1、高中数学热点难点突破技巧第 07讲：导数中的双变量存在性和任意性问题的处理【知识要点】在平时的数学学习和高考中，我们经常会遇到不等式的双变量的存在性和任意性问题，学生由于对于这类问题理解不清，很容易和不等式的恒成立问题混淆，面对这类问题总是感到很棘手，或在解题中出现知识性错误. 1、双存在性问题“存在 ，存在 ，使得 成立”称为不等式的双存在性问题，存在),(1bax),(2dcx)(21xgf，存在 ，使得 成立，即 在区间 内至少有一个值 比函xf),(ba)(xf数 在区间 内的一个函数值小.，即 .（见下图 1）)(xg),(dc maxin)()(f“存在 ，存在 ，使得 成立” ，
2、即在区间 内至少有一个值 比1ba),(2dcx21gx),()(xf函数 在区间 内的一个函数值大，即 .（见下图 2）)(x),(c mina)()(xf2、双任意性问题“任意 ，对任意的 ，使得 成立” 称为不等式的双任意性问题. 任意),(1bax),(2dcx)(21xgf，对任意的 ，使得 成立，即 在区间 任意一个值 比函xf),(ba)(xf数 在区间 内的任意一个函数值都要小，即 .)(xg),(dc maxin()()f“任意 ，对任意的 ，使得 成立” ，即 在区间 内任意一1ba),(2dcx21g)(xf),(个值 比函数 在区间 内的任意一个函数值都要大,即 .)(
3、xf)(xg mina()fg3、存在任意性问题“存在 ，对任意的 ，使得 成立” 称为不等式的存在任意性问题. 存),(1bax),(2dcx)(21xgf在 ，对任意的 ，使得 成立，即 在区间 内至少有一个 值(x)(f),(ba比函数 在区间 内的任意一个函数值都要小，即 . （见下图 3）)(xf)(xg),(c mininxg“存在 ，对任意的 ，使得 成立” ，即 在区间 内至少有一个,1ba,2dx)(21xgf)(f),(值 比函数 在区间 内的任意一个函数值都要大，即 .（见下图 4）)(xf)()(c maxax来源:Z*xx*k.Com【方法讲评】题型一 双存在性问题使
4、用情景 不等式中的两个自变量属性都是存在性的.解题理论存在 ，存在 ，使得 成立” 称为不等式的双存在性问),(1bax),(2dcx)(21xgf题，存在 ，存在 ，使得 成立，即 在区间 内)(xf),(ba至少有一 个值 比函数 在区间 内的一个函数值小，即 .)(xf)(xg),(c maxing“存在 ，存在 ，使得 成立” ，即在区间 内至少有,1ba,2d)(21xgf),(一个值 比函数 在区间 内的一个函数值大，即 .)(xf)(x)(c minax)(f【例 1】已知函数 .34ln0fa（）讨论 的单调性；fx（）当 时，设 ，若存在 ， ，使 ，求实数 的取值范1a24
5、xgea1x2， 12fxga围.（ 为自然对数的底数， ）e718当 时， ， ，01a01240xa1230ax,12x24当 时， ， 单调递减，10， 0hxfx当 时， ， 单调递增，2x， f当 时， ， 单调递减， 0hxfx所以当 时， 的减区间为 ，增区间 .0af 34， 34，当 时， 的减区间为 .1fx0，当 时， 的减区间为 ，0af 21a， 214a，增区间为 . 2144aa ，（）由（）可知 在 上的最大值为 ， fx2， 13ln26fa，令 ，得 .24xge0gln时， ， 单调递减，1ln， xx， ， 单调递增， l2x， 0g所以 在 上的最小值
6、为 ， 1， ln24l2ga由题意可知 ，解得 , 所以 .34ln264laa14【点评】 （1）存在性问题和任意性问题都是最值关系问题，关键是是什么样的最值关系，所以务必理解清楚,不能含糊.(2)对于存在性问题和任意性问题的理解可以数形结合理解（见前面的知识要点） ，也可以这样记忆，双存在性问题两边的最值相反.【反馈检测 1】设函数 ，2()()xfxabeR（1）若 是函数 的一个极值点，试求出 关于 的关系式（用 表示 ）,并确定 的单调区x aab)(xf间；（2）在（1）的条件下，设 ，函数 ，若存在 使得0a42)1()xexg 4,0,21成立，求 的取值范围.1|)(|2g
7、f题型二 双任意性问题使用情景 不等式的两个自变量属性都是任意的.来源:学|科| 网 Z|X|X|K解题理论“任意 ，对任意的 ，使得 成立” 称为不等式的双任),(1bax),(2dcx)(21xgf意性问题. 任意 ，对任意的 ，使得 成立，即 在区,1 ,2 21f )(xf间 任意一个值 比函数 在区间 内的任意一个函数值都要小，即),()(xf)(xg)(c.maxin(fg“任意 ，对任意的 ，使得 成立” ，即 在区间),1b),(2dcx)(21xgf)(xf内任意一个值 比函数 在区间 内的任意一个函数值都要大,即),(fg.minax()fxg【例 2】已知函数 若不等式
8、对所有 ， 都成立，求实数lfmfxa0,1m2,xe的取值范围a【解析】则 对所有的 ， 都成立，lnmx0,12,xe令 ， ， 是关 于 的一次函数，lHxA,2,em因为 ，所以21,e1lnx来源:Zxxk.Com【点评】 （1）存在性问题和任意性问题都是最值关系问题，关键是是什么样的最值关系，所以务必理解清楚,不能含糊.(2)对于存在性问题和 任意性问题的理解可以数形结合理解（见前面的知识要点） ，也可以这样记忆，双任意性问题，两边的最值相反.学！科网【反馈检测 2】已知函数 ， ， ， .（）讨论 的单调 性；（）对于任意 ，任意 ，总有 ，求 的取值范围. 0,1 题型三 存在
9、任意性使用情景 不等式的两个自变量一个属性是存在性的，一个 是任意性的.解题理论“存在 ，对任意的 ，使得 成立” 称为不等 式的存在任),(1bax),(2dcx)(21xgf意性问题. 存在 ，对任意的 ，使得 成立，即 在区,1 ,2 21f )(xf间 内至少有一个值 比函数 在区间 内的任意一个函数值都要小，即),()(xf)(xg)(dc.minin(xgf“存在 ，对任意的 ，使得 成立” ，即 在区间),1ba),(2dcx)(21xgf)(xf内至少有一个值 比函数 在区间 内的任意一个函数值都要大，即),()(fg,(c.maxax)(gf【例 3】 （2010 高考山东理
10、数第 22 题）已知函数 1()lnafxx()R.()当 12a时，讨论 ()fx的单调性；（）设 ()4.gxb当 1a时，若对任意 1(0,2)x，存在 21,，使 12()fxg，求实数 b取值范围.（1）当 时， ，当 ,函数 单调递减；当0a()1(0)hx(,1)0,()xhfx()fx，函数 单调递增.(,),xff(2)当 时，由 ，即 ，解得 .()x2ax12,1xa当 时 ， 恒成立，此时 ，函数 单调递减；12a20h()0f()f当 时， ， 时 ，函数 单调递减；01a(,1x,hx()fx时， ，函数 单调递增；(1,)x(),)xf()f时， ，函数 单调递减
11、.0(hxx当 时 ，当 ,函数 单调递减；0a,1)0,()hf()fx当 ，函数 单调递增.(1,),(xxfx综上所述 ：当 时，函数 在 单调递减， 单调递增；)(,(1,)当 时 ， 恒成立，此时 ，函数 在 单调递减；2a12x(0h)0fxfx(0,)当 时， 在 单调递减， 单调递增， 单调递减.0)f,1(,aa（）当 时， 在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意 ，有4(x 1(0,2)x,)()(minfxf又已知存在 ，使 ，所以 ， ， （）212()fxg21()gx1,又 2()4,gxb当 时， 与（）矛盾；1min()50b当 时， 也与（
12、）矛盾；,22i1xg当 时， .bmin 17()()84,8综上所述，实数 的取值范围是 .b17,)8【点评】 （1）存在性问题和任意性问题都是最值关系问题，关键是是什么样的最值关系，所以务必理解清楚,不能含糊.(2)对于存在性问题和任意性问题的理解可以数形结合理解（见前面的知识要点） ，也可以这样记忆，存在任意性问题，两边的最值相同. 【反馈检测 3】已知函数 .（）当 时，求函数 的单调区间；（）已知 ，函数 .若对任意 ，都存在 ，使得 成2(0,2立，求实数 的取值范围.高中数学热点难点突破技巧第 07 讲：导数中的双变量存在性和任意性问题的处理参考答案【反馈检测 1 答案】 （
13、1） ；（2） .5 )3， 1(0 3，令 ，得 或 是极值点， ，即 ()0fx123xa1x31a4当 即 时，由 得 或3a4()0f(3,)a(,)x由 得()fx(,当 即 时，由 得 或1()fx(1,)(,3)xa由 得()0fx(3,1a综上可知：当 时，函数 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为4()fx(,)(,)；当 时，函数 单调递增区间为 和 ，单调递减区间为(1,3)a3a1.学/科 0 网（2）由（1）知，当 a0 时， 在区间（0，1）上的单调递减，在区间 （1，4）上单调递增，函数()fx在区间 上的最小值为()fx,4 2)ae又 ， ，0(23)xbe4(430f函数 在区间0，4上的值域是 ，即()f 1),f 4(2),13)ae又 在区间0，4 上是增函数，且它在区间 0，4上的值域是241xgxae 2428(1),()ae ，4()(3)24()ae24()0e存在 使得 成立只须仅须12,0,12fg 2综上所述： .学#科%网
