第四章：格林函数.ppt

1、数学物理方法概论,之（格林函数）,主讲教师：白璐 联系电话：15291456996 Email: http:/ 格林函数,格林函数在电磁场理论中有广泛的应用，本节将在线性空间的框架下，建立格林函数的定义和应用分析。事实上，希尔伯特空间中的S-L系统（微分算子方程）与积分算子之间有着密切的联系，从这个联系中我们可以引入格林函数的定义，同时，利用这些格林函数，也就将微分方程的表述转化为积分方程，进而得到问题的求解。,1、 点源函数法回顾； 2、 格林函数的引入； 3、 格林函数与 函数； 4、 一维格林函数； 5、 三维格林函数； 6、 格林函数在电磁学中的应用； 7、 并矢格林函数,第四章 格

2、林函数,4.1 点源函数法回顾,4 格林函数,经典的格林函数方法在力学、电磁场理论中有广泛的应用。从点源的概念出发（如质点、点电荷、点热源 等），根据叠加原理，通过点源场的有限积分来得到任意源的场。这种求解数学物理方程的方法即经典的格林函数法，又称为点源函数法或影响函数法。,4 格林函数,4.1.1 格林函数法的回顾,首先，找到一个点源在一定边界条件和初值条件下所产生的场或影响，即点源的影响函数（格林函数）；然后，由于任意分布的源总可以看作是许许多多这样的点源的叠加，利用场的叠加原理，对格林函数在整个源域上积分，即可得到任意源的场，这就是格林函数法的主要思想。,回顾内容包括：,1、点源函数的性

3、质； 2、格林函数的一般求法（电像法）等； 3、格林函数求解边值问题的途径。,4.1 点源函数法回顾,4 格林函数,例如：空间中，静电荷产生的电势问题，,电荷源 电荷密度,空间M处的电势满足泊松方程：,实际上：由静电学可知，位于 点的单位正电荷在r处的电势为,4.1 点源函数法回顾,4 格林函数,表明：上方程的求解，可以通过以下思想获得：,1）找到一个点源在一定边界或初值条件下的场即格林函数（或称点源函数，影响函数） 2）根据线性迭加原理，将各点源的场迭加起来，得到一般源的场即通过有限积分表示原问题的解。,格林函数法（点源法）,根据迭加原理，任意电荷分布的电势为：,4.1 点源函数法回顾,4

4、格林函数,从以上例题的分析可见，格林函数法的主要特点是： 1）直接求得问题的特解，（它不受方程类型和边界条件的局限）， 2）通常结果用一个含有格林函数的有限积分表示，物理意义清晰，便于以统一的形式研究各类定解问题； 3）且对于线性问题，格林函数一旦求出，就可以算出任意源的场，这样将一个复杂的求解问题，就转换为关键是求解点源的相对简单的问题。,4.1 点源函数法回顾,4 格林函数,4.1.2 函数,4.1 点源函数法回顾,4 格林函数,2、定义, 函数,更普遍的定义为,4.1 点源函数法回顾,4 格林函数,4.1 点源函数法回顾,4 格林函数,4.1 点源函数法回顾,4 格林函数,3、三维 函数

5、,其中,为三维 函数,且具有性质：,这表明，高维函数等于一维情况的乘积，由此，高维函数 也具有一维函数的所有的性质。,4.1 点源函数法回顾,4 格林函数,4.1 点源函数法回顾,4 格林函数,其中， 为不同时为零的常数。为了得到定解问题(1)(2),4.1 点源函数法回顾,4.1.3 泊松方程的边值问题,的解的积分表达式，首先引入格林公式,一、泊松方程的基本形式,4 格林函数,4.1 点源函数法回顾,二、格林公式,此式称为,化为体积分,4 格林函数,4.1 点源函数法回顾,此式称为,4 格林函数,4.1 点源函数法回顾,4 格林函数,4.1 点源函数法回顾,三、积分公式格林函数法,目标：求解

6、,4 格林函数,4.1 点源函数法回顾,由于,其中 为M与M0之间的距离,(3),4 格林函数,4.1 点源函数法回顾,若能由此式化简整理得到u(M),则一定是方程（1）的解,这里G就相当于格林第二公式中的v,4 格林函数,4.1 点源函数法回顾,4 格林函数,4.1 点源函数法回顾,4 格林函数,4.1 点源函数法回顾,负号来自内小球面的法向与矢径方向相反,4 格林函数,4.1 点源函数法回顾,注意到格林函数的对称性：,上式的物理意义很难解释清楚，右边第一项，G(M,M0) 代表M0点的点源在M点产生的场，而h (M)代表的却是M 点的源。,将上式中的G(M0,M)用G(M,M0)代替且，将

7、M和M0在公式 中互换，可得,4 格林函数,4.1 点源函数法回顾,（4）,4 格林函数,4.1 点源函数法回顾,物理意义： （1）右边第一项积分代表在积分区域 中体分布源h(M0)在M点产生的场的总和； （2）右边第二、三积分项则是边界上的源所产生的场。这两种影响都是由同一格林函数给出的。,上式给出了泊松方程解的积分表达，但由于G(M,M0)未知 且不同边值条件也需做进一步的分析。,4 格林函数,4.1 点源函数法回顾,2、泊松方程边值问题的积分公式,(A)第一类边界条件,基本公式变为,由,边界条件变为,只要G(M,M0)，满足定解问题，则上式u (M)就都为已知量表示,G(M,M0)所构成

8、的定解问题即,下式称为泊松方程的狄氏问题,满足狄氏问题的格林函数，简称为狄氏格林函数。,4 格林函数,4.1 点源函数法回顾,狄氏积分公式,基本积分公式变为,4 格林函数,4.1 点源函数法回顾,(B)第二类边界条件,由,边界条件变为,但此式不存在，因为 在第二类,齐次边界条件 下无解。,表示在边界上是绝热的，由于边界绝热，从点源出来的,4 格林函数,4.1 点源函数法回顾,从物理上看，其意义十分明显。方程,可看成稳定的热传导方程在M0点有一个点热源，而边界条件,热量，会使体积内的温度不断升高，而不可能达到稳定状态。,显然，为了解决这一矛盾，或者修改格林函数所满足的方程,使之与边界条件 相容，

9、,这就要引入所谓的广义格林函数方程；或者修改边界条件使之 与格林函数所满足的方程相容，这里不再详细讨论。,4.1 点源函数法回顾,4 格林函数,代入基本积分公式，得,(C)第三类边界条件,若要求G(M,M0)满足第三类的齐次边界，即,则当G(M,M0)乘 ，以u(M)乘上式再相减，得,4.1 点源函数法回顾,4 格林函数,由上面的讨论可见，在各类非齐次边界条件下解泊松方程,可以先在相应的同类齐次边界条件下解格林函数所满足的方程,再通过基本积分公式得到 u (M)。,1)格林函数的定解问题，其方程形式比原泊松方程简单，且 边界条件又是齐次的，因此求解相对容易。 2)且不同泊松方程的非齐次项h(M

10、)和边界条件中的不同g(M)， 只要属于同类边值问题，函数G(M,M0)都相同。这就将泊松方 程的边值问题化为几种类型边界条件下求解格林函数的问题。,4.1 点源函数法回顾,4 格林函数,4.1.4 格林函数的一般求法,一、无界空间的格林函数 基本解,从前讨论可知，确定了G，就能利用积分表达式求得 泊松方程边值问题的解。但一般求解G，并非易事。 只有某些特殊情况下，比较容易求出。,无界区域的格林函数G0, 又 称为相应方程的基本解。,将一般边值问题的格林函数G分为：,对于三维泊松方程，基本解G0满足,G1则满足相应的齐次方程(拉普拉斯方程),它描述的是点 的点源在无界空间产生的稳定场。以静电场

11、为例，它描述在点 电量为 的点电荷在无界空间中所产生电场在 点的电势，即,4.1 点源函数法回顾,4 格林函数,及相应的边界条件，例如在第一边值问题中，,从而有,拉普拉斯方程的边值问题的求解是熟知的，至于方程,类似的对于二维泊松方程，可用平面极坐标求得其基本解G0满足,在接地导体球内放置电荷时，导体球面上将产生感应电荷。因此，球内电势应为球内电荷直接产生的电势与感应电荷所产生的电势之和。可将G写为,边界条件为,4.1 点源函数法回顾,4 格林函数,此处G便是泊松方程第一边值问题的格林函数。从电磁学知,考虑物理问题，设有一接地导体球内的 点放置一电量,为 的点电荷。则球内电势满足泊松方程,二、用

12、电像法求格林函数,其中G0是不考虑球面边界影响的电势，G1是感应电荷引起的,G1则可以由 及上式的边界条件用分离变量法得到。,以及边界条件,4.1 点源函数法回顾,4 格林函数,这样G0就是基本解，,由前面的讨论可知，G0满足,从而G1满足,但这样得到的解往往是无穷级数。以下介绍另一种方法即 电像法，用电像法可以得到有限形式的解。,电像法的基本思想： 用一设想的等效点电荷来代替所有的感应电荷，于是可求得G1的类似于G0的有限形式的解。显然，这一等效的点电荷不能位于球内，因为感应电荷在球内的场满足 即球内是无源的。又根据对称性，这个等效电荷必位于OM0的延长线上的某点M1，记等效电荷的电量为 q

13、，其在空间任意点M引起的电势为,4.1 点源函数法回顾,4 格林函数,若将场点取在球面P点，则若,则 相似，从而,4.1 点源函数法回顾,4 格林函数,因此若取 ，则球面上的总电势为,正好满足,这个设想的位于M1点的等效点电荷称为 M0点点电荷的电像。这样，球内任一点 的总电势是,其中,4.2.1 格林函数的引入,在希尔伯特空间中的S-L系统（微分算子方程）与积分算子之间有着密切的联系，从这个联系中可以引入格林函数的定义，同时，利用这些格林函数，可将微分方程的表述转化为积分方程，进而得到问题的求解。,注意到积分算子方程：,其中K是积分算子，如果定义为,4.2 格林函数的引入,4 格林函数,而

14、是一个积分算子的核，当这个核来自于包含微分算子方程的解时，被称为微分算子在相应边界条件下的格林函数，记为：,它是服从边界条件 的系统相对应于 的格林函数。 为赫维赛函数：,由此，根据微分积分方程的关系，可以引入格林函数，事实上，可以仿照以上方法，构造不同边界条件下的格林函数。,4.2 格林函数的引入,4 格林函数,例：方程,下的解为,因此，可以引入格林函数,作为算子 在本问题边界条件下的格林函数。,4.2 格林函数的引入,4 格林函数,在边界条件,同样这个方程，改变边界条件为 时,方程的解为,因此，根据格林函数的定义有,即：,4.2 格林函数的引入,4 格林函数,可见：1、边界条件对格林函数的

15、形式影响很大； 2、格林函数的对称性与边界条件有关，后一个边界下是对称的，满足,事实上，格林函数的对称性与算子的厄米性密切相关。,4.2.2 格林函数的对称性,若算子L对任意函数 f 和 g 有,则L是对称的，即自伴算子。,在给定边界条件下，正因为微分算子的对称性，格林函数也具有对称性。,4.2 格林函数的引入,4 格林函数,4.2.3 微分方程与积分方程,显然，在 ，通过格林函数，可以把微分方程转化为积分方程，从而使问题简化。这种作用是通过将微分算子转化为以格林函数为核的平方可积的积分算子，这种平方可积类型的核具有许多很好的性质，可以把任何有界函数的无穷序列变成一个包含有平均收敛子序列的序列

16、，容易和矩阵理论相结合，使问题容易求解。,4.2 格林函数的引入,4 格林函数,4.2 格林函数的引入,4 格林函数,若需求解,它不能直接积分求解，在此意义下它才是真正的微分方程。,积分号下包含有未知函数的方程称为积分方程,类似的，对,其中,可得相应的积分方程,设有算子方程,不妨设L具有一个正交完备的本征函数集合 ，即有,则将解y 和已知函数f 都表示为,代入算子方程，有,1、格林函数的本征表述,4.3 格林函数与函数,4 格林函数,即,由于 线性无关，因此,所以,注意，这里的 ，并且假设对所有的n 有,4 格林函数,4.3 格林函数与函数,可得：,因此 格林函数的本征函数表达式为,是实数，算

17、子L是厄米的，则格林函数是对称的 。,4 格林函数,4.3 格林函数与函数,例： 求在区间0,1 内，算子,对应的格林函数的本征函数表示。,解： L的端点值为零的归一化的本征函数是,本征值是,故格林函数为,它一致收敛于一个连续函数，即前边所给的,4 格林函数,4.3 格林函数与函数,2、格林函数与函数,进一步，把L作用到G上，,注意到，对任意函数f (x) 有,而 是一个正交归一完备集合，右端就是f(x)的本征函数展开，因此有,4 格林函数,4.3 格林函数与函数,因此I 具有函数的性质，从而得到,这正是我们预期的结果。 至此，格林函数表示方程的解为,对,有,其中 是对应齐次方程 的通解，常数

18、项由边界条件确定。,4 格林函数,4.3 格林函数与函数,设一般的二阶线性微分算子为,对齐次方程：,的两个线性无关的解为 ，我们希望求解方程,比较上两个方程可以看到，除了 外，G必须满足方程，因此，对 ，G应该是方程（1）的两个解的线性组合，对 类似。于是我们得到,（1）,（2）,4 格林函数,4.4 一维格林函数,而在 处，G必须连续，因为如果它不连续， 就包含一个函数，因此 就应包含函数的导数，但是（2）式中只有一个函数，所以G是连续的。,但是 是不连续的，而且我们可以从（2）式两边从 从 到 进行积分来确定它的跃度。即把（2）式两边积分,（3）,4 格林函数,4.4 一维格林函数,4 格

19、林函数,4.4 一维格林函数,假设 连续，由考虑到 很小，这些函数在积分范围内的变化可以忽略（即提到积分号外），用它们在 处的值替代，再化简，得到G的导数在 的跃度为：,（4）,利用G在 处的连续性，加上（4）式，可得,，,其中W是朗斯基行列式，它是,因此，G可以表示为：,4 格林函数,4.4 一维格林函数,可以证明 总不为零， 可以通过边界条件确定，格林函数的最终形式与边界条件的类型有很强的依赖关系。如果边界条件是各种单点型，则要求 ，格林函数可表示为：,4 格林函数,4.4 一维格林函数,而由格林函数表示的解为,其中 为初始时刻，当我们用单点边界条件 时，可以把积分项看作不存在一样来确定A

20、和B.,对于边界条件是两端点型时，如,同样可以把解写成（5）式，只是恰当选择G中的 ，使,（5）,从而再由解（5）式确定A和B的值。,4 格林函数,4.4 一维格林函数,那么对非齐次微分方程，如,它能够被写成积分方程的形式,其中 是齐次方程 满足边界条件的解的线性组合，G是L满足相应边界条件的格林函数。,4 格林函数,4.4 一维格林函数,例： 算子 在给定两点边界条件下的格林函数：,4 格林函数,4.4 一维格林函数,解： 因为,而：,从而,为了方便，把端点 。由 得,4 格林函数,4.4 一维格林函数,又由 得,所以：,代入G的表达式，得,可见边界条件影响格林函数的结果。,在三维情况下，研

21、究算子,其中 是拉普拉斯算子，,事实上，三维算子方程计算格林函数的方法不同于一维的情况，我们作如下讨论：,对算子方程,（1）,4 格林函数,4.5 三维情况下的格林函数,假设式 和 的傅立叶变换存在,对（1）两边进行傅立叶变换，有,利用格林公式,令,则有,（2）,4 格林函数,4.5 三维情况下的格林函数,4 格林函数,4.5 三维情况下的格林函数,积分域是整个三维空间，因此在计算表面积分时，我们把表面取成半径为R的球面，然后取R趋于无穷的极限即可。此时 正好是径向的单位矢，所以面积分项为,其中,如果当 时， 足够快地趋于零，那么面积分将为趋于零，则有,其中,，因此方程（2）变为,4 格林函数

22、,4.5 三维情况下的格林函数,以下分两种情况考虑： 1. 的情况,令 ，此时 总不为零，有,所以,其中 表示齐次方程 解的任意线性组合。带入 ， 写成由格林函数表示的解为,4 格林函数,4.5 三维情况下的格林函数,其中格林函数,利用复变函数理论，得到,在实际物理问题中，经常要求 r 非常大时解(3)仍有界，因此，解最终表示为,(3),4 格林函数,4.5 三维情况下的格林函数,（4）,在这种情况下，忽略(5.49)式中的面积分是合理的，,当 足够大，,因此，当 足够大时， 按指数形式下降。,4 格林函数,4.5 三维情况下的格林函数,(源的分布)下降得足够快(有限)，则,例： 静电场的泊松

23、方程,解：,当 足够大， ，其中,这个结果在我们的期盼之中，足够远距离处，可以把任何的电荷分部都看成是点电荷。,4 格林函数,4.5 三维情况下的格林函数,在,中令,给出,2. 的情况,中 当 时为零。为了避开这个困难，我们假定 是一个正实数和一个虚数之和，即,最后让 ，得到正常的结果。由,得,采用和 情况相同的处理步骤，得到,4 格林函数,4.5 三维情况下的格林函数,对它的处理要更细致些，因为现在,（5）,4 格林函数,4.5 三维情况下的格林函数,其中,由于插入了虚部，积分道路上没有了极点，可以像前边的情况继续进行下去，最后得,代回（5）式得,其中， 是齐次方程 的解，它的形式,4 格林

24、函数,4.5 三维情况下的格林函数,为,所以完全解为,A, q由初始条件确定。,例：求解薛定谔方程,在 时的解。,解： 这种情况正是上述情况，令 ，立刻得到波函数所满足的积分方程,4 格林函数,4.5 三维情况下的格林函数,其中 ，这是量子力学中散射问题的李普曼许温格（LippmannSchwinger）方程 。,在远区，,其中 是径向单位矢量，分母上的,则,4 格林函数,4.5 三维情况下的格林函数,其中 ，则,称为散射振幅，它表示散射粒子流和入射流之比。,令：,1、拉普拉斯方程在笛卡儿坐标系下的格林函数,例： 如图所示，一无限长矩形波导管，管壁接地，管内放一均匀细线电荷，求管内电势分布。,

25、解：此问题可归结为,这样的问题中，仍可用前边讨论的一维微分算子格林函数的思想，即把包含 源的空间分为唯一的两个区域，而源只考虑一次。对本二维问题，可以按源的左边和右边划分，也可按源的上边和下边划分。结果相同。,4 格林函数,4.6 格林函数在电磁学中的应用,(1)在 的区域，有,代入上式得,从而有：,注意到上边界条件，得解为,4 格林函数,4.6 格林函数在电磁学中的应用,令,注意到上边界条件上式化为,4 格林函数,4.6 格林函数在电磁学中的应用,相应的本征函数为,本征值为,故考虑了边界条件的方程的解为,(2) 在 的区域，有,其解为：,(3) 由 ,处的G的性质确定系数 和 ：,由G的连续

26、性（即电势的连续性）：,4 格林函数,4.6 格林函数在电磁学中的应用,即：,由三角函数的正交性，得,(a),下边讨论G 对 y 的导数在源处的跃度,其中：,4 格林函数,4.6 格林函数在电磁学中的应用,令：,把G 代入原微分方程,得,两边乘以 ，并在0,a上积分，由正交性得,这就是 所满足的常微分方程，由前边讨论的跃度公式,4 格林函数,4.6 格林函数在电磁学中的应用,可得,即：,结合,可得,4 格林函数,4.6 格林函数在电磁学中的应用,最后可得格林函数为,4 格林函数,4.6 格林函数在电磁学中的应用,或,2、拉普拉斯方程在柱面坐标系下的格林函数,例:如右图所示，求接地的圆柱形导电匣

27、内的电位问题，匣内的一个单位源在点 上。,解：格林函数满足的方程是,类似上例，把圆柱导电匣内分成两个区域：,（1）,4 格林函数,4.6 格林函数在电磁学中的应用,(1)在区域,用分离变量法可求得其解为,其中 是 的第n个根。,(2)在区域,4 格林函数,4.6 格林函数在电磁学中的应用,(3) 在 处G的性质决定系数 。由G的连续性,得：,令：,其中：,4 格林函数,4.6 格林函数在电磁学中的应用,代入原方程（1），并化简得,将两边乘以 并在 和 上对 积分，并考虑正交性得G z 满足：,其中,从而,4 格林函数,4.6 格林函数在电磁学中的应用,即：,联立前边得到的,4 格林函数,4.6

28、 格林函数在电磁学中的应用,可得系数,进而得,4 格林函数,4.6 格林函数在电磁学中的应用,当 时,当 时,由于所得格林函数解对所有的a, l 值都成立，所以我们可以把所得结果推广而求得另外一些问题的格林函数。,推广1 : 如果使l 变成无穷大，则能够求出具有一端开路的一个半无穷长接地圆柱形匣的格林函数。这个问题还能够进一步推广以得到一个无限长接地圆柱的格林函数。这个问题的解是,4 格林函数,4.6 格林函数在电磁学中的应用,推广2 : 若再使a 变为无穷大，就得自由空间中的一个单位源在柱面坐标下的格林函数。此时格林函数的径向关系的傅立叶级数的表达式转化为一个傅立叶积分表达式，成为,式中用

29、取代了 并且使用了由 的渐近式所得出的 值。然而从静电学知道，柱面坐标下自由空间的格林函数是,其中,两者应该是完全一致的 。,4 格林函数,4.6 格林函数在电磁学中的应用,对于矢量方程，我们可以采用两种处理方法：一是标量分解；二是直接引入矢量格林函数（并矢格林函数）来求解，这种方法在电磁场问题中经常用到。,1、用矢量势函数求解麦克斯韦方程：,已知麦克斯韦方程组的微分形式：,对于时谐场在自由空间传播,4 格林函数,4.7 并矢格林函数,由此，引入矢量势A和标量势 ：,最终可得关于矢势A及标势的方程：,及洛伦兹条件：,4 格林函数,4.7 并矢格林函数,其中,解以上方程等于解四个标量亥姆霍兹方程

30、，解可以由标量格林函数表示，即：,4 格林函数,4.7 并矢格林函数,这里，格林函数满足,电场和磁场矢量可以由矢势A表示为,对于远区场： 及,其中,代入E、H 的表达式忽略高阶项,4 格林函数,4.7 并矢格林函数,得：,其中,代表相对于 的横向分量,因此，远区场满足所谓自由空间的辐射条件,4 格林函数,4.7 并矢格林函数,2、并矢,定义：并矢是由两个矢量的直积构成的，它定义为,一个并矢并无任何物理解释，其意义仅当它作用到其他矢量时才表现出来。,运算： （1）标量积：有前标量积和后表量积，作用的结果是一矢量,4 格林函数,4.7 并矢格林函数,（2）转置 ：,为D的转置，有：,（3）矢量积：

31、 结果仍是并矢,（4）并矢的分量形式,4 格林函数,4.7 并矢格林函数,通常一个并矢具有九个分量。因此，有时也写成三个分量的形式，而每一分量为一矢量，即,即有：,4 格林函数,4.7 并矢格林函数,其中,（5）并矢的散度和旋度,4 格林函数,4.7 并矢格林函数,（6） 单位并矢：,明显有：,3、矢量格林函数,对于自由空间的电磁辐射问题，我们已经知道场量分别满足下列方程,4 格林函数,4.7 并矢格林函数,引入矢势和标势函数以后，可得场量为,其中：,而,电磁场矢量E、H取决于源的分布。,4 格林函数,4.7 并矢格林函数,由以上结果，我们引入矢量格林函数，然后再定义并矢格林函数。现在考虑这样

32、一个源：位于 处取向为 x方向的无穷小电流源，其强度为 ，即,则由A的表达式得 :,把这基本源产生的电场用 来表示，则,4 格林函数,4.7 并矢格林函数,它是下列方程的解,对于远区满足辐射条件：,称 为自由空间x方向点源的矢量格林函数，因此加上了上标 (x)。,由于点源还可能指向 y方向和 z方向，因此我们还可以得到另外两个方向的自由空间的矢量格林函数，分别用 表示，它们分别满足方程,4 格林函数,4.7 并矢格林函数,且：,并矢包含有三个矢量函数，因此很自然地想利用一个并矢函数来表示以上这三个各别的矢量格林函数,4、并矢格林函数,称为自由空间的并矢格林函数，满足方程,4 格林函数,4.7 并矢格林函数,并矢格林函数与标量格林函数的关系：,总之，一旦我们求得了并矢 ，同样地，任何电流分布所产生的场就能由关于 的积分来表示,三个矢量格林函数的辐射条件结合在一起，构成了并矢格林函数的辐射条件,4 格林函数,4.7 并矢格林函数,而 和前面讨论的标量格林函数有密切的联系。引进并矢格林函数主要是求解矢量微分方程表述上的方便。,