1、第十四章选修模块14.1 几何证明选讲专题 2 相似三角形的判定与性质(2015 江西重点中学盟校高三第一次联考,相似三角形的判定与性质,解答题,理 22)选修 41:几何证明选讲如图,O 的半径为 6,线段 AB 与O 相交于点 C,D,AC=4,BOD= A,OB 与O 相交于点 E.(1)求 BD 的长;(2)当 CEOD 时,求证:AO=AD.解:(1) OC=OD, OCD=ODC , OCA=ODB. BOD=A, OBDAOC, . OC=OD=6,AC=4, , BD=9.(2)证明: OC=OE,CEOD, COD= BOD= A. AOD=180-A- ODC=180-CO
2、D-OCD=ADO. AD=AO.(2015 辽宁东北育才高三第五次模拟,相似三角形的判定与性质,解答题,理 22)选修 41:几何证明选讲如图,AB 是O 的一条切线,切点为 B,直线 ADE,CFD,CGE 都是O 的割线,已知 AB=AC.(1)求证:FG AC ;(2)若 CG=1,CD=4,求的值.解:(1)证明:因为 AB 为切线,AE 为割线,所以 AB2=ADAE,又因为 AC=AB,所以 ADAE=AC2.所以,又因为EAC=DAC,所以ADCACE,所以ADC=ACE,又因为ADC=EGF ,所以EGF= ACE,所以 FGAC.(2)由题意可得 G,E,D,F 四点共圆.
3、所以CGF=CDE,CFG=CED.所以CGFCDE,所以.又因为 CG=1,CD=4,所以=4.专题 4 圆周角、弦切角及圆的切线(2015 银川二中高三一模 ,圆周角、弦切角及圆的切线,解答题,理 22)选修 41:几何证明选讲如图,已知 AB 为圆 O 的直径 ,C,D 是圆 O 上的两个点,CE AB 于点 E,BD 交 AC 于点 G,交 CE 于点F,CF=FG,求证 :(1)C 是劣弧 BD 的中点;(2)BF=FG.证明:(1) CF=FG, CGF= FCG. AB 为圆 O 的直径 , ACB=ADB=. CEAB, CEA=. CBA=- CAB ,ACE=- CAB ,
4、 CBA=ACE. CGF=DGA,DGA= ABC, -DGA=- ABC, CAB=DAC, C 为劣弧 BD 的中点.(2) GBC=-CGB,FCB=- GCF, GBC=FCB, CF=FB, BF=FG.专题 5 圆内接四边形的判定及性质(2015 辽宁大连高三双基测试,圆内接四边形的判定及性质,解答题,理 22)选修 41:几何证明选讲如图,已知O 1 与O 2 相交于 A,B 两点,P 是O 1 上一点,PB 的延长线交O 2 于点 C,PA 交O 1 于点D,CD 的延长线交O 1 于点 N.(1)点 E 是上异于 A,N 的任意一点,PE 交 CN 于点 M,求证:A,D,
5、M ,E 四点共圆;(2)求证:PN 2=PBPC.证明:(1)连接 AB, A,B,P,E 四点共圆, ABC=E.又 ABC=ADC, ADC=E, A,D,M,E 四点共圆 .(2)连接 BN, PNB=PAB=C ,BPN=NPC , PNBPCN, PN2=PBPC.(2015 辽宁重点中学协作体高考模拟,圆内接四边形的判定及性质,解答题,理 22)选修 4-1:几何证明选讲如图,已知 AB 是O 的直径, CEAB 于点 H,与O 交于点 C,D,且 AB=10,CD=8,DE=4,EF 与O 切于点 F,BF 与 HD 交于点 G.(1)证明:EF=EG;(2)求 GH 的长.解
6、:(1)证明:连接 AF,OE,OF,则 A,F,G,H 四点共圆. EF 是切线, OFEF, FGE= BAF=EFG, EF=EG.(2) OE2=OH2+HE2=OF2+EF2, EF2=OH2+HE2-OF2=32+82-52=48, EF=EG=4, GH=EH-EG=8-4.专题 6 圆的切线的性质与判定(2015 江西八所重点中学高三联考,圆的切线的性质与判定,解答题,理 22)选修 4-1:几何证明选讲如图,直线 PQ 与O 相切于点 A,AB 是O 的弦,PAB 的平分线 AC 交O 于点 C,连接 CB,并延长与直线 PQ 相交于 Q 点.(1)求证:QC BC=QC2-
7、QA2;(2)若 AQ=6,AC=5,求弦 AB 的长.解:(1)证明: PQ 与O 相切于点 A, PAC=CBA. PAC=BAC, BAC= CBA , AC=BC=5.由切割线定理得 QA2=QBQC=(QC-BC)QC, QCBC=QC2-QA2.(2)由 AC=BC=5,AQ=6 及(1),知 QC=9.由QAB= ACQ,知QABQCA, , AB=.(2015 银川一中高三二模 ,圆的切线的性质与判定,解答题,理 22)选修 4-1:几何证明选讲已知 AB 为半圆 O 的直径,AB=4,C 为半圆上一点,过点 C 作半圆的切线 CD,过 A 点作 ADCD 于点D,交半圆于点
8、E,DE=1.(1)证明:AC 平分 BAD;(2)求 BC 的长.解:(1)证明:连接 OC, OA=OC, OAC= OCA. CD 为半圆的切线, OCCD, OCAD. OCA=CAD, OAC=CAD, AC 平分BAD.(2)连接 CE,由OAC=CAD 知 BC=CE,又 A,B,C,E 四点共圆 , cosB= cosCED, .又 DE=1,AB=4, BC=2.(2015 东北三省三校高三第一次联考,圆的切线的性质与判定,解答题,理 22)选修 4-1:几何证明选讲如图,在ABC 中,ABC=90 ,以 AB 为直径的圆 O 交 AC 于点 E,点 D 是 BC 边的中点,
9、连接 OD 交圆 O 于点 M.求证:(1)DE 是圆 O 的切线;(2)DEBC=DMAC+DMAB.证明:(1)连接 OE. 点 D 是 BC 的中点,点 O 是 AB 的中点, ODAC, A=BOD,AEO=EOD. OA=OE, A=AEO , BOD= EOD.在EOD 和 BOD 中, OE=OB,EOD=BOD ,OD=OD, EOD BOD, OED=OBD=90,即 OEED. E 是圆 O 上一点, DE 是圆 O 的切线.(2)延长 DO 交圆 O 于点 F. EOD BOD, DE=DB. 点 D 是 BC 的中点, BC=2DB. DE,DB 是圆 O 的切线, D
10、E=DB. DEBC=DE2DB=2DE2. AC=2OD,AB=2OF, DMAC+DMAB=DM(AC+AB)=DM(2OD+2OF)=2DMDF. DE 是圆 O 的切线,DF 是圆 O 的割线, DE2=DMDF, DEBC=DMAC+DMAB.专题 7 与圆有关的比例线段(2015 东北三省三校高三二模,与圆有关的比例线段,解答题,理 22)选修 4-1:几何证明选讲如图,已知点 C 在圆 O 直径 BE 的延长线上,CA 切圆 O 于点 A,CD 是ACB 的平分线,交 AE 于点 F,交 AB 于点 D.(1)求证:CEAB=AE AC;(2)若 AD DB=1 2,求证:CF=
11、DF.证明:(1) CA 为圆 O 的切线, CAE=CBA.又ACE=BCA, ACEBCA,得,CEAB=AEAC.(2) CD 平分 ACB, ACF=BCD. AC 为圆的切线, CAE=CBD, ACFBCD. ACF+CAE=BCD+CBD,即AFD= ADF, AF=AD. ACFBCD, , CF=DF.14.2 坐标系与参数方程专题 2 直角坐标方程与极坐标方程的互化(2015 东北三省三校高三二模,直角坐标方程与极坐标方程的互化,解答题,理 23)选修 44:坐标系与参数方程已知点 P 的直角坐标是(x,y), 以平面直角坐标系的原点为极坐标的极点,x 轴的正半轴为极轴,建
12、立极坐标系.设点 P 的极坐标是( ,),点 Q 的极坐标是( ,+0),其中 0 是常数.设点 Q 的平面直角坐标是(m,n).(1)用 x,y,0 表示 m,n;(2)若 m,n 满足 mn=1,且 0=,求点 P 的直角坐标(x,y)满足的方程.解:(1)由题意知即所以(2)由题意知所以=1.整理得=1.专题 5 参数方程与普通方程的互化(2015 银川二中高三一模 ,参数方程与普通方程的互化,解答题,理 23)选修 44:坐标系与参数方程已知曲线 C:=1,直线 l:(t 为参数 ).(1)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程;(2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角
13、为 30的直线,交 l 于点 A,求|PA|的最大值及此时 P 点的坐标.解:(1)曲线 C 的参数方程为直线 l 的普通方程为 x+2y-6=0.(2)设曲线上任意一点 P 的坐标为(4cos,2sin ),则|PA|的距离是 P 到直线距离的两倍,即|PA|=2d=2=2,当 sin=-1 时,|PA|有最大值.此时 P 的坐标为(- 2,-3).专题 6 极坐标方程与参数方程的应用(2015 辽宁重点中学协作体高考模拟,极坐标方程与参数方程的应用,解答题,理 23)选修 44:坐标系与参数方程已知曲线 C1 的参数方程为(t 为参数),已知曲线 C2 的极坐标方程为= 1.(1)写出曲线
14、 C1,C2 的直角坐标方程;(2)若曲线 C1 和 C2 有且只有一个公共点,求实数 m 的值.解:(1)曲线 C1:y=mx-2m-1,曲线 C2:x2+y2-4y=0(y0),即 x2+(y-2)2=4(y0).(2)当直线与圆相切时,d= 2, m=-.当直线过点(0,0)时,-2m=1, m=-.综上所述,m=-或 m=-.(2015 东北三省三校高三第一次联考,极坐标方程与参数方程的应用,解答题,理 23)选修 44:坐标系与参数方程已知曲线 C 的极坐标方程是 =2cos ,以极点为平面直角坐标系的原点 ,极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程是 (t 为
15、参数) .(1)求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程;(2)设点 P(m,0),若直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,且|PA| |PB|=1,求实数 m 的值.解:(1)由 =2cos 得 2=2cos, x2+y2=2x,即(x-1) 2+y2=1, 曲线 C 的直角坐标方程为(x-1) 2+y2=1.由得 x=y+m,即 x-y-m=0, 直线 l 的普通方程为 x-y-m=0.(2)将代入(x- 1)2+y2=1 得=1,整理得 t2+(m-1)t+m2-2m=0,令 0,即 3(m-1)2-4(m2-2m)0,解得-1 0).(1)求圆心的一个极坐标;(2)当 r
16、为何值时 ,圆 O 上的点到直线 l 的最大距离为 3?解:(1)由圆 O 的参数方程得圆心 O 的坐标为.设圆心坐标为(,)(0,00,故可设 t1,t2 是上述方程的两实数根,所以又直线 l 过点 P(3,).A,B 两点对应的参数分别为 t1,t2,所以|PA|+|PB|=|t 1|+|t2|=t1+t2=3.(2015 江西重点中学盟校高三第一次联考,极坐标方程与参数方程的应用,解答题,理 23)选修 4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线 l 的极坐标方程 =,曲线 C 的参数方程为(1)写出直线 l 与曲线 C
17、的直角坐标方程;(2)过点 M 平行于直线 l 的直线与曲线 C 交于 A,B 两点,若|MA|-|MB|=,求点 M 轨迹的直角坐标方程.解:(1)直线 l:y=x,曲线 C:+y2=1.(2)设点 M(x0,y0)及过点 M 的直线为 l1:(t 为参数) .由直线 l1 与曲线 C 相交可得 tx0+2ty0+2-2=0.|MA|+|MB|=,即+2= 6,x2+2y2=6 表示一椭圆.取 y=x+m 代入 +y2=1 得 3x2+4mx+2m2-2=0,由 0 得-m,故点 M 的轨迹是椭圆 x2+2y2=6 夹在平行直线 y=x之间的两段弧.(2015 辽宁大连高三双基测试,极坐标方
18、程与参数方程的应用,解答题,理 23)选修 4-4:坐标系与参数方程已知曲线 C:+y2=1,直线 l:(t 为参数) .(1)以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求出直线 l 的极坐标方程和曲线 C 的参数方程;(2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30的直线,交 l 于点 A,求|PA|的最大值与最小值.解:(1)直线 l 的极坐标方程为 sin=1,曲线 C 的参数方程为( 为参数 ).(2)曲线 C 的点 P(2cos,sin)到直线 l:x+y-2=0 的距离 d=,则|PA|=|sin(+)- 2|,tan=2. 当 sin(+)=-1 时,|PA|
19、max=+2;当 sin(+)=时 ,|PA|min=0.14.3 不等式选讲专题 1 含绝对值不等式的解法(2015 东北三省四市教研联合体高三模拟一,含绝对值不等式的解法,解答题,理 24)选修 4-5:不等式选讲设函数 f(x)=|x+2|+|2x-4|,g(x)=a+x.(1)当 a=3 时,解不等式 f(x)g(x);(2)画出函数 y=f(x)的图象,根据图象求使 f(x)g( x)恒成立的实数 a 的取值范围.解:f(x) =(1)a=3,f(x)g( x)x0;(2)若 f(x)+3|x-4|m 对一切实数 x 均成立,求实数 m 的取值范围.解:(1)当 x4 时,f(x)=
20、2x+1-(x-4)=x+ 50,解得 x-5,所以 x4 成立;当-x0,解得 x1,所以 10,解得 x1 或 x-1,且当 x时,f(x )g(x) 恒成立,求 a 的取值范围.解:(1)设 F(x)=f(x)-g(x)=由图象可知 F(x)0;(2)若x 0R ,使得 f(x0)+2m20,即-x+ 30,解得 x0,即-3x- 10,解得 x时 ,f(x)=|2x-1|-|x+2|=2x-1-x-2=x-3,f(x)0,即 x-30,解得 x3,又 x, x3.综上所述,不等式 f(x)0 的解集为(3,+).(2)f(x)=|2x-1|-|x+2|= f(x)min=f=-. x0
21、 R,使得 f(x0)+2m2f(x)min=-.整理得 4m2-8m-5-1. a 的取值范围是-10,a+b+c=1.求证:(1);(2).证明:(1) ()2=(a+b+c)+2+2+2( a+b+c)+(a+b)+(b+c)+(c+a)=3, .(2) +(3a+1)2=4, 3-3a.同理得3-3b,3-3c ,以上三式相加得 49-3(a+b+c) =6, .(2015 辽宁大连高三双基测试,不等式的证明,解答题,理 24)选修 4-5:不等式选讲已知 x,y 是两个不相等的正实数,求证:( x2y+x+y2)(xy2+y+x2)9x2y2.证明:因为 x,y 是正实数,所以(x 2y+x+y2)3=3xy,当且仅当 x2y=x=y2,即 x=y=1 时,等号成立;同理,xy 2+y+x23=3xy,当且仅当 xy2=y=x2,即 x=y=1 时,等号成立.所以(x 2y+x+y2)(xy2+y+x2)9x 2y2,当且仅当 x=y=1 时,等号成立.因为 xy,所以(x 2y+x+y2)(xy2+y+x2)9x2y2.
