1、三角形五心内心：内切圆的圆心，即三条角平分线的交点。外心：外切圆的圆心，即三条中垂线的交点。旁心：旁切圆的圆心，即三条角平分线的交点。 （类似、但不同于内心）垂心：三条高的交点。重心：三条中线的交点。注：红线为所要证明的线，绿线为辅助线。内心：三条角平分线的交点证：过点 O 作三边的垂线，垂足分别为 D、E、F。由角平分线定理（角平分线上一点到两边的距离相等）得：OD=OF，OF=OE OD=OEAO 为角 BAC 的平分线外心：三条中垂线的交点证：连结 OA、OB、OC，并过 O 点作 OFBC 于点 F。由线段中垂线定理（线段中垂线上一点到两端点的距离相等） ，得：OA=OB，OA=OC.
2、OB=OC点 O 在线段 BC 的中垂线上OF 为线段 BC 的中垂线旁心：证：过点 O 作三边的垂线，垂足分别为 D、E、F。由角平分线定理（角平分线上一点到两边的距离相等）得：OD=OF，OD=OE OF=OEBO 为角 ABC 的平分线垂心：三条高的交点证：连结 DE，连结 AO 交 BC 于 F 点。角 BDC=角 BEC=90B、D、E、C 四点共圆（以 BC 为直径的圆） 。角 FBO=角 CDE （同弦(弧)所对圆周角相等）又角 ODA=角 AEO=90O、D、A、E 四点共圆（以 AO 为直径的圆） 。角 AOE=角 ADE （同弦(弧)所对圆周角相等）且 角 AOE=角 BO
3、F角 ADE=角 BOF 由可知，角 OFB=角 ODA=90AF 为 BC 边上的高。重心：三条中线的交点方法一：证：连结 AO 交 BC 于点 F。D 为 AB 的中点SACD=SBCD （S表示三角形的面积）（底相等(AD=BD),高相同(都为点 C 到 AB 的距离)）SAOD=SBODSAOC=SBOC 同理可得：SBOC=SAOB 由得，SAOC=SAOB又AOC 与AOB 底都为 AO它们高相等，即：点 B 和点 C 到 AF 的距离相等。对于AFB 和AFC，底相同（为 AF） ，高相等（分别为点 B 和点 C 到 AF 的距离） 。SAFB=SAFC又对于AFB 和AFC，高
4、相同（为点 A 到 BC 的距离） 。它们底相等，即：BF=CFAF 为三角形的中线。方法二：证：连 AO 交 BC 于点 F，连 DE 交 AF 于点 N，G，H 分别为 OB、OC 的中点，连 DG，EH。连 GH 交 AF 于点 M。DE 为ABC 的中位线DE#1/2BC （#表示平行且等于）同理，可得：GH#1/2BCDE#GH 即：四边形 DEHG 为平行四边形。易证，ODNOHM，得 HM=DNDG 为ABO 的中位线DGNM,即四边形 DGMN 为平行四边形DN=GMHM=GM,再由三角形中位线定理得，BF=CF。AF 为三角形的中线。三角形有五颗心，重外垂内和旁心， 五心性质
5、很重要，认真掌握莫记混重 心三条中线定相交，交点位置真奇巧， 交点命名为“重心” ，重心性质要明了，重心分割中线段，数段之比听分晓； 长短之比二比一，灵活运用掌握好外 心三角形有六元素，三个内角有三边 作三边的中垂线，三线相交共一点此点定义为外心，用它可作外接圆 内心外心莫记混，内切外接是关键垂 心三角形上作三高，三高必于垂心交 高线分割三角形，出现直角三对整，直角三角形有十二，构成六对相似形， 四点共圆图中有，细心分析可找清.内 心三角对应三顶点，角角都有平分线， 三线相交定共点，叫做“内心” 有根源；点至三边均等距，可作三角形内切圆， 此圆圆心称“内心” ，如此定义理当然五心性质别记混，做起题来真是好。
