1、第三章导数及其应用3.1 导数的概念及运算专题1导数的概念与几何意义(2015 河北石家庄二中一模,导数的概念与几何意义,填空题,理 15)函数 f(x)= 若方程 f(x)1-2,1,1,=mx- 恰有四个不相等的实数根,则实数 m 的取值范围是 . 12解析:如图,在同一坐标系中作出 y=f(x)与 y=mx- 的图象,设过点 C 的直线与曲线 y=lnx(x1)相12 (0,-12)切于点 A(x0,y0),则由 y= 知切线的斜率 kAC= ,切线方程为 y-y0= (x-x0),将点 C 的坐标代入切线方程1 10 10得- -y0= (0-x0),化简得 y0= .12 10 12
2、于是由 =lnx0 得 x0= ,则 kAC= .又 kBC= ,所以满足条件的实数 m 的取值范围是 1.解:(1)由 f(x)=x2+ +alnx 得 f(x)=2x- .2 22+因为 f(x)在2,3 上单调递增,则 f(x)=2x- 0 在2,3上恒成立,22+即 a -2x2 在2,3 上恒成立,设 g(x)= -2x2,2 2则 g(x)=- -4x1 1|(1)-(2)1-2 |f(x1)-f(x2)|x1-x2|,而|f( x1)-f(x2)|=|(21-221+1)-(22-222+2)|=|x1-x2| ,|2+2(1+2)2122 - 12|故欲证|f(x 1)-f(x
3、2)|x1-x2|,只需证 1,|2+2(1+2)2122 - 12|即证 ax1x2+ ,2(1+2)12 412设 t= ,u(t)=t2+ (t0),124则 u(t)=2t- .42令 u(t)=0 得 t= ,列表如下:32t (0, )32 32 ( ,+)32u(t)- 0 +u(t) 极小值 334 u(t)3 4a,34=3108 x1x2+ a,2(1+2)12 |f(x1)-f(x2)|x1-x2|,即 1.|(1)-(2)1-2 | 当 a4 时,|k|1.(2015 河北石家庄高三质检一,导数与函数的极值,解答题,理 22)已知函数 f(x)=ln x+x2-ax,a
4、R.(1)若 a=3,求 f(x)的单调区间;(2)若 f(x)有两个极值点 x1,x2,记过点 A(x1,f(x1),B(x2,f(x2)的直线的斜率为 k,问是否存在 a,使 k= ?22若存在,求出 a 的值;若不存在 ,请说明理由.解:(1)当 a=3 时 ,f(x)=lnx+x2-3x,f(x)的定义域为(0, +).f(x)= +2x-3= .1 1+22-3当 01 时,f(x )0;12当 0 在(0,+) 上恒成立,2 2 f(x)在(0,+)上单调递增,此时 f(x)无极值;2当 =0,即 a=2 时,f(x) 0 在(0,+)上恒成立,2 f(x)在(0,+)上单调递增,
5、此时 f(x)无极值;3当 0,即 a2 时,2 2方程 u(x)=0 有两个实数根 x1= ,x2= .-2-84 +2-84若 a0 在(0,+) 上恒成立,2 f(x)在(0,+)上单调递增,此时 f(x)无极值.若 a2 ,u(x)=0 的两个根 x10,x20,且 x10,f(x)在(0, x1)和(x 2,+)上单调递增,当 x(x 1,x2)时,f(x )m(1)=10,即 g(t)0 在(0,1)恒成立, g(t)在(0,1)上单调递增,g(t)0,函数 f(x)在 R 上单调递增; 当 a0 时,由 f(x)=ex-a=0 得 x=lna,则当 x(-,lna)时,f( x)
6、0,f(x)单调递增 .综上所述,当 a0 时,函数 f(x)的单调递增区间为(- ,+);当 a0 时,函数 f(x)的单调递增区间为(lna,+),单调递减区间为(-,lna).(2)由(1)知当 a0 时,由函数 f(x)b 对任意 xR 都成立得 bf (x)min. f(x)min=f(lna)=2a-alna, b2a-a lna, ab2a 2-a2lna,设 g(a)=2a2-a2lna(a0),则 g(a)=4a-(2alna+a)=3a-2alna,由于 a0,令 g(a)=0 得 lna= ,a= .32 32当 a(0, )时,g (a)0,g(a)单调递增 ;当 a(
7、 ,+)时,g( a)x- 恒成立.函数 y=x- 在区间13 2 3 3(1,3)上是增函数,因此 m3- =2,即实数 m 的取值范围是2,+ ),故选 D.33答案:D(2015 江西九校高三联考 ,导数与函数的最值,选择题,理 12)已知 R 上的不间断函数 g(x)满足: 当 x0 时,g (x)0 恒成立; 对任意的 xR 都有 g(x)=g(-x).又函数 f(x)满足:对任意的 x R,都有 f( +x)=-f(x)成立,当 x0, 时,f(x)=x 3-3x.若关于 x 的不等式3 3gf(x)g(a 2-a+2)对 x -3,3恒成立,则 a 的取值范围为( )A.a0 或
8、 a1 B.0a 1C.-1a1 D.aR解析:依题意,当 x0, 时,f(x)=3(x+1)(x-1) .若 x(0,1),则 f(x)0,f(x)的最小3 3值是 f(1)=-2,f(0)=f( )=0,f(x)的最大值是 0.由 f( +x)=-f(x)得 f(x)=-f(x- ),当 x ,2 时,x-3 3 3 3 30, ,f(x- )的最大值、最小值分别是 0,-2,函数 f(x)的最大值、最小值分别是 2,0,因此函数 f(x)在3 3 30,2 上的最大值、最小值分别为 2,-2,由 f( +x)=-f(x)得 f(2 +x)=-f( +x)=f(x),函数 f(x)是以 2
9、3 3 3 3为周期的函数,因此函数 f(x)的最大值、最小值分别为 2,-2,函数 f(x)在 x-3,3 上的最大值、最小3值分别为 2,-2.由已知得 g(x)在(0,+) 上是增函数,函数 g(x)是偶函数,且 a2-a+2=(a-1)2+10,因此不等式 gf(x)=g|f(x)|g(a 2-a+2),即|f(x)|a 2-a+2,a2-a+22, 解得 a0 或 a1,故选 A.答案:A(2015 河北唐山一模 ,导数与函数的最值,选择题,理 11)直线 y=a 分别与曲线 y=2(x+1),y=x+ln x 交于 A,B 两点,则|AB|的最小值为( )A.3 B.2 C. D.
10、324 32解析:在坐标平面内画出函数 f(x)=2(x+1)与函数 g(x)=x+lnx 的图象如图所示,设直线 y=a 交函数 g(x)的图象于点 B(x0,a),直线 x=x0 交函数 f(x)的图象于点 C(x0,y0),则有 =2,即|AB|= |BC|= 2(x0+1)-x0-| 12 12lnx0= x0- lnx0+1,设 h(x)= x- lnx+1(x0),则 h(x)= ,所以 h(x)在(0,1)上单调递减,在(1, +)上单调12 12 1212 1212递增,h(x) 在 x=1 处取得最小值 h(1)= +1= ,即|AB|的最小值为 ,故选 D.12 32 32
11、答案:D(2015 江西南昌一模 ,导数与函数的最值,选择题,理 12)设函数 f(x)=(x-a)2+(ln x2-2a)2,其中 x0,aR,存在 x0 使得 f(x0) 成立,则实数 a 的值是( )45A. B. C. D.115 25 12解析:利用等价转化思想求解 .f(x)的几何意义是点 A(x,2lnx),x0,B(a,2a)之间的距离的平方,存在 x0,使f(x0) f(x)min ,而点 A 在曲线 y=2lnx,x0 上,点 B 在直线 y=2x 上,平移直线 y=2x,使之与曲线45 45y=2lnx,x0 相切时,切点到直线 y=2x 的距离的平方即为 f(x)的最小
12、值.由 y= =2,x=1,所以切点坐标为2(1,0),f(x)min= 成立,此时 a 的值为直线 y=2x 与 y=- (x-1)的交点横坐标,所以 a= ,故选 A.(25)245 12 15答案:A(2015 江西赣州高三摸底考试,导数与函数的最值,选择题,理 12)已知函数 f(x)=(a-3)x-ax3 在- 1,1上的最小值为-3,则实数 a 的取值范围是 ( )A.(-,-1 B.12,+)C.-1,12 D.-32,12解析:当 a=0 时,f(x )=-3x,x-1,1, 显然满足,故 a=0 满足题意,排除 A,B;当 a=- 时,f (x)= x3- x,f(x)32
13、32 92= x2- (x2-1),92 92=92所以 f(x)在- 1,1上单调递减,所以 f(x)min=f(1)= =-3,满足条件,排除 C,故选 D.3292答案:D3.3 导数的综合应用专题2利用导数研究函数的零点或方程的根(2015 河北石家庄二中一模,利用导数研究函数的零点或方程的根,解答题,理 21)已知关于 x 的函数g(x)= -aln x(aR),f(x )=x2+g(x).2(1)试求函数 g(x)的单调区间;(2)若 f(x)在(0,1)内有极值,试求 a 的取值范围;(3)当 a0 时,若 f(x)有唯一的零点 x0,试求x 0.(注:x 为取整函数,表示不超过
14、 x 的最大整数,如0,3=0,2,6=2,- 1,4=-2;以下数据供参考:ln 2=0.693 1,ln 3=1.990,ln 5=1.609,ln 7=1.946)解:(1)由题意可知 g(x)的定义域为(0, +).g(x)=- =- .22+22( )若 a0,则 g(x)0,2 (0,-2) (-2,+) g(x)在 上单调递减;在 上单调递增.(0,-2) (-2,+)(2) f(x)=x2+g(x), f(x)的定义域也为(0,+),且 f(x)=2x- .+22=23-22令 h(x)=2x3-ax-2,x0,+), (*)则 h(x)=6x2-a. (*)当 a0, 在(0
15、,1)内 h(x)至少存在一个变号零点 x0,且 x0 也是 f(x)的变号零点,此时 f(x)在(0,1) 内有极值;当 a0 时,h(x)=2(x 3-1)-ax0,由(2)及 f(1)=3 知当 x(0,1时,f(x)0, x01.又由(*)及(*) 式知 f(x)在(1,+)上只有一个极小值点,记为 x1,且当 x(1,x 1)时,f(x)单调递减,当 x(x 1,+)时 ,f(x)单调递增,则 x1 即为 x0,(0)=0,(0)=0,20+20-0=0,230-0-2=0,消去 a 得 2lnx0=1+ .330-1当 a0 时,令 t1(x)=2lnx(x1),t2(x)=1+
16、(x1),33-1则在(1,+) 上 t1(x)为增函数,t 2(x)为减函数,且 t1(2)=2ln221+ =t2(3),750, a0 时,- 2x+a0 时,f(x) 在 上单调递增 ,在 上单调递减.(0,2) (2,+)(2) g(x)=x2-(2-a)x-(2-a)lnx,x0, g(x)=2x-(2-a)- .2-=22-(2-)-(2-)若 g(x)0,在 x0 上恒成立,则 2x2-(2-a)x-(2-a)0 恒成立 , a6-2 恒成立.(+1)+1+1而当 x0 时, 2, a2.(+1)+1+1(3)设 F(x)在( x0,F(x0)的切线平行于 x 轴,其中 F(x
17、)=2lnx-x2-ax.结合题意,有2-2-=0, 2-2-=0,+=20,20-20-=0. - 得 2ln -(m+n)(m-n)=a(m-n). a= -2x0,由 得 a= -2x0,2- 20 ln . =2(-)+=2(-1)+1设 t= (0,1), 式变为 lnt- =0(t(0,1) . 2(-1)+1设 h(t)=lnt- (t(0,1),2(-1)+1h(t)= 0,12(+1)-2(-1)(+1)2 =(+1)2-4(+1)2=(-1)2(+1)2 函数 h(t)=lnt- 在(0,1)上单调递增,2(-1)+1因此,h(t) 0,当 x= 时,h(x) 取得极小值,
18、且 h 0,h(0)0,h 0,所以 k=-1,0,1,即满足条件的实数 k 有(-12) (12) (32)3 个,故选 A.答案:A(2015 河北石家庄高三质检二,利用导数研究函数的零点或方程的根,解答题,理 21)已知 f(x)=xln x-mx2-x,mR.12(1)当 m=-2 时, 求函数 f(x)的所有零点;(2)若 f(x)有两个极值点 x1,x2,且 x1e2(e 为自然对数的底数 ).解:(1)当 m=-2 时,f(x)=x lnx+x2-x=x(lnx+x-1),x0.设 g(x)=lnx+x-1,x0,则 g(x)= +10,1于是 g(x)在(0,+)上为增函数.又
19、 g(1)=0,所以 g(x)有唯一零点 x=1.从而函数 f(x)有唯一零点 x=1.(2)欲证 x1x2e2,需证 lnx1+lnx22.若 f(x)有两个极值点 x1,x2,即函数 f(x)有两个零点.又 f(x)=lnx-mx,所以 x1,x2 是方程 f(x)=0 的两个不同实根.于是有 解得 m= .1-1=0,2-2=0, 1+21+2另一方面,由 得 lnx2-lnx1=m(x2-x1),1-1=0,2-2=0从而可得 .2-12-1=1+21+2于是,lnx 1+lnx2= .(2-1)(2+1)2-1 =(1+21)2121-1又 01.21因此,lnx 1+lnx2= ,
20、t1.(1+)-1要证 lnx1+lnx22,即证 2,t1.(+1)-1即证当 t1 时,lnt .2(-1)+1设函数 h(t)=lnt- ,t1,2(-1)+1则 h(t)= 0,12(+1)-2(-1)(+1)2 =(-1)2(+1)2所以 h(t)为(1, +)上的增函数.因为 h(1)=0,因此,h( t)h(1)=0.于是,当 t1 时,有 lnt .2(-1)+1所以 lnx1+lnx22 成立,即 x1x2e2.专题3利用导数解决不等式的有关问题(2015 河北衡水中学二模 ,利用导数解决不等式的有关问题,解答题,理 21)已知函数 f(x)=ln,且 f(x)在 x= 处的
21、切线方程为 y=g(x).(+1) 12(1)求 y=g(x)的解析式 ;(2)证明:当 x0 时,恒有 f(x) g(x);(3)证明:若 ai0,且 ai=1,则 (1i n,i,nN *).=1 (1+11)(2+12)(+1)(2+1)解:(1) f(x)= ,2+1(1-12)=2-13+ f(x)在 x= 处的切线的斜率 k=f =- .又 f =ln ,12 (12) 65 (12) 52 f(x)在 x= 处的切线方程为 y-ln =- ,即 y=g(x)=- x+ +ln .12 52 65(-12) 65 35 52(2)证明:令 t(x)=f(x)-g(x)=ln x-
22、-ln (x0),(+1)+6535 52 t(x)= ,2-13+65=63+52+6-55(3+) =(-12)(62+8+10)5(3+) 当 0 时,t (x)0, t(x)min=t =0,12 (12)故 t(x)0,即 ln - x+ +ln .(+1) 65 35 52(3)证明:先求 f(x)在点 处的切线方程,(1,(+1)由(1)知 f ,(1)=-31+2故 f(x)在点 处的切线方程为 y-ln .(1,(+1) (+1)=-32+1(-1)即 y= x- +ln .-31+21-21+2 (+1)再证 f(x) x- +ln .-32+11-21+2 (+1)令 h
23、(x)=ln x+ -ln (x0).(+1)-32+1 1-21+2 (+1) h(x)=2-13+-32+1=(3-)3+(2+1)2+(3-)-2-1(2+1)(3+)= ,(-1)(3-)2+22+3+(3+)(2+1) 0 时,h( x)0, h(x)min=h =0,1 (1) f(x) x- +ln .-32+11-21+2 (+1) ai0, ln ai- +ln ,(+1)-32+1 1-21+2 (+1) ln ai- +nln =nln .=1(+1)-32+1=1 (1-2)1+2 (+1) (+1) .(1+11)(2+12)(+1)(+1)(2015 江西师大附中、
24、鹰潭一中、宜春中学高三联考,利用导数研究函数的零点或方程的根,解答题,理21)设函数 f(x)=(1-ax)ln(x+1)-bx,其中 a 和 b 是实数,曲线 y=f(x)恒与 x 轴相切于坐标原点.(1)求常数 b 的值;(2)当 0x1 时,关于 x 的不等式 f(x)0 恒成立,求实数 a 的取值范围;(3)求证:对于任意的正整数 n,不等式 0.()对于(p)相当于(2)中 a=0 情形 ,有 f(x)在0,1上单调递减,即 f(x)f(0)= 0 而且仅有 f(0)=0.取 x= ,得对于任意正整数 n 都有 ln 0 成立.1 (1+1) (1+1)1因此对于任意正整数 n,不等式 0;(2)a0,若 g(x) ax+1,求 a 的取值范围.解:(1)证明:令 p(x)=f(x)=ex-x-1,则 p(x)=ex-1,在(-1,0) 内,p(x)0,p(x)单调递增 .所以 p(x)的最小值为 p(0)=0,即 f(x)0,所以 f(x)在(- 1,+)内单调递增,
