1、第 23 卷 第 6 期 电 子 测 量与 仪 器学 报 Vol. 23 No. 6 52 JOURNAL OF ELECTRONIC MEASUREMENT AND INSTRUMENT 2009 年 6 月本文于 2008 年 11 月收到。*基金 项 目 : 国家 863 计 划 (编 号 : 2007AA04Z215)资 助 项 目 ; 教育部博士点基金 (编 号 : 20070006047)资 助 项 目。更多电子资料请登录赛微电子网 连续小波变换的对数模拟滤波器实现 *黄姣 英 1 袁海 文 1 何怡 刚 2 (1. 北京航空航天大学自 动 化科学与 电 气工程学院 , 北京 10
2、0191;2. 湖南大学 电 气与信息工程学院 , 长 沙 410082)摘 要 : 提出了基于 对 数技 术 的 连续 小波 变换 的模 拟滤 波器 实现 方法 , 通 过 迭代和函数逼近理 论 可 获 得无 显 式表达式的小波函数的冲激响 应 。小波 变换 的 滤 波器 实现电 路由冲激响 应为 小波函数的 滤 波器 组 构成 , Pad 逼近是一种有效的有理逼近 , 小波函数 经 Pad 逼近后可得到其有理分式逼近 , 有助于 滤 波器 设计 。通 过优 化 滤 波器 组 的状 态 空 间 模型确保了 电 路具有大的 动态 范 围 , 有利于低 压 低功耗运用。仿真 结 果 证实 了其可
3、行性。 关键词 : 小波 变换 ；Pad 逼近；状 态 空 间 ；对 数 滤 波器中图分类号 : O426.9;TN713 文献标识码 : A 国家标准学科分类代码 : 510.4030Realization of log analog filter of continuous wavelet transformHuang Jiaoying1 Yuan Haiwen1 He Yigang2(1. School of Automation Science and Electrical Engineering, Beihang University, Beijing 100191, China;
4、2. College of Electrical Pad approximation; state-space; log filter1 引 言小波 变换 因其在 时 、频 两域都有表征信号局部特征的能力 , 得到了广泛的运用 1-2,10-11。传统 的小波 变换 是用数字 计 算方法 (即离散小波 变换 DWT)来实现 的 , 其 实时处 理性差 ; 近年来 人 们 开始致力于用模 拟电 路 实现连续 小波 变换 的研究。尽管利用开关 电 容技 术 3可 实现连续 小波 变换 , 但其 动态 范 围受低 压 低功耗以及工 艺 限制 ; 本文提出的用 对 数模拟滤 波器网 络实现连续 小波
5、变换 的方案可以克服上述缺点。对 数域 滤 波基于瞬 时缩 展理 论 5, 能在低 电 源电压 下 , 保持高 频 、可 调 、扩 展的 动态 范 围 , 可理想地 实现线 性 电 流 传递 函数 , 而其内部的 电压 信号 则是非 线 性 , 完全适合混合型 Soc 设计 。Pad 逼近是有理函数逼近的一种 6, 滤 波器网 络 冲激响 应经过Pad 变换 可以得到其有理分式逼近 , 十分利于 对 数滤 波器 组 的 设计 。本文 结 合瞬 时缩 展 电 路理 论 与 Pad 逼近技 术来 实现 小波 变换 的模 拟对 数 电 路 实现 , 该 方法 对 于小波 变换 的硬件 实现 具有一定
6、的理 论 价 值 ; 而 采用CMOS 对 数 电 路技 术 , 可以有助于 优 化 电 路的低 压 、低功耗 设计 , 这 将在小波 变换实时处 理中有很好的应 用前景。第 6 期 连续 小波 变换 的 对 数模 拟滤 波器 实现 53 2 原 理小波函数的定 义为 : 设 (t)是具有 紧 支集的平方可 积 函数 , 即 , 若其 傅里叶 变换 2()tLR满 足条件 :()(1)dC则 称 (t)为 一 个 基 本 小 波 或 母 小 波 函 数 , 称 (1)式为 小 波 函 数 的 容 许 条 件 , 容 许 条 件 的 满 足 保 证 了小 波 变 换 的 反 变 换 存 在 。设
7、 x(t)是 平 方 可 积 函 数 , 则 有(2)1, d,X atWTatta则 式 (2)称 为 x(t)的小波 变换 。式中 : a 是尺度因子且 a0; 反映位移 , 其 值 可正可 负 ; 上 标 “*”表示取共轭 。若式 (2)中不但 t 是 连续变 量 , 而且 a 和 也是 连续变 量 , 因此被称 为连续 小波 变换 (continuous wavelet transform,简记为 CWT)。若 X()为 x(t)的傅氏 变换 , 则 (2)式 对应 的 频 域表示式如式 (3): (3)j(,)ed2XaWT从式 (3)可看出 : 小波 变换 在 频 域的作用相当于用
8、基本 频 率特性 为 ()且品 质 因素恒定的 带 通 滤波器在不同尺度 a 下 对 信号作 滤 波 处 理。当 a 连续变 化 时 , 对 信号作小波 变换 相当于用无限多个不同中心 频 率与 带宽 的恒 Q 带 通 滤 波器 对 信号作 滤 波再将 滤 波 结 果求 积 分 , 品 质 因素 Q 为 中心 频 率与 带宽之比。同 时 , 从一 维连续 小波 变换 定 义 中有关内 积与卷 积 的比 较 来看 , 输 入信号与小波函数的卷 积 可以 认为 是小波 变换 (在函数 满 足关于 t=0 对 称的条件下 , 则该结论 与从内 积 的角度考 虑 而得的 结论 完全相同 ; 如非 对
9、称 , 在 计 算方法上也没有本 质 的区 别 )。根据信号 处 理理 论 , 信号与某个函数的卷 积 就是信号通 过 以 该 函数特性 为 冲激响 应 的系 统 后的 输出 , 因此只要构造冲激响 应为 小波函数的 滤 波器 组 , 则 信号通 过该滤 波器 组 后的 输 出就是信号的小波 变换 。这样 一来 , 小波 变换 的 实现问题转 化 为 构造冲激响 应为 不同尺度与位移的小波函数的 滤 波器 组 的问题 。需要注意的是 , 在构造不同尺度与位移的小波函数 滤 波器 组时 , 要保 证 品 质 因数与 a 值 无关 这个条件。在 实际应 用中 , 考 虑 到小波 变换 的冗余性以及
10、 实际实现 的可能性 , 只要将 a,离散化 , 一般取 a=2 (也称二 进 小波 变换 )并根据 实际问题 取 为合适 值 即可 满 足要求。 该 方法 为实时处 理提供了可能 , 尤其是 对 二 维 信号 (如 图 像 )求其二 维 小波 变换的情形。因其数据量巨大 , 用 传统 的离散小波 变换方法不能达到 实时处 理 , 当 输 入信号是光学信号 (如遥感、气象 卫 星的 图 片 )时 , 若能构造一个冲激响 应具有二 维 小波函数形式的光学 滤 波器 , 即可立即得到相 应 的二 维 小波 变换 的 输 出 , 实现实时压缩 、传输 。下面将 论 述一 维 小 滤 波器的构造。3
11、滤波器的构造3.1 滤波器网络冲激响应的确定在 实际 构造 滤 波器 组时 , 首先是确定母小波函数 。要 完 全 满 足 其 时 域 表 达 式 (t)或 频 域 表 达 式 ()是不可能的 , 只能 进 行一定程度的近似。 这 种近似既可以从 时 域考 虑 , 即近似 (t), 也可以从 频 域近似 , 即近似 ()。不失一般性 , 此 处 只 讨论 h(t)为 (t)时的构造方法 , 至于 h(t)为 、 等的构造方2t4法完全 类 似。设 u(t)表示 阶跃 函数 , 则 由 电 网 络 理 论 可知 , 若 h(t)为 指数和形式 , 即(4)1()e()ijNpjhtKut式中 :
12、 pj 是 实 部 为负 的复数 , Kj为 复数 , 为 保 证 系 统稳 定 , 则 一定可以找到一个 N 阶线 性的模 拟滤 波网络 , 其冲激响 应 等于 h(t)。因此需要解决的 问题 是确定式 (4)中的 2N 个未知参数 Kj 及 pj. 假 设 T 为 某一固定的 间 隔 , 由于一般小波函数 (t)都不具有指数和的形式 , 甚至大多数小波函数 连显 式表达式都没有 , 只有通 过 迭代得到的其离散点的 值 (nT), (nZ ),因此只能根据函数逼近理 论 由 这 些已知的 样 点 值 构造出 h(t), 使 h(t)尽量接近 (t), 这 里 , 具体的 计 算略。下面 讨
13、论获 取小波函数的 显 式表达式后 , 如何 设计所需的 滤 波器 , 本文 选择 高斯函数作 为 小波函数 (也称 为 母小波 ), 这 是因 为 高斯函数在它的函数支架内具有 带 通的性 质 , 且 带宽还 可以由参数 a 来控制 , 另一个重要的性 质 是它的 频 域形式仍然保持高斯形式。一般通用的高斯函数族形式 为 : (5)241etaagt3.2 Pad 逼近Pad 逼近是 有理函数逼近的一种 , 任何 函数 经过 Pad 变换 可以得到其有理分式逼近。在小波 变换的 滤 波器 电 路 实现 中 , 构造冲激响 应为 小波函数的恒 Q 带 通 滤 波器 组 至关重要。 滤 波器的
14、传输 函数通 54 电 子 测 量 与 仪 器 学 报 2009 年常都表示 为 有理分式 , 因此将小波函数 转 化成有理分式形式的 传输 函数在小波 滤 波器的 设计实现 中 显得非常重要。对 小波函数 进 行 Pad 逼近后 , 可以 获 得其 频 域的有理分式逼近 , 然后再根据 滤 波器 设计 理 论 , 就可以 实现 小波 滤 波器的 设计 , 图 1 为 模 拟 小波 滤 波器的 设计 流程 图 。在 Pad 逼近中 , 有理分式逼近系数的 计 算由母小波函数 (t)的拉普拉斯 变换 (Laplace transform)的泰勒 级 数 (Taylor)展开 获 得。一般的 ,
15、设 F(s)在 s = 0 处 的 Taylor 级 数 为(6)101()kccOs式中 : c0, c1, , ck称 为 Taylor 展开系数 . 由于 F(s)的 Taylor 展开式中只有零点 ,并不是 滤 波器 传输 函数的理想表达式 ,故需将其 变换 成有理分式形式。图 1 模 拟 小波 滤 波器 设计 流程 图Fig. 1 Flowchart of wavelet filter design函数 F(s)的 Pad 逼近表达式 为 5:()Fs(7)01/()mmn nppPQqq式中 : Q(s), P(s)的系数分 别为 : (8)10(1)nmnmccqNulpaeq0
16、1011mmncpcqc (当 k 0 时 , ck=0) (9)如果逼近后的有理式函数分子 为 n 次多 项 式 , 分母 为 m 次多 项 式 , 则 原函数可被逼近至 (m+n)次多 项 式。 Pad 逼近的主要 优 点是 计 算 简 便 , 具有通用性 ; 因此也可将 Pad 逼近运用于其他的指定了脉冲响 应 的 滤 波器 设计 , 例如 , 小波 滤 波器的其他母小波的 设计 , 如 Morlet 小波等。结 合小波的 时频 局部性特性 , 采用 3/6 Pad 逼近 , 其 对应 的高斯函数的 Pad 逼近表达式 为 : 3/6()Hs324560.47860.125.4.59.1
17、92.08sss(10)4 电路实现与仿真分析本 节 通 过 采用 对 数 滤 波器网 络 来 实现 高斯小波变换 , 整个 滤 波器 组 由 6 个 6 阶带 通 滤 波器 组 成 , 其 传递 函数表达式如式 (10)所示。 6 组滤 波器的中心频 率分 别为 : 0.156 kHz, 0.312 kHz, 0.625 kHz, 1.25 kHz, 2.5 kHz 和 5 kHz。每个 6 阶带 通 滤 波器分 别 由 3 个二 阶滤 波器并 联 而成。 为 了 节 省硬件成本 , 这 里采用了共享 邻 近的 滤 波器技 术 , 也就是 说 , 整个 6 通道的滤 波器 组 只需 13 个
18、二 阶滤 波器便可构成 , 如 图 2 所示。图 2 共享型 6 通道 滤 波器 组Fig. 2 Communion 6-cannel filterbank二 阶滤 波器采用 对 数技 术 来 实现 。对 数域 滤 波技 术 4,6-7可在同一瞬 时 , 对 信号先 进 行 压缩 , 待 处 理后再 进 行 扩 展 , 从而 实 现 在 低 压 下 提 供 高 频 、可 调 、扩 展的 动态 范 围 等 优 点。它直接利用晶体管的指数特性 实现线 性 电 流 传递 函数 , 而其内部的 电压 信号则 是非 线 性 , 避免由于将非 线 性器件 线 性化所引起的功耗增加和工作速度的降低。一般可以
19、根据 滤 波器的 传递 函数来 设计滤 波器电 路。但由于受大范 围 内 变 化的偏置 电 流和 电 容的限制 , 不可能直接通 过滤 波器的 传递 函数来 设计 状态 空 间 模型 (state-space mode)从而得到相 应 的 滤 波器 实现电 路。 为 了在 优 化 电 路大小的同 时 又能保 证好的 电 路性能 , 在 进 行状 态 空 间转换时 采用了如下3 种方法 : 1) 为 了 压缩电 路面 积 , 共享偏置 电 路 , 需第 6 期 连续 小波 变换 的 对 数模 拟滤 波器 实现 55 平衡所有的 滤 波器系数 , 从而保 证 偏置 电 流相等或至少 处 于同一个范
20、 围 之内 ; 2) 增加 亚输 入 单 元 , 从而使得内部的各个状 态变 量 拥 有同 样 的工作点 8; 3) 电 流 IBIAS和 电 流 IF彼此独立 , 通 过调节 IBIAS与IF来分 别设 置信号范 围 和截止 频 率 , 从而保 证输 入信号、 电 流以及 电 容等 处 在一定的范 围 内 , 而 频 率调节 却不受影响。相 应 的状 态 空 间 模型 实现 如 图 3所示 , 式 (11)为 其 对应 的状 态 方程。; (11)仿真 时 , 只 选 用了0.25 m CMOS 工 艺 ; 对电 路 设计 而言 , 在 进 行状 态空 间转 化 时 , 在 优 化 电 路大
21、小与保 证 好的 电 路性能两方面 , 考 虑 有所欠缺 ; 以及在整体 设计 上 , 对 系 统的最大信号 频 率与幅 值 等 进 行的考 虑 不足 , 对 系 统做的一些分析裕度的保留不 够 。(a)(b)图 5 (a)原始信号 (b)重构信号Fig. 5 (a) Initial signal; (b) Reconstruction signal5 结 论本文提出了基于 对 数技 术 的 连续 小波 实现 , 首先分析了 滤 波器网 络 冲激响 应 的 计 算 , 然后通 过Pad 逼近方法 , 得到所需小波函数的有理分式逼近 , 小波 变换 的 滤 波器 实现电 路由 冲激响 应为 小波
22、函数的 滤 波器 组 构成 ,最后 , 通 过优 化 滤 波器 组 的状 态 空间 模 型 确 保 了 电 路 大 的 动 态 范 围 , 十 分 利 于 低 压 低 功 56 电 子 测 量 与 仪 器 学 报 2009 年耗 运 用 。以 高 斯 小 波 变 换 为 例 , 仿 真 结 果 证 实 了 其 可行 性 ; 而 任 意 小 波 函 数 均 能 通 过 Pad 逼 近 得 到 其 有理 分 式 逼 近 , 从 而 使 本 文 方 法 具 有 普 遍 意 义 。仿 真 中出 现 的 误 差 分 析 及 电 路 性 能 优 化 有 待 进 一 步 研 究 。参考文献 : 1 HUAN
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30、action of weak LFM pulse signal based on wavelet de-noising and auto- correlation filtering J. Journal of Electronic Measurement and Instrument, 2008, 22(5): 73-77.作者简介 : 黄姣英 : 女 , 1977 年 出 生 . 2000 年 毕 业 于 湖 南 大 学 机械 与 汽 车 工 程 学 院 ,获 学 士 学 位 , 分 别 于 2002 年 和 2008 年毕 业 于 湖 南 大 学 电 气 与 信 息 工 程 学 院 ,
31、获 硕 士 和 博 士 学 位 。现 为 北 京 航 空 航 天 大 学 自 动 化 科 学 与 电 气 工 程 学 院 从 事 博士 后 工 作 . 主 要 研 究 方 向 为 智 能 信 号 处理 , 预 测 与 健 康 管 理 .E-mail: Huang Jiaoying: female, was born in 1977, received BSc in Mechanical and Automobile Engineering from Hunan University in 2000, and MSc and PhD in Electrical Engineering from the same university in 2002 and 2008, respectively. She is now a post-PhD in School of Automation Science and Electrical Engineering, Beijing University of Aeronautics and Astronautics. Her research interests include intelligent signal processing, prognostics and health management.黄姣英
