1、专题:三角形的五心三角形五心将在本节详细介绍,其难度较大,望量力而行三角形中有许多重要的特殊点，特别是三角形的“五心” ，在解题时有很多应用，在本节中将分别给予介绍三角形的“五心” 指的是三角形的外心，内心，重心，垂心和旁心1、三角形的外心三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心(外接圆圆心)三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等 都等于三角形的外接圆半径锐角三角形的外心在三角形内；直角三角形的外心在斜边中点；钝角三角形的外心在三角形外2、三角形的内心三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心(内切圆圆心)三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径内切圆半径
2、 r 的计算：设三角形面积为 S，并记 p= (a+b+c)，则 r= 12 Sp特别的，在直角三角形中,有 r= (a+bc) 123、三角形的重心三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的重心上面的证明中，我们也得到了以下结论：三角形的重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为 1 24、三角形的垂心三角形的三条高交于一点,这点称为三角形的垂心 斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中，任何三个为顶点的三角形的垂心就是第四个点所以把这样的四个点称为一个“ 垂心组 ”5、三角形的旁心三角形的一条内角平分线与另两个外角平分线交于一点,称为三角形的旁心(旁切圆圆心) 每个三角形都有三个旁切圆A 类例题例
3、1 证明重心定理。证法 1 如图，D、E、F 为三边中点，设 BE、CF 交于 G，连接 EF，显然 EF BC，由三角形 =12AB COAB CDEFGAB CDEFIaI KHEFDAB CMAB CDEFG相似可得 GB2GE ，GC=2GF又设 AD、BE 交于 G，同理可证 GB=2GE，G A=2GD，即 G、G都是 BE 上从 B 到 E 的三分之二处的点，故 G、G 重合即三条中线 AD、BE、CF 相交于一点 G证法 2 设 BE、 CF 交于 G，BG、CG 中点为 H、I连 EF、FH、HI、IE，因为 EF BC，HI BC， =12 =12所以 EFHI 为平行四边
4、形所以 HG=GE、IG=GF，GB=2GE，GC=2GF同证法 1 可知 AG=2GD，AD、BE 、CF 共点即定理证毕链接 证明外心、内心定理是很容易的。外心定理的证明：如图，设 AB、BC 的中垂线交于点 O，则有 OA=OB=OC，故 O 也在 AC 的中垂线上，因为 O 到三顶点的距离相等，故点 O 是 ABC 外接圆的圆心因而称为外心内心定理的证明：如图，设A、C 的平分线相交于 I、过 I 作 IDBC，IE AC，IFAB，则有 IE=IF=ID因此 I 也在C 的平分线上，即三角形三内角平分线交于一点上述定理的证法完全适用于旁心定理，请同学们自己完成例 2 证明垂心定理分析
5、 我们可以利用构造外心来进行证明。证明 如图，AD、BE、CF 为 ABC 三条高，过点 A、B、C 分别作对边的平行线相交成 ABC ，显然 AD 为 BC的中垂线；同理 BE、CF 也分别为 AC、A B的中垂线，由外心定理，它们交于一点，命题得证链接 （ 1）对于三线共点问题还可以利用 Ceva 定理进行证明，同学们可以参考第十八讲的内容。 （Ceva 定理）设 X、 Y、 Z 分别为ABC 的边 BC、CA、AB 上的一点，则 AX、BY、CZ 所在直线交于一点的充要条件是 =1AZZBBXXCCYYA（2）对于三角形的五心，还可以推广到 n 边形，例如，如果我们称 n（3）边形某顶点
6、同除该点以外的 n-1 个顶点所决定的 n-1 边形的重心的连线，为 n 边形的中线， （当 n-1=2 时，n-1 边形退化成一线段，此时重心即为线段的中心）那么重心定理可推广如下：n 边形的各条中线(若有重合，只算一条）相交于一点，各中线被该点分为：（n-1）1 的两条线段，这点叫 n 边形的重心请同学们自己研究一下其他几个“心”的推广。IH GEDFAB CF EBACD CBAAB COI KHEFDAB CM情景再现1设 G 为ABC 的重心，M、N 分别为 AB、CA 的中点，求证：四边形 GMAN 和GBC 的面积相等2三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍B
7、类例题例 3 过等腰ABC 底边 BC 上一点 P 引 PMCA 交 AB 于 M；引 PNBA 交 AC 于 N.作点 P 关于 MN 的对称点 P.试证：P点在ABC 外接圆上.(杭州大学中学数学竞赛习题)分析 分析点 M 和 N 的性质，即能得到解题思路。证明 由已知可得 MP=MP=MB，NP =NP=NC，故点 M 是P BP 的外心，点 N 是PPC 的外心.于是有BP P= BMP = BAC，12 12PP C= PNC= BAC.12 12BP C=BPP+PPC=BAC .从而，P 点与 A、B、C 共圆，即 P在ABC 外接圆上.例 4 AD，BE ，CF 是 ABC 的
8、三条中线，P 是任意一点证明：在PAD ， PBE，PCF 中，其中一个面积等于另外两个面积的和. (第 26 届莫斯科数学奥林匹克)证明 设 G 为ABC 重心，直线 PG 与 AB，BC 相交.从 A，C，D，E，F 分别作该直线的垂线，垂足为 A，C，D ，E ，F.易证 AA=2DD，CC =2FF，2EE=AA+CC，EE =DD+FF.有 SPGE =SPGD +SPGF .两边各扩大 3 倍，有 SPBE =SPAD +SPCF .例 5 设 A1A2A3A4 为O 内接四边形，H 1，H 2，H 3，H 4 依次为A 2A3A4，A 3A4A1，A 4A1A2，A 1A2A3
9、的垂心.求证：H 1，H 2，H 3，H 4 四点共圆，并确定出该圆的圆心位置. (1992，全国高中联赛)证明 连接 A2H1，A 1H2，H 1H2，记圆半径为 R.由A 2A3A4 知=2R A2H1=2RcosA 3A2A4；132sin由A 1A3A4 得 A1H2=2RcosA 3A1A4.链接 本题可以引出更多结论，例如 PP 平分BPC 、PB :PC=BP:PC 等等ABCPMN G NM CB A AFGEDCPB.OA1234H1但A 3A2A4=A 3A1A4，故 A2H1=A1H2.易证 A2H1A 1A2，于是，A 2H1 A1H2， =故得 H1H2 A2A1.设
10、 H1A1 与 H2A2 的交点为 M，故 H1H2 与 A1A2 关于 M 点成中心对称. =同理，H 2H3 与 A2A3，H 3H4 与 A3A4，H 4H1 与 A4A1 都关于 M 点成中心对称 .故四边形 H1H2H3H4 与四边形 A1A2A3A4 关于 M 点成中心对称，两者是全等四边形，H 1，H 2，H 3，H 4 在同一个圆上.后者的圆心设为 Q，Q 与 O 也关于 M 成中心对称.由 O，M 两点，Q 点就不难确定了.链接三角形的五心有许多重要性质，它们之间也有很密切的联系，如：（1）三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等；（2）三角形的外心到三顶点的距离
11、相等；（3）三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心；（4）三角形的内心、旁心到三边距离相等；（5）三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；（6）三角形的外心是它的中点三角形的垂心；（7）三角形的重心也是它的中点三角形的重心；（8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心情景再现3在ABC 的边 AB，BC，CA 上分别取点 P，Q，S.证明以APS ，BQP，CSQ 的外心为顶点的三角形与 ABC 相似.(B波拉索洛夫中学数学奥林匹克)4如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似.其逆亦真
12、.C 类例题例 6 H 为ABC 的垂心，D，E，F 分别是 BC，CA，AB 的中心.一个以 H 为圆心的H 交直线 EF，FD ，DE 于 A1，A 2，B 1，B 2，C 1，C 2.求证：AA 1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2. (1989，加拿大数学奥林匹克训练题)分析 只须证明 AA1=BB1=CC1 即可.证明 设 BC=a， CA=b，AB=c，ABC 外接圆半径为 R，H 的半径为 r. 连 HA1，AH 交 EF 于 M. A =AM2+A1M2=AM2+r2-MH2=r2+(AM2-MH2)， 又 AM2-HM2=( AH1)2-(AH- AH1)212 12=
13、AHAH1-AH2=AH2AB-AH2=cosAbc-AH2， 而 =2R AH2=4R2cos2A,BHsin=2R a2=4R2sin2A.iAH 2+a2=4R2，AH 2=4R2-a2. HMBAACF121122DE由、有A =r2+ bc-(4R2-a2)1bc2= (a2+b2+c2)-4R2+r2.12同理， = (a2+b2+c2)-4R2+r2，1B= (a2+b2+c2)-4R2+r2.1C12故有 AA1=BB1=CC1.例 7 已知O 内接ABC，Q 切 AB，AC 于 E，F 且与O 内切.试证：EF 中点 P 是ABC 之内心.(B波拉索洛夫中学数学奥林匹克)证明
14、 如图，显然 EF 中点 P、圆心 Q， 中点 K 都在BAC 平分线上.易知 AQ= . BC sinrQKAQ=MQQN，QK= ANM= = .sin/)2(rR)2(irR由 RtEPQ 知 PQ= .PK=PQ+QK= + = .ri)(siR2sinPK=BK.利用内心等量关系之逆定理，即知 P 是ABC 这内心.说明 在第 20 届 IMO 中，美国提供的一道题实际上是例 7 的一种特例，但它增加了条件 AB=AC.例 8 在直角三角形中，求证：r+r a+rb+rc=2p.式中 r，r a，r b，r c 分别表示内切圆半径及与 a，b，c 相切的旁切圆半径，p 表示半周. (
15、杭州大学中学数学竞赛习题)证明 设 RtABC 中，c 为斜边，先来证明一个特性：p(p-c)=(p-a)(p-b).p(p-c)= (a+b+c) (a+b-c)12 12= (a+b)2-c2 14= ab；12(p-a)(p-b)= (-a+b+c) (a-b+c)12 12A MBCKNEROQFrPKrrOO213AECBabc= c2-(a-b)2= ab.14 12p(p-c)=( p-a)(p-b). 观察图形，可得ra=AF-AC=p-b，rb=BG-BC=p-a，rc=CK=p.而 r= (a+b-c)=p-c.12r+r a+rb+rc =(p-c)+(p-b)+(p-a
16、)+p=4p-(a+b+c)=2p.由及图形易证.例 9 M 是ABC 边 AB 上的任意一点.r 1，r 2，r 分别是AMC ，BMC，ABC 内切圆的半径，q 1，q 2，q 分别是上述三角形在ACB 内部的旁切圆半径.证明 = .(IMO-12)1q2证明 对任意A BC，由正弦定理可知OD=OAsinA=AB si2Osin=AB ，2sinOE= AB .2sinco .tgD亦即有 =1qr2 2BtgCNtMAt= = .Btgqr例 10 锐角ABC 中，O，G，H 分别是外心、重心、垂心.设外心到三边距离和为 d 外 ，重心到三边距离和为 d 重 ，垂心到三边距离和为 dA
17、BCOEDBCOIAGH123垂 . 求证：1d 垂 +2d 外 =3d 重 .证明 设ABC 外接圆半径为 1，三个内角记为 A，B，C. 易知 d 外 =OO1+OO2+OO3=cosA+cosB+cosC，2d 外 =2(cosA+cosB+cosC). AH 1=sinBAB=sinB(2sinC)=2sinBsinC，同样可得 BH2CH3.3d 重 =ABC 三条高的和=2(sinBsinC+sinCsinA+sinAsinB) =2，HsinHH 1=cosCBH=2cosBcosC.同样可得 HH2，HH 3.d 垂 =HH1+HH2+HH3=2(cosBcosC+cosCco
18、sA+cosAcosB) 欲证结论，观察、，须证(cos BcosC+cosCcosA+cosAcosB)+( cosA+ cosB+ cosC)=sinBsinC+sinCsinA+sinAsinB.即可.说明 本题用了三角法。情景再现5.设在圆内接凸六边形 ABCDFE 中，AB=BC，CD=DE，EF=FA.试证：(1)AD，BE，CF 三条对角线交于一点；(2)AB+BC+CD+DE+EF+FAAK+BE+CF.(1991，国家教委数学试验班招生试题)6ABC 的外心为 O，AB=AC，D 是 AB 中点，E 是ACD 的重心.证明 OE 丄 CD.(加拿大数学奥林匹克训练题)7ABC
19、 中C=30，O 是外心，I 是内心，边 AC 上的 D 点与边 BC 上的 E 点使得 AD=BE=AB.求证：OI 丄 DE，OI=DE . (1988，中国数学奥林匹克集训题)习题 171在ABC 中，A 是钝角，H 是垂心，且 AH=BC，则 cosBHC=( )A B C D122 122 122如果一个三角形的面积与周长都被一条直线平分，则此直线一定通过三角形的( )A内心 B外心 C重心 D垂心(1996 年全国初中联赛)3(1997 年安徽省初中数学竞赛)若 090，那么，以 sin，cos，tancot为三边的三角形有内切圆、外接圆的半径之和是( )A B C2sin cos
20、 D sin+cos2 tan+cot2 1sincos4ABC 中，A =45，BC=a，高 BE、CF 交于点 H，则 AH=( )A a B a Ca D a12 122 25下面三个命题中： 设 H 为 ABC 的高 AD 上一点，BHC +BAC=180 ，则点 H 是 ABC 的垂心； 设 G 为 ABC 的中线 AD 上一点，且 SAGB =SBGC ，则点 G 是 ABC 的重心； 设 E 是 ABC 的外角BAK 的角平分线与 ABC 的外接圆O 的交点，ED 是O 的直径，I 在线段 AD 上，且 DI=DB，则 I 是 ABC 的内心正确命题的个数是( )A0 个 B1
21、个 C2 个 D3 个6设 ABC 的A =60，求证：ABC 的外心 O、内心 I、垂心 H 及点 B、C 五点在同一个圆上7已知 P 是 ABCD 内的一点，O 为 AC 与 BD 的交点，M、N 分别为 PB、PC 中点，Q 为 AN 与 DM 的交点求证： P、Q、O 三点在一条直线上； PQ=2OQ8.I 为 ABC 之内心，射线 AI，BI，CI 交ABC 外接圆于 A，B ， C .则 AA+BB +CC ABC 周长.(1982，澳大利亚数学奥林匹克 )9.T的三边分别等于T 的三条中线，且两个三角形有一组角相等 .求证这两个三角形相似 .(1989，捷克数学奥林匹克)10.I
22、 为 ABC 的内心 .取IBC，ICA ，IAB 的外心 O1，O 2，O 3.求证：O 1O2O3 与ABC 有公共的外心.(1988，美国数学奥林匹克)11.AD 为ABC 内角平分线 .取ABC，ABD，ADC 的外心 O，O 1，O 2.则OO 1O2 是等腰三角形.12.ABC 中C90，从 AB 上 M 点作 CA，CB 的垂线 MP，MQ.H 是CPQ 的垂心.当 M 是 AB 上动点时，求 H 的轨迹.(IMO-7)r RIOCBAAB CDEF HA BCDOP NMQ本节“情景再现”解答1证明 如图，连 GA，因为 M、N 分别为 AB、CA 的中点，所以AMG 的面积=
23、GBM 的面积， GAN 的面积= GNC 的面积,即四边形 GMAN 和GBC 的面积相等2证明 如图，O 为 ABC 的外心，H 为垂心，连 CO 交 ABC 外接圆于 D，连DA、 DB，则 DAAC，BD BC ，又 AHBC，BHAC所以 DABH，BD AH ，从而四边形 DAHB 为平行四边形。又显然 DB=2OM，所以 AH=2OM同理可证 BH=2ON，CH=2 OK证毕3提示：设 O1，O 2，O 3 是APS，BQP，CSQ 的外心，作出六边形 O1PO2QO3S后再由外心性质可知PO 1S=2A ，QO 2P=2B ，SO 3Q=2C.PO 1S+QO 2P+SO 3Q
24、=360.从而又知O 1PO2+O 2QO3+O 3SO1=360将O 2QO3 绕着 O3 点旋转到KSO 3，易判断KSO 1O 2PO1，同时可得O 1O2O3O 1KO3.O 2O1O3=KO 1O3= O 2O1K12= (O 2O1S+SO 1K)= (O 2O1S+ PO1O2)= PO 1S=A ；12 12 12同理有O 1O2O3=B.故O 1O2O3ABC.4提示：将ABC 简记为，由三中线 AD，BE ，CF 围成的三角形简记为 .G 为重心，连 DE 到 H，使 EH=DE，连 HC，HF，则就是HCF. (1)a 2，b 2，c 2 成等差数列 .若ABC 为正三角
25、形，易证.不妨设 abc ，有CF= ，BE= ，AD= .22bac221将 a2+c2=2b2，分别代入以上三式，得 CF= ，BE= ，AD= .3c3CF:BE:AD = : : =a:b:c. 故有. 32(2) a2，b 2，c 2 成等差数列 .当中 abc 时，中 CFBEAD.， ( )2.SCF据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的 ”，有 = .43S = 3a2=4CF2=2a2+b2-c2 a2+c2=2b2.2CF5.证明 连接 AC，CE，EA，由已知可证 AD，CF， EB 是ACE 的三条内角平分线，I 为ACE 的内心.从而有G NMCBA
26、NDOMK HAB CID=CD=DE，IF=EF =FA，IB=AB =BC.再由BDF ，易证 BP，DQ，FS 是它的三条高，I 是它的垂心，利用 不等式有：BI+DI+FI2(IP+IQ+IS). 不难证明 IE=2IP，IA =2IQ，IC=2IS. BI+DI+FIIA+IE+IC. AB +BC+CD+DE+EF+FA=2(BI+DI+FI)(IA+IE +IC)+(BI+DI+FI)=AD+BE+CF.I 就是一点两心.6提示：设 AM 为高亦为中线，取 AC 中点F， E 必在 DF 上且 DE:EF=2:1.设CD 交 AM 于 G，G 必为ABC 重心.连 GE，MF，M
27、F 交 DC 于 K.易证：DG:GK= DC:( )DC=2:1.312DG:GK=DE:EF GEMF .OD 丄 AB，MF AB，OD 丄 MF OD 丄 GE.但 OG 丄 DE G 又是ODE 之垂心.易证 OE 丄 CD.7提示：辅助线如图所示，作DAO 平分线交 BC 于 K.易证AID AIBEIB，AID =AIB=EIB.利用内心张角公式，有AIB=90+ C=105，12DIE=360-1053=45. AKB =30+ DAO=30+ (BAC-BAO )=30+ (BAC-60)= BAC=BAI=BEI .12 12 12 12AKIE. 由等腰 AOD 可知 D
28、O 丄 AK，DO 丄 IE，即 DF 是DIE 的一条高.同理 EO 是DIE 之垂心，OI 丄 DE.由DIE=IDO，易知 OI=DE.习题 17 解答1 B；2A；3A；4C；5选 B，只有（3）是对的；6略；7略；8.略；9.略；10.略；11.略；12. H 的轨迹是一条线段.补充：第五讲 三角形的五心三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心.一、外心.三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理.例 1过等腰ABC 底边 BC 上一点 P 引 PMCA 交 AB 于 M；引 PNBA 交 AC 于 N.作点 P 关于 MN 的对称点 P.
29、试证：P 点在Erdos. IPABCDEFQSABCDEFOKGOABCDEFIK30ABC 外接圆上.(杭州大学中学数学竞赛习题)分析：由已知可得 MP=MP =MB，NP=NP=NC，故点 M 是PBP 的外心，点N 是 PPC 的外心.有BP P= BMP = BAC，21PP C = PNC= BAC.BP C =BPP +PPC=BAC.从而，P点与 A，B ，C 共圆、即 P在ABC 外接圆上.由于 PP 平分BP C ，显然还有PB :PC=BP:PC.例 2在ABC 的边 AB，BC，CA 上分别取点 P，Q，S.证明以APS ，BQP ，CSQ 的外心为顶点的三角形与ABC
30、 相似.(B波拉索洛夫中学数学奥林匹克)分析：设 O1，O 2，O 3 是APS，BQP，CSQ 的外心，作出六边形O1PO2QO3S 后再由外心性质可知PO 1S=2A，QO 2P=2B，SO 3Q=2C.PO 1S+QO 2P+SO 3Q=360.从而又知O 1PO2+O 2QO3+O 3SO1=360将O 2QO3 绕着 O3 点旋转到KSO 3，易判断KSO 1O 2PO1，同时可得O 1O2O3O 1KO3.O 2O1O3=KO 1O3= O 2O1K= (O 2O1S+SO 1K)= (O 2O1S+PO 1O2)= PO 1S=A；同理有O 1O2O3=B.故O 1O2O3ABC
31、.二、重心三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心将每条中线都分成定比 2:1 及中线长度公式，便于解题.ABCPMNABCQKPO.S123例 3AD ，BE ，CF 是ABC 的三条中线，P 是任意一点.证明：在PAD ，PBE，PCF 中，其中一个面积等于另外两个面积的和.(第 26 届莫斯科数学奥林匹克)分析：设 G 为ABC 重心，直线 PG 与 AB，BC 相交.从 A，C，D，E，F 分别作该直线的垂线，垂足为 A，C，D，E，F .易证 AA=2DD，CC=2FF，2EE=AA +CC ，EE =DD+FF .有 SPGE =SPGD +SPGF .两边各扩大 3 倍，
32、有 SPBE =SPAD +SPCF .例 4如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似.其逆亦真.分析：将ABC 简记为，由三中线 AD，BE ，CF 围成的三角形简记为.G 为重心，连 DE 到 H，使 EH=DE，连 HC，HF ，则就是HCF.(1)a2，b 2，c 2 成等差数列 .若ABC 为正三角形，易证.不妨设 abc，有CF= ，221cBE= ，22baAD= .221c将 a2+c2=2b2，分别代入以上三式，得CF= ，BE= ，AD= .3c23CF:BE:AD = : :ab=a:b:c.故有. (2) a2，b 2，c 2 成等
33、差数列 .当中 abc 时，中 CFBEAD.， ( )2.SaCF据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的 ”，有 = .43SAFGEDCPB = 3a2=4CF2=2a2+b2-c22CFa2+c2=2b2.三、垂心三角形三条高的交战，称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等(外接)圆三角形，给我们解题提供了极大的便利.例 5设 A1A2A3A4 为 O 内接四边形，H 1，H 2，H 3，H 4 依次为A 2A3A4，A 3A4A1，A 4A1A2，A 1A2A3 的垂心.求证：H 1，H 2，H 3，H 4 四点共圆，并确定出该圆的圆心位置.(1992，全国高中联
34、赛)分析：连接 A2H1，A 1H2，H 1H2，记圆半径为 R.由A 2A3A4 知=2R A2H1=2RcosA 3A2A4；132sin由A 1A3A4 得A1H2=2Rcos A3A1A4.但A 3A2A4=A 3A1A4，故 A2H1=A1H2.易证 A2H1A 1A2，于是，A 2H1 A1H2，故得 H1H2 A2A1.设 H1A1 与 H2A2 的交点为 M，故 H1H2 与 A1A2 关于 M 点成中心对称.同理，H 2H3 与 A2A3，H 3H4 与 A3A4，H 4H1 与 A4A1 都关于 M 点成中心对称 .故四边形 H1H2H3H4 与四边形 A1A2A3A4 关
35、于 M 点成中心对称，两者是全等四边形，H 1，H 2，H 3，H 4 在同一个圆上.后者的圆心设为 Q，Q 与 O 也关于 M 成中心对称.由 O，M 两点，Q 点就不难确定了.例 6H 为ABC 的垂心，D，E，F 分别是 BC，CA，AB 的中心.一个以 H 为圆心的H 交直线 EF，FD ，DE 于 A1，A 2，B 1，B 2，C 1，C 2.求证：AA 1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2.(1989，加拿大数学奥林匹克训练题)分析：只须证明 AA1=BB1=CC1 即可.设BC=a， CA=b，AB=c，ABC 外接圆半径为 R，H 的半径为 r. 连 HA1，AH 交 E
36、F 于 M.A =AM2+A1M2=AM2+r2-MH2=r2+(AM2-MH2)， 又 AM2-HM2=( AH1)2-(AH- AH1)2=AHAH1-AH2=AH2AB-AH2=cosAbc-AH2， 而 =2R AH2=4R2cos2A,BHsin=2R a2=4R2sin2A.i= OA13412HMABBCCF121122DEAH 2+a2=4R2，AH 2=4R2-a2. 由、有A =r2+ bc-(4R2-a2)1bc= (a2+b2+c2)-4R2+r2.同理， = (a2+b2+c2)-4R2+r2，1B= (a2+b2+c2)-4R2+r2.1C故有 AA1=BB1=CC
37、1.四、内心三角形内切圆的圆心，简称为内心.对于内心，要掌握张角公式，还要记住下面一个极为有用的等量关系：设 I 为 ABC 的内心，射线 AI 交ABC 外接圆于 A，则有 A I=AB=A C.换言之，点 A必是IBC 之外心(内心的等量关系之逆同样有用).例 7ABCD 为圆内接凸四边形，取DAB， ABC，BCD，CDA 的内心 O1， O2，O 3，O4.求证：O 1O2O3O4为矩形.(1986，中国数学奥林匹克集训题)证明见中等数学1992；4例 8已知O 内接ABC，Q 切 AB，AC 于 E，F 且与O 内切.试证：EF 中点 P 是ABC 之内心.(B波拉索洛夫中学数学奥林
38、匹克)分析：在第 20 届 IMO 中，美国提供的一道题实际上是例 8 的一种特例，但它增加了条件 AB=AC.当 ABAC ，怎样证明呢？ 如图，显然 EF 中点 P、圆心 Q，BC 中点 K 都在BAC 平分线上.易知 AQ= .sinrQKAQ=MQQN，QK= ANM= = .sin/)2(rR)2(irR由 RtEPQ 知 PQ= .PK=PQ+QK= + = .ri)(siR2sinPK=BK.利用内心等量关系之逆定理，即知 P 是ABC 这内心.五、旁心三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于ABDO2341A MBCKNEROQFrP一点，是旁切圆的圆心，称为旁心.
39、旁心常常与内心联系在一起，旁心还与三角形的半周长关系密切.例 9在直角三角形中，求证：r+r a+rb+rc=2p.式中 r，r a，r b，r c 分别表示内切圆半径及与 a，b，c 相切的旁切圆半径，p 表示半周.(杭州大学中学数学竞赛习题)分析：设 RtABC 中，c 为斜边，先来证明一个特性：p(p-c)=(p-a)(p-b).p(p-c)= (a+b+c) (a+b-c)21= (a+b)2-c2 4= ab；1(p-a)(p-b)= (-a+b+c) (a-b+c)2= c2-(a-b)2= ab.41p(p-c)=( p-a)(p-b). 观察图形，可得ra=AF-AC=p-b，
40、rb=BG-BC=p-a，rc=CK=p.而 r= (a+b-c)21=p-c.r+r a+rb+rc=(p-c)+(p-b)+(p-a)+p=4p-(a+b+c)=2p.由及图形易证.例 10M 是ABC 边 AB 上的任意一点 .r1，r 2，r 分别是AMC ，BMC，ABC 内切圆的半径，q 1，q 2，q 分别是上述三角形在ACB内部的旁切圆半径.证明： = .1q2(IMO-12)分析：对任意ABC，由正弦定理可知OD=OA 2sinAKrrOO213AECBabcABCOED=A B sin2OsinA=A B ，2sinOE= AB .2sincoB .tgD亦即有 =1qr2
41、 2BtgCNtMAt= = .Btgqr六、众心共圆这有两种情况：(1)同一点却是不同三角形的不同的心；(2)同一图形出现了同一三角形的几个心.例 11设在圆内接凸六边形 ABCDFE 中，AB=BC，CD=DE，EF=FA.试证：(1)AD，BE，CF 三条对角线交于一点；(2)AB+BC+CD+DE+EF+FAAK+BE+CF.(1991，国家教委数学试验班招生试题)分析：连接 AC，CE，EA，由已知可证 AD，CF，EB 是ACE 的三条内角平分线，I 为ACE 的内心.从而有 ID=CD=DE，IF=EF=FA，IB=AB=BC.再由BDF ，易证 BP，DQ，FS 是它的三条高，
42、I 是它的垂心，利用 不等式有：BI+DI+FI2(IP+IQ+IS).不难证明 IE=2IP，IA=2IQ，IC=2IS. BI+DI+FIIA+IE+IC.AB +BC+CD+DE+EF+FA=2(BI+DI+FI)(IA+IE +IC)+(BI+DI+FI)=AD+BE+CF.I 就是一点两心.例 12ABC 的外心为 O，AB=AC，D 是 AB 中点，E 是ACD 的重心.证明 OE 丄 CD.(加拿大数学奥林匹克训练题)Erdos IPABCDEFQS分析：设 AM 为高亦为中线，取 AC 中点F， E 必在 DF 上且 DE:EF=2:1.设CD 交 AM 于 G，G 必为ABC
43、 重心.连 GE，MF，MF 交 DC 于 K.易证：DG:GK= DC:( )DC=2:1.312DG:GK=DE:EF GEMF .OD 丄 AB，MF AB，OD 丄 MF OD 丄 GE.但 OG 丄 DE G 又是ODE 之垂心.易证 OE 丄 CD.例 13ABC 中C=30，O 是外心， I 是内心，边 AC 上的 D 点与边 BC 上的 E 点使得 AD=BE=AB.求证：OI 丄 DE，OI=DE .(1988，中国数学奥林匹克集训题)分析：辅助线如图所示，作DAO 平分线交 BC 于 K.易证AID AIBEIB，AID =AIB=EIB.利用内心张角公式，有AIB=90+
44、 C=105，21DIE=360-1053=45.AKB=30+ DAO=30+ (BAC-BAO)21=30+ (BAC-60)= BAC=BAI=BEI.21AKIE.由等腰AOD 可知 DO 丄 AK，DO 丄 IE，即 DF 是DIE 的一条高.同理 EO 是DIE 之垂心，OI 丄 DE.由DIE=IDO，易知 OI=DE.例 14锐角ABC 中，O，G，H 分别是外心、重心、垂心.设外心到三边距离和为 d 外 ，重心到三边距离和为 d 重 ，垂心到三边距离和为 d 垂 . 求证：1d 垂 +2d 外 =3d 重 .分析：这里用三角法.设ABC 外接圆半径为 1，三个内角记为 A，B
45、，ABCDEFOKGOABCDEFIK30BCOIAGH123C. 易知 d 外 =OO1+OO2+OO3=cosA+cosB+cosC，2d 外 =2(cosA+cosB+cosC). AH 1=sinBAB=sinB(2sinC)=2sinBsinC，同样可得 BH2CH3.3d 重 =ABC 三条高的和=2(sinBsinC+sinCsinA+sinAsinB) =2，HsinHH 1=cosCBH=2cosBcosC.同样可得 HH2，HH 3.d 垂 =HH1+HH2+HH3=2(cosBcosC+cosCcosA+cosAcosB) 欲证结论，观察、，须证(cos BcosC+cosCcosA+cosAcosB)+( cosA+ cosB+ cosC)=sinBsinC+sinCsinA+sinAsinB.即可.练 习 题1.I 为 ABC 之内心，射线 AI，BI，CI 交ABC 外接圆于 A，B ， C .则 AA+BB +CC ABC 周长.(1982，澳大利亚数学奥林匹克)2.T的三边分别等于T 的三条中线，且两个三角形有一组角相等 .求证这两个三角形相似 .(1989，捷克数学奥林匹克)3.I 为 ABC 的内心 .取IB
