1、三角形 的五心,三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心。,定义： 重心:三角形顶点与对边中点的连线交于一点,称为三角形重心; 垂心:三角形各边上的高交于一点,称为三角形垂心;外心:三角形各边上的垂直平分线交于一点,称为三角形外心; 内心:三角形三内角平分线交于一点,称为三角形内心; 旁心：是一个内角平分线与其不相邻的两个外角平分线的交点，它到三边的距离相等。 中心:正三角形的重心、垂心、外心、内心重合，称为正三角形的中心。,重 心 三条中线定相交，交点位置真奇巧， 交点命名为“重心”，重心性质要明了，重心分割中线段，数段之比听分晓； 长短之比二比一，灵活运用掌握好,垂 心 三角形
2、上作三高，三高必于垂心交 高线分割三角形，出现直角三对整， 直角三角形有十二，构成六对相似形， 四点共圆图中有，细心分析可找清 三角形垂心到任一顶点的距离等于其外心到对边距离的2倍,内 心 三角对应三顶点， 角角都有平分线， 三线相交定共点， 叫做“内心”有根源； 点至三边均等距， 可作三角形内切圆， 此圆圆心称“内心”如此定义理当然,外 心 三角形有六元素， 三个内角有三边 作三边的中垂线， 三线相交共一点 此点定义为“外心”， 用它可作外接圆 “内心”“外心”莫记混， “内切”“外接”是关键,重点记住：（总结）垂心：高交点重心：中线交点内心：角平分线交点外心：中垂线交点,性质： （1）重心
3、和三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等； （2）外心扫三顶点的距离相等； （3）垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点构成的三角形的垂心； （4）内心、旁心到三边距离相等； （5）垂心是三垂足构成的三角形的内心，或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心； （6）外心是中点三角形的垂心； （7）中心也是中点三角形的重心； （8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心。,重心定理：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的 离是它到对边中点距离的2倍。该点叫做三角形的重心。 外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。 垂心定理：三角形的三条高交于一点。该点叫做三角形的
4、垂心。 内心定理：三角形的三内角平分线交于一点。该点叫做三角形的内心。 旁心定理：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点。该点叫做三角形的旁心。三角形有三个旁心。,1在ABC中，A=45，BC=a，高BE、CF交于点H，则AH=（ ） A12 a Ca,分析：取ABC的外心O及BC中点M，连OB、OC、OM，根据题意可得BOC=90，由外心的性质得OM=1/2 a，从而得出AH的长解答：解：取ABC的外心O及BC中点M，连OB、OC、OM， 由于A=45，故BOC=90，OM=1 /2 a，由于AH=2OM，AH=a故选C点评：本题考查了三角形的外心和性质，掌握外心性质是解题的关键,如图已知H是ABC的垂心，O是外心，OLBC于L求证：AH=2OL,分析1：要证AH=2OL，由CAH中的中位线MK=12 AH，转而证明MK=OL即可由于OLAH，MKAH，所以OLMK， 因此，只需证明LKOM即可由已知，这是显然的证明：证法1：作OMAC于M，取CH的中点K，连接MK，LK， 则有MKAHOL，LKBHOM， 四边形OLKM为平行四边形， MK=OL又MK=1/ 2 AH， AH=2OL,
