernam密码 5）Playfair密码 6）Hill密码 7）公钥密码 8）私钥密码,
