1、专题九 解析几何第二十五讲 椭圆答案部分1C【解析】不妨设 ，因为椭圆 的一个焦点为 ，所以 ，0aC(20)， 2c所以 ，所以 的离心率为 故选 C2248bcea2D【解析】由题设知 ， ， ，1290FP2160F12|c所以 ， 由椭圆的定义得 ，即 ，2|P|3c|PF32ca所以 ，故椭圆 的离心率 故选 D(31)caC213cea3C【解析】由题意 ， 由椭圆的定义可知， 到该椭圆的两个焦点的距25P离之和为 ，故选 Ca4B【解析】由题意可知 ， ， ，离心率 ，2924b225cab53cea选 B5A【解析】以线段 为直径的圆是 ，直线 与圆相切，12A22xy20xy
2、b所以圆心到直线的距离 ，整理为 ，2abd23a即 ，即 ， ，故选 A22233acc26ce6A【解析】当 ，焦点在 轴上，要使 上存在点 满足 ，0mxCM120B则 ，即 ，得 ；当 ，焦点在 轴上，tan63b 301m3y要使 上存在点 满足 ，则 ，即 ，CM12ABtan6b 3m得 ，故 的取值范围为 ，选 A 9m(0,9,)7B【解析】不妨设直线 过椭圆的上顶点 和左焦点 ， ，则直线l(0,)b(,0)c,0bc的方程为 ，由已知得 ，解得 ，lbxcy214c23又 ，所以 ，即 ，故选 B22a214ae8A【解析】由题意，不妨设点 在 轴上方，直线 的方程为 ，
3、分Pxl()0ykxa别令 与 ，得 ， ，设 的中点为 ，xc0|()FMkc|OEaG由 ，得 ，即 ，整理得 ，OBG:|GB2()kc13ca所以椭圆 的离心率 ，故选 AC13e9B【解析】抛物线 ： 的焦点坐标为 ，准线 的方程为 ，设28yx(,0)l2x椭圆 的方程为 ，所以椭圆 的半焦距 ，又椭圆的离心E21()xabEc=率为 ，所以 ，椭圆 的方程为 ，联立，14,3a216xy解得 或 ，所以 ，选 B(2,3)(,)AB(2,)(,3)AB|A=10B【解析】由题意得： ，因为 ，所以 ，故选 C549m0m311A【解析】设椭圆的左焦点为 ，半焦距为 ，连结 ， ，
4、则四边形 为1Fc1F1AF平行四边形，所以 ，根据椭圆定义，|4AB有 ，所以 ，解得 因为点 到直11|4Fa8a=2M线 ： 的距离不小于 ，即 ，所以 ，l340xy+=5,1b 1b所以 ，解得 ，所以 ，所以椭圆的离221,ac 03c 302ca心率的取值范围为 3(0,12D【解析】由题意可设 ，圆的圆心坐标为 ，圆心到 的距1cos,in)Q(0,6)CQ离为 ，当222|(10cos)(in6)509(sin)5023CQ且仅当 时取等号，所以 ，所以sin3maxax| 6PQCr两点间的最大距离是 P, 6213D【解析】设 1(,)(,)AxyB，则 12x=2， 1
5、2y=2，21xyab 2yab得 12121212()()0x， ABk= 12y= 12()bxay= ，又 ABk= 3= ，2ba= 1，又 9= 2c=2ab，解得 2=9， =18，椭圆方程为2189xy，故选 D.14D【解析】 1,3cab，选 D.15C【解析】 2FP是底角为 0的等腰三角形1 3()24ccea165【解析】设 ， ，由 ，得 ，1(,)Axy2,BAPB12()xy即 ， 因为点 ， 在椭圆上，所以 ，12x123y 22243xmy得 ，所以24ym，22 21591(3) (5)44xym所以当 时，点 横坐标的绝对值最大，最大值为 25B17 2【
6、解析 】设左焦点为 ，由 关于直线 的对称点 在椭圆上，1FbyxcQ得 ，又 ，所以 ，不妨设 ，|OQ1|O1F1|ck则 ， ，因此 ，又 ，|QFbk1|ak2cakckb由以上二式可得 ，2cb即 ，即 ，所以 ， cab2c2e18 【解析】设 ， ，分别代入椭圆方程相减得21(,)Axy2(,)B，根据题意有 ，121212() 0xab1212,xy且 ，所以 ，得 ，整理 ，所以12y2()a2abace1912【解析】设 交椭圆于点 ，连接 和 ，利用中位线定理可得MNP1F2PAB124FPa20 【解析】由题意可得 ， ，由题意可知点 为 的中点，所32(,)bAc2(
7、,)BaD1FB以点 的坐标为 ，由 ，所以 ，整理得 ，D2(0,)aFD11ADFBk23bac解得 3e21 【解析】由题意得通径 ，点 B 坐标为21xy2AFb251(,)3cb将点 B 坐标带入椭圆方程得 ，221()53()c又 ，解得21bc231b椭圆方程为 231xy22 13【解析】由题意可知， 21FM中， 90,30,60122FM，所以有 12123)(ac，整理得 13ace，故答案为 1323 【解析 】由椭圆的性质可知： ， ， .又已知51AFc12c1FBac， ， 成等比数列，故 ，即 ，1AF21B()()a224则 .故 .即椭圆的离心率为 25ac
8、5ea524 【解析】设点 的坐标为 ， 点的坐标为 (0,1)A(,)mnB(,)cd，可得 ， ，2,(,0)F12,F2,F ， ，又点 在椭圆上，125B6,5ncd,A ， ，解得 ，23mn2()(130,1mn点 的坐标是 A(0,1)25 【解析】(1)因为椭圆 的焦点为 ，C12() 3,0(,)F可设椭圆 的方程为 又点 在椭圆 上，2xyab13,C所以 ，解得231,4ab24,1因此，椭圆 的方程为 C24xy因为圆 的直径为 ，所以其方程为 O12F23xy(2)设直线 与圆 相切于 ，则 ，l00(),)Py203xy所以直线 的方程为 ，即 l00()xyy03
9、xy由 消去 ，得201,43,xy （*）22200064()xyxy因为直线 与椭圆 有且只有一个公共点，lC所以 22220000()()( 4)3(48)xyyx 因为 ，所以 0,y,1因此，点 的坐标为 P(2,)因为三角形 的面积为 ，所以 ，从而 OAB672 67ABOP427AB设 ，12,()(),xy由（*）得 ，2001,248()xyx所以 22 211()()xByA220048()()yx因为 ，203y所以 ，即 ，22016()49xAB420051x解得 舍去） ，则 ，因此 的坐标为 22005(20yP102(,)综上，直线 的方程为 l53xPBAy
10、xOF2F126 【解析】(1)设 ， ，则 ， 1(,)Axy2(,)B2143xy2143xy两式相减，并由 得 12k1120k由题设知 ， ，xym于是 34km由题设得 ，故 021k(2)由题意得 ，设 ，则(1,)F3(,)Pxy3 2(, 1(0,)xyx由(1)及题设得 ， 3()x3120ym又点 在 上，所以 ，从而 ， PC4m(,)P3|F于是 2221111|()4xFAxyx同理 2|B所以 12|4()3x故 2|FPA27 【解析】(1)由题意得 ，所以 ，cc又 ，所以 ，所以 ，63cea3a221ba所以椭圆 的标准方程为 M21xy(2)设直线 的方程
11、为 ，ABm由 消去 可得 ，213yxy224630x则 ，即 ，2226(3)81mm24设 ， ，则 ， ，1(,)Axy2(,)B123mx2134x则 ，222212116|()mkk易得当 时， ，故 的最大值为 20mmax|6AB|AB(3)设 ， ， ， ，1(,)xy2(,)3(,)Cy4(,)Dxy则 ， ，232x又 ，所以可设 ，直线 的方程为 ，(,0)P11PAykPA1(2)ykx由 消去 可得 ，123ykxy222111(3)30xk则 ，即 ，2113kx213k又 ，代入式可得 ，所以 ，12yk1374x1347yx所以 ，同理可得 117(,)4xC
12、22(,)Dx故 ， ，3,Qy471,)Qy因为 三点共线，所以 ，,D3431()()0xxy将点 的坐标代入化简可得 ，即 ,C12yk28 【解析】(1)设椭圆的焦距为 ，由已知得 ，又由 ，可得 c259ca22abc3.ab由 ，从而 2| 13ABab,b所以，椭圆的方程为 294xy(2)设点 P 的坐标为 ，点 M 的坐标为 ，由题意， ，1(,)2(,)xy210x点 的坐标为 由 的面积是 面积的 2 倍，Q1(,).xyBPM BPQ可得 ，从而 ，即 |=2|PM211()xx215x易知直线 的方程为 ，由方程组 消去 y，AB36y36,yk可得 由方程组 消去
13、，可得 263xk21,94xyky1294xk由 ，可得 ，两边平方，整理得 ，21525(32)850解得 ，或 89kk当 时， ，不合题意，舍去；20x当 时， ， ，符合题意1k125所以， 的值为 29 【解析】 （1）设 , ,则 ， ， ()Pxy0()M0(,)Nx0(,)Pxy0(.)NMy由 得 ， 2N002y因为 在 上，所以 0(,)xyC21x因此点 的轨迹方程为 P2y（2）由题意知 设 ， ，则(1,0)F(3,)Qt(,)Pmn， ， ，(3,)OQt,3OFt， ，Pmn()t由 得 ，又由（1）知 ，122n2mn故 30t所以 ，即 又过点 存在唯一直
14、线垂直与 ，所以过点OQPFPF OQ且垂直于 的直线 过 的左焦点 lC30 【解析】 （）设椭圆的离心率为 e由已知，可得 21()2bca又由 ，可得 ，即 22bac220ac0e又因为 ，解得 01e所以，椭圆的离心率为 2（） （）依题意，设直线 FP 的方程为 ，则直线 FP 的斜率为(0)xmyc1m由（）知 ，可得直线 AE 的方程为 ，即 ，与直线2ac12c20xycFP 的方程联立，可解得 ，()3,xym即点 Q 的坐标为 ()3,2c由已知|FQ|= ，有 ，整理得 ，3c222()(c2340m所以 ，即直线 FP 的斜率为 4m4（ii）由 ，可得 ，故椭圆方程
15、可以表示为 2ac3bc2143xyc由（i）得直线 FP 的方程为 ，与椭圆方程联立40xy消去 ，整理得 ，解得 （舍去） ，2340,1xyc227613cx137cx或 xc因此可得点 ，进而可得 ，3(,)2P235|()(cFP所以 由已知，线段 的长即为 与 这53| 2cFQPQMN两条平行直线间的距离，故直线 和 都垂直于直线 MNF因为 ，所以 ，所以 的面NP39|tan248cF积为 ，同理 的面积等于 ，由四边形 的217|23cFQNFPM 2753cPQNM面积为 ，得 ，整理得 ，又由 ，得 3c252c0所以，椭圆的方程为 216xy31 【解析】 （）由椭圆
16、的离心率为 ，得 ，222()ab又当 时， ，得 ，1y22axb2所以 ， ，24a2因此椭圆方程为 1xy（）设 ，联立方程12(,)(,)AB24ykxm得 ，2440kxkm由 得 （*）02且 ，121xk因此 ，2y所以 ，(,)mDk又 ，0,)N所以 222()()1mkk整理得： ，42243()D因为 NFm所以 2422(31)83(1)NDkkF令 ，28tt故 14k所以 22616()NDtFt令 ，所以 1yt2yt当 时， ，3 0从而 在 上单调递增，yt,)因此 ，等号当且仅当 时成立，此时 ，13t 3t0k所以 ，24NDF由（*）得 且 ，2m0故
17、，12N设 ，EDF则 ，sin所以 得最小值为 6从而 的最小值为 ，此时直线 的斜率时 EDF3l0综上所述：当 ， 时， 取得最小值为 0k(2,0)(,)mEDF332 【解析】 （）设椭圆 的方程为 C210,)xyab由题意得 解得 2,3acc所以 221bac所以椭圆 的方程为 C24xy（）设 ，且 ，则 (,)Mmn(,0),)DmNn直线 的斜率 ，由 ，则 ，A2AkME1AMDEk故直线 的斜率 DEDEn所以直线 的方程为 ()yxm直线 的方程为 BN2联立 ，解得点 的纵坐标 2(),myxnE2(4)Enmy由点 在椭圆 上，得 MC24n所以 5Eyn又 ，
18、1|25BDESyBD，|N所以 与 的面积之比为 4:33 【解析】 （1）设椭圆的半焦距为 .c因为椭圆 的离心率为 ，两准线之间的距离为 8，所以 ， ， E1212ca8解得 ，于是 ， 2,ac23bac因此椭圆 的标准方程是 .14xy（2）由（1）知， ， .1(,0)F2(,)设 ，因为点 为第一象限的点，故 .0(,)PxyP0,xy当 时， 与 相交于 ，与题设不符.2l11当 时，直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 .01x1PF01yx2PF01yx因为 ， ，所以直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，1l 2l 1l0y2l01xy从而直线 的方程： ， 1l0()xy直
19、线 的方程： . 2l01()由，解得 ，所以 .200,xxy201(,)xQy因为点 在椭圆上，由对称性，得 ，即 或 .Q20y201x20xy又 在椭圆 上，故 .PE20143x由 ，解得 ； ，无解.20143xy007,xy20143xy因此点 的坐标为 .P43(,)34 【解析】 （I）由题意得， ， 所以椭圆 的方程为 2a1bC214xy又 ，所以离心率 23cab32cea（II）设 （ ， ） ，则 0,xy00y04xy又 ， ，所以直线 的方程为 2,A,1A02x令 ，得 ，从而 0x02yx01y直线 的方程为 01令 ，得 ，从而 0y01xy021xyA所
20、以四边形 的面积AS002yx20004482xyxy0024xy从而四边形 的面积为定值35 【解析】 （）设 ，则由题意知 .1(,)Mxy10y由已知及椭圆的对称性知，直线 的倾斜角为 ，A4又 ，因此直线 的方程为 .(2,0)A2yx将 代入 得 ，xy2143xy270解得 或 ，所以 .01因此 的面积 .AMN21479AMNS（）将直线 的方程 代入 得()0ykx213xy.222(34)161kx由 得 ，12k21(34)kx故 .221|34AMk由题设，直线 的方程为 ，N()yx故同理可得 .21|43k由 得 ，即 .2|AM22k324680k设 ，则 是 的
21、零点，32()68ftt()ft，22()13(1)0fttt所以 在 单调递增，又 ，(0,)(3)15260,()f f因此 在 有唯一的零点，且零点 在 内，所以 .)ft k(32k36 【解析】()设椭圆的半焦距为 ，由题意知 ，c4,ac所以 ，所以椭圆 C 的方程为 .2,ab21xy()(i)设 ，由 M(0, )，可得 00,Pxym00,2.PQxm所以直线 PM 的斜率 ，直线 QM 的斜率 .02kx003k此时 ，所以 为定值 .3k3(ii)设 ，直线 PA 的方程为 ，12,AxyBykxm直线 QB 的方程为 .kxm联立 ，整理得 .214ykx221440x
22、k由 可得 ，所以 ，201mxk210xkx2101kmyxx同理 .2222006,88myx所以 ，2221200 03181kmxkkxx，22221200 06 68 1myxk所以 22116.4ABykkk由 ，可知 k0，0,mx所以 ，等号当且仅当 时取得.162k6k此时 ，即 ，符号题意.2648m147所以直线 AB 的斜率的最小值为 .6237 【解析】 （）设 ，由 ，即 ，(,0)Fc13|cOAF13()ca可得 ，又 ，所以 ，因此 ，223a2ab224所以椭圆的方程为 .14xy（）设直线的斜率为 ，则直线 的方程为 ，(0)kl(2)ykx设 ，由方程组
23、 消去 ，(,)Bxy21,43()xyk整理得 ，解得 或 ，222(43)160kx2x28643k由题意得 ，从而 ，28Bx2143Bky由（）知 ，设 ，有 ，(1,0)F(,)H(,)HFy，294(,3kBF由 ，得 ，所以 ，H0BF2214903Hky解得 ，因此直线 的方程为 ，2941kyMH24xk设 ，由方程组 消去 ，得 ，(,)Mx 2194,(),yxky2091()Mk在 中， ，MAOAO|M即 ，化简得 ，即 ，22()Mxyx1x2091()k解得 或 ，64kk所以直线 的斜率为 或 .l64k38 【解析】 （）由题意有 ， ，解得 2ab21ab2
24、8,4ab所以 的方程为 C2184xy（）设直线 ： ， ， ，lkb(0,)1(,)Axy2(,)B(,)Mxy将 代入 得 ykxb=+2184y2480kkb故 ， 12Mk21Mx于是直线 的斜率 ，即 O1OykOM所以直线 的斜率与直线 的斜率的乘积为定值l39 【解析】 （）设 ，由已知离心率 及 ，又因为 ,0Fc5ca22bc0Bb故直线 BF 的斜率 2bkc（）设点 ， （i ）由（ ）可得椭圆方程为,PQMxyxy，直线 BF 的方程为 ，将直线方程与椭圆方程联立，2154xc2c消去 y，得 ，解得 因为 ，所以直线 BQ 方程为2350cx53PxBQP，与椭圆方
25、程联立，消去 ，整得 ，y2140xc解得 又因为 ,及 ，可得 4021QcxPMQ0x78MPQQx（ii）由（i）有 ,所以 ,即 ，又因7878157为，所以 = 75|sin=9PMBQ=|sinBPQ5|sin73PMBQ又因为 ，所以 ，因423Pyxc225403cc此 ， ，所以椭圆方程为 53c1214xy40 【解析】 （）由题设知 ， 结合 ，解得 2cab=22abc2a所以椭圆的方程式为 21xy（）由题设知，直线 的方程式为 ，代入 ，PQ1+kx（ ） (2)21xy得 2(1)4(1)2()0kxx由已知 0设 ， , ， 则 1(,)Py2()Q121212
26、24()(),kkxx从而直线 的斜率之和,A1212APQyxkk= 12122()()xkkx= 4()()()k41 【解析】 （）由椭圆的定义， ，故122| 24aPF设椭圆的半焦距为 ，由已知 ，因此c12PF，222121| 3cF即 ，从而 故所求椭圆的标准方程为 32bac214xy（）如题(21)图，由 ， 11,|PFQPF得 22211 1| |QFPQPF由椭圆的定义， ， ，2|a2|Qa进而 11|4F于是 2()|Pa解得 ，故 12|P2212(1)|aPF由勾股定理得 ，212|()4Fc从而 ，2 224(1aa两边除以 ，得 ，222(1)11e若记 ，
27、则上式变成 2t 2224(t)184et由 ，并注意到 关于 的单调性，得 ，即 ，3421313t进而 ，即 2159e53e42 【解析】 23(c,0)=.Fcc（ I） 设 ， 由 条 件 知 ， ， 得223,=, 1.2caba又 所 以 21.4xEy故 的 方 程 为（） 12:=,(),().lxlykxPQ当 轴 时 不 合 题 意 ， 故 设214yky将 代 入 得 2(4)60.2221,2383=16(3)0, .1kkx当 即 时 ， 21224.PQxk从 而 2.1OdOPQ又 点 到 直 线 的 距 离 所 以 的 面 积2143=.2PQkSd2443,
28、0, .OPQtktSt设 则 7, 0.ttk因 为 当 且 仅 当 ， 即 时 等 号 成 立 ， 且 满 足P所 以 ， 当 的 面 积 最 大 时 ， 的 方 程 为7722yxyx或43 【解析】 （）设直线 的方程为 ，由 ，l0ykm21ykxmab消去 得， ，y2222bakxa由于直线 与椭圆 只有一个公共点 ，故 ，即 ，lCP020k解得点 的坐标为 ，由点 在第一象限，P22,kmbak故点 的坐标为 ；P22,akbbak（）由于直线 过原点 ，且与 垂直，故直线 的方程为 ，1lOl1l0xky所以点 到直线 的距离 ，P1l2221kbbaad整理得 ，因为 ，
29、22adbk2kb所以 ，当且仅当 时等号成立，222abaak2bka所以点 到直线 的距离的最大值为 .P1l ba44 【解析】 （）根据 及题设知2c2(,)3Mcac将 代入 ，解得 （舍去）22ba23ba1,a故 C 的离心率为 .1（）由题意，原点 为 的中点， 轴，所以直线 与 轴的交点O12F2y1Fy是线段 的中点，故 ，即 (0,2)D1M4baa由 得 。15N12N设 ，由题意知 ，则 ，即1(,)xy10y1()2cxy13,2xcy代入 C 的方程，得 。294cab将及 代入得2c2(4)1a解得 ，27,48ab故 .45 【解析】：（）由 得 。1|3|,
30、|4AFBA11|3,|FB因为 的周长为 16，所以由椭圆定义可得2B 26|8aAa故 。1|85AFa（）设 ，则 且 ，由椭圆定义可得|k01|3,|4AFkB22|3,|Ba在 中，由余弦定理可得AF22222|cosAFBAF即 6(4)3)()(3)()5kakak化简可得 ，而 ，故00于是有 ，212|,|AFkBFk因此 ，可得2|B12A故 为等腰直角三角形从而 ，所以椭圆的离心率 12ca2cea46 【解析】 （）由题意知 ，可得 .23ab24b椭圆 C 的方程可化简为 .224xy将 代入可得 ，yx5a因此 ，可得 .24102因此 ，b所以椭圆 C 的方程为
31、.214xy（） （）设 ，则 ，112(,)0),()AxyDxy1(,)Bxy因为直线 AB 的斜率 ，1Bk又 ，所以直线 AD 的斜率 ，ABD1xky设直线 AD 的方程为 ，yxm由题意知 ，0,k由 ，可得 .214yx22(4)840kx所以 ，1228mx因此 ，12()14ykxk由题意知， ，所以 ，12112yyxx所以直线 BD 的方程为 ，11()4令 ，得 ，即 可得 0y13x1(,0)Mx12ykx所以 ，即 12k因此存在常数 使得结论成立.（）直线 BD 的方程 ，1()4yx令 ，得 ，即 ，0x13y130,N由（）知 ，(,)Mx可得 的面积 ，O1
32、1193|248Sxyx因为 ，当且仅当 时等号成立，211|4xy1|2|此时 S 取得最大值 ，所以 的面积的最大值为 .98OMN9847 【解析】 （）设 的焦距为 ,由题可得 ,从而 ,2C2c21,ca12,c因为点 在双曲线 上,所以 ,3,1P21yxb21133b由椭圆的定义可得,222223313a2a,所以 的方程为 .22bc12,C21,yxx（）不存在符合题设条件的直线.(1)若直线 垂直于 轴 ,因为 与 只有一个公共点,lxl2所以直线的方程为 或 ,当 时,易知 所以 ,2x,33AB2,3OAB此时 .当 时,同理可得 .OB2x（2）当直线 不垂直于 轴,
33、设 的方程为 ,由 llykxm213ykx可得 ,当 与 相交于 两点时,22330kxml1CAB设 ,则 满足上述方程的两个实根,从而12,AyB12x,于是 ,12123,3kxk2211123kmykxmx由 可得 ,因为直线 与 只有一个公2ym22460xl2C共点，所以上述方程的判别式 ,22201830km化简可得 ，因此23km，22212330mkkOABxy于是 ,即 ,所2AOBOAB22OAB以 ,综合（i） （ii）可知，不存在符合题目条件的直线48 【解析】 （1）依条件 ，所以椭圆 C 的标准方程为222634caabb26xy（）设 ， ， ，又设 中点为(
34、3,)Tm1(,)Pxy2(,)QP0(,)Nxy（i）因为 ，所以直线 的方程为：20F2xmy22(3)42016xyy所以22128()(1)43mmy于是 ，1203ym20 263mxy所以 。因为226(,)NOTONkk所以 ， ， 三点共线OT即 OT 平分线段 PQ（其中 O 为坐标原点）（ii） ，2|1Fm22214(1)|13mPQy所以 ，令 （ ）222|4()()3TP2x则 （当且仅当 时取“ ”）2| 123()6TFxxPQ2x所以当 最小时， 即 或 ，此时点 T 的坐标为 或|21m(3,1)(,)49 【解析】 （）因为焦距为 4，所 24ab，又因为
35、椭圆 C 过点 2,P，所以231ab，故 28， 2，从而椭圆 C 的方程为 184xy。（）由题意，E 点坐标为 0(,)x，设 (,0)Dx，则 0,2AE ，0,2ADx，再由 AE知， ，即 0Dx由于 0y，故 08Dx因为点 G 是点 D 关于 y 轴的对称点，所以点 08(,)Gx故直线 Q的斜率 0028QGyxk又因 0,xy在椭圆 C 上，所以 208xy 从而 2QGnk故直线 的方程为 0082xy 将代入椭圆 C 方程，得：222000164nxyxy 再将代入，化简得： n解得 0,xy，即直线 QG与椭圆 C 一定有唯一的公共点50 【解析】依题意可设椭圆 和
36、的方程分别为1C2： ， ： . 其中 ，1C2am2xyan0amn1.（）解法 1：如图 1，若直线 与 轴重合，即直线 的方程为 ，则lyl0x， ，所以 . 1|22SBDOMaB211|2SABONaAB12|SBDA在 C1 和 C2 的方程中分别令 ，可得 ， ， ，0xymnDym于是 | 1BDAymn若 ，则 ，化简得 . 由 ，可解得 12S120121故当直线 与 轴重合时，若 ，则 ly12S解法 2：如图 1，若直线 与 轴重合，则ly， ；|BDOmn|ABOmn， .1 |2SMaD 21|2SNaAB所以 2| 1An若 ，则 ，化简得 . 由 ，可解得 12
37、S210121故当直线 与 轴重合时，若 ，则 ly12SOxBA第 28 题解答图 1CDMNOxyBA第 28 题解答图 2CDMN（）解法 1：如图 2，若存在与坐标轴不重合的直线 l，使得 . 根据对称性，12S不妨设直线 ： ，l(0)ykx点 ， 到直线 的距离分别为 ， ，则(,0)Ma,Nl1d2因为 ， ，所以 . 122|0|1akkd22|0|1akkd12d又 ， ，所以 ，即 . 1|SBD22|SAB2|SBDA|AB由对称性可知 ，所以 ，|C|(1)|，于是|(1)|A. 1|BC将 的方程分别与 C1，C 2 的方程联立，可求得l， .2Aamxk2Banxk
38、根据对称性可知 ， ，于是CDAx. 2 21| ABBCxDmaknBk从而由和式可得. 21()ankm令 ，则由 ，可得 ，于是由可解得 .()t n1t2(1)ntka因为 ，所以 . 于是式关于 有解，当且仅当 ，0k20kk2()0t等价于 . 由 ，可解得 ，221()t11t即 ，由 ，解得 ，所以1()2当 时，不存在与坐标轴不重合的直线 l，使得 ；2 12S当 时，存在与坐标轴不重合的直线 l 使得 . 1解法 2：如图 2，若存在与坐标轴不重合的直线 l，使得 . 根据对称性，12不妨设直线 ： ，l(0)ykx点 ， 到直线 的距离分别为 ， ，则(,0)Ma,Nl1
39、d2因为 ， ，所以 . 122|1adk2|0|akkd12d又 ， ，所以 .1|SBD22|SAB12|SBDA因为 ，所以 .21| BDABAkxxBDA1ABx由点 ， 分别在 C1，C 2 上，可得(,)x(,)B， ，两式相减可得 ，221Akam22kxan222()0ABABxkxam依题意 ，所以 . 所以由上式解得 . 0Bx2AB222()BA因为 ，所以由 ，可解得 .2k22()0BAxa1ABx从而 ，解得 ，所以11当 时，不存在与坐标轴不重合的直线 l，使得 ；2 12S当 时，存在与坐标轴不重合的直线 l 使得 .151 【解析】()设 F(c,0) ，由
40、 ，知 .过点 F 且与 x 轴垂直的直线为3cacxc，代入椭圆方程有 ，2()1yb解得 ，于是 ，解得 ，63by432又 a2c 2b 2，从而 a ，c1，所以椭圆的方程为 .2=3xy()设点 C(x1，y 1)，D(x 2，y 2)，由 F(1,0)得直线 CD 的方程为 yk(x 1)，由方程组 消去 y，整理得(23k 2)x26k 2x 3k260.2,3k求解可得 x1x 2 ，x 1x2 .26k2k因为 A( ，0)，B( ，0) ，所以 CD(x 1 ，y 1)( x 2， y2)( x2 ，y 2)( x 1，y 1)3362x 1x22y 1y262x 1x2 2k2(x11)( x21)6(22k 2)x1x22k 2(x1x 2)2k 2
