1、第四讲 数值计算,符号数学工具箱,一、方程求解,1.求解单个代数方程,MATLAB具有求解符号表达式的工具 ：solve, solve(a*x2+b*x+c) % 求方程的根 ans=1/2/a*(-b+(b2-4*a*c)1/2)1/2/a*(-b-(b2-4*a*c)1/2),结果是符号向量，其元素是方程的2个解。如果想对非缺省x变量求解，solve 必须指定变量。, solve(a*x2+b*x+c, b) % 求解关于变量b的根 ans=ans=-(a*x2+c)/x,带有等号的符号方程也可以求解。, f=solve(cos(x)=sin(x) % solve for x f=1/4*
2、pi,线性方程组求解,写成AX=b的形式，则,线性方程求解 a= 7 2 1 -29 15 3 -2-2 -2 11 51 3 2 13 b=4 7 -1 0 x=ab,x =0.49790.14450.0629-0.0813,微分,符号表达式的微分以四种形式利用函数diff： diff函数用以演算一函数的微分项，相关的函数语法有下列4个： diff(f) 传回f对预设独立变数的一次微分值 diff(f,t) 传回f对独立变数t的一次微分值 diff(f,n) 传回f对预设独立变数的n次微分值 diff(f,t,n) 传回f对独立变数t的n次微分值, f=a*x3+x2-b*x-c % 定义一
3、个符号表达式 f=a*x3+x2-b*x-c diff(f) %对缺省的变量x求导 ans=3*a*x2+2*x-b, diff(f ,a) % 关于a求导 ans=x3 diff(f,2) %关于x求二阶导数 ans=6*a*x+2 diff(f,a,2) %关于a求二阶导数 ans=0,积分,int函数用以演算一函数的积分项。 如果积分式的解析式 (analytical form, closed form) 不存在的话或是 MATLAB无法找到，则 int 传回原输入的符号式。,相关的函数语法有下列 4个： int(f) 传回f对预设独立变数的积分值 int(f,t) 传回f对独立变数t的
4、积分值 int(f,a,b) 传回f对预设独立变数的积分值，积分区间为a,b，a和b为数值式 int(f,t,a,b) 传回f对独立变数t的积分值，积分区间为a,b，a和b为数值式 int(f,m,n) 传回f对预设变数的积分值，积分区间为m,n，m和n为符号式,我们示范几个例子： S1 = 6*x3-4*x2+b*x-5; S2 =sin(a); S3 =sqrt(x); int(S1) ans= 3/2*x4-4/3*x3+1/2*b*x2-5*x int(S2) ans= -cos(a),int(S3) ans= 2/3*x(3/2) int(S3,a,b) ans= 2/3*b(3/2
5、)- 2/3*a(3/2) int(S3,0.5,0.6) ans= 2/25*15(1/2)-1/6*2(1/2),numeric(int(S3,0.5,0.6) % 使用numeric函数可以计算积分的数值 ans= 0.0741,单个微分方程,常微分方程有时很难求解，MATLAB提供了功能强大的工具， 可以帮助求解微分方程。函数dsovle计算常微分方程的符号解。因 为我们要求解微分方程，就需要用一种方法将微分包含在表达式 中。所以，dsovle句法与大多数其它函数有一些不同，用字母D来 表示求微分，D2，D3等等表示重复求微分，并以此来设定方程。 任何D后所跟的字母为因变量。,例如：1
6、. y=g(x,y)，须 以Dy代表一阶微分项y 2. D2y代表二阶微分项 y 方程y =0用符号表达式D2y=0来表示。,MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve( equation , condition)， 其中equation代表常微分方程式,condition则为初始条件。,例如，一阶方程dy/dx=1+y2的通解为： dsolve(Dy=1+y2) % 求通解 ans=-tan(-x+C1) 其中，C1是积分常数。,求解初值y(0)=1的同一个方程就可产生： dsolve(Dy=1+y2， y(0)=1) % 加上了一个初始条件 y=tan(x+1/4*pi),让我们举一个
7、二阶微分方程的例子，该方程有两个初始条件： y =cos(2x)-y y(0)=0 y(0)=1 y=dsolve( D2y=cos(2*x)-y ， Dy(0)=0 ， y(0)=1 ) y=-2/3*cos(x)2+1/3+4/3*cos(x),微分方程：y -2y -3y=0,通解为： y=dsolve( D2y-2Dy-3*y=0 ) y=C1*exp(-x)+C2*exp(3*x),加上初始条件：y(0)=0和y(1)=1可得到：, y=dsolve(D2y-2Dy-3*y=0,y(0)=0,y(1)=1) y=1/(exp(-1)-exp(3)*exp(-x)-1/(exp(-1)-exp(3)*exp(3*x),
