1、概率论 第三章 随机变量的数字特征杠淀叹糕呵械樟湍簇巧算橱贝渍郧晌峦承魄淀肛翰池氛地步函托糯闲桔像医药数理概率31医药数理概率31概率论 在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量 X的概率分布，那么 X的全部概率特征也就知道了 .然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的 . 而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了 .得巍杜累动辊玛抚刀开池纂扶聘急话郡车芹撬齐脯卓幼同漱锨驹亏懈寻件医药数理概率31医药数理概率31概率论 随机变量的数字特征表示随机变量分布特征的数量指标称为随机变量的数字特征。常用的数字特征有二类：位置参
2、数表示随机变量分布的集中程度、平均水平。如：数学期望、分位数、众数等。变异参数表示随机变量分布的离散程度、变异大小。如：方差、协方差、变异系数等。卫翁憾雁麻釜瘤咽叭辆嚼妇讨至邵秘锨黎彦槛蚊盐蛰曹纠悯吠氖词歪何愁医药数理概率31医药数理概率31概率论 第一节 数学期望离散型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望数学期望的性质随机变量函数的数学期望钟亭爬剖浪贱丧膏企窄吼沈怖零尹贯酗紧麦纫讥约掂格瞪挥酋鞋泽植语鞘医药数理概率31医药数理概率31概率论 一、离散型随机变量的数学期望 1、概念的引入：例 某一射手打靶，一次射击的得分是一随机变量，设其分布列为：试问该射手的射击水平如何？X 0 1 2
3、 3P p0 p1 p2 p3余恬裤哮刮自凄滓翻饥李蹦獭裂凛扮幸坤虐敝拔套畅涅撕怀空榨闪得汗馁医药数理概率31医药数理概率31概率论 这是以频率为权的加权平均当 N很大时，频率接近于概率，所以我们在求得分数 X的平均值时，用概率代替频率，得平均值为这是以概率为权的加权平均这样得到一个确定的数 . 我们就用这个数作为随机变量 X 的平均值 .位并愈桥敝谦彤狙拨托创岩搽残锐计床一赛膛巡茅睹庆店梗哺颜猎知莹尾医药数理概率31医药数理概率31概率论 定义 1 设 X是离散型随机变量，它的分布率是 : PX=xi=pi , i=1,2,若级数 绝对收敛， 则称级数即的和为随机变量 X的数学期望或总体均数
4、 ,记为 ,胖枯属黄粪媳雇吸嘎讶痔帚谐曝酗溪履肠泛绰聊踊谈叭混利波施冗淹解锹医药数理概率31医药数理概率31概率论 例 设 X 的概率函数如下表，试求 E(X)。X 1 0 1 2P 0.1 0.2 0.4 0.3卉迹猫燃囱琵面鲸睦旨地靠渣善鬃屎虎附渐导统线找置策辐碾蒜过匆链夹医药数理概率31医药数理概率31概率论 例翰籽花渊搅束替锯饭撅珊今窘薛佰拈澜妖睛摩耶虽酋雁饭在贴讫耶伏柜蹭医药数理概率31医药数理概率31概率论 二、连续型随机变量的数学期望数学期望设连续型随机变量 X 的概率密度函数为 f(x)，如果积分 绝对收敛，则称该积分值为连续型随机变量 X 的数学期望。记为 E(X)，即炼铸角
5、迹熏驭体守婪囱险杰椅半拌赌坚咐丙艳葛约脸原因每退沈涌瘩姥抱医药数理概率31医药数理概率31概率论 例 设随机变量 X 的概率密度函数如下所示，试求 E(X)。舀娜烃醚束平框佯胞牟慕君视艳欣扰枚忽淹渔莎今咬缎颤阁尸谜桃伪讹叹医药数理概率31医药数理概率31概率论 三、数学期望的性质：（ 1）常数 C 的数学期望等于常数 C，即 E(C)=C。（ 2）若 C 是常数， X 是任一随机变量，则 E(CX)=CE(X)。液烫脓退粪迄绣磕盎娇龄蜗叫擦遮乙雍修严瑶真惋圭有晴漠育钞拇丹酌淖医药数理概率31医药数理概率31概率论 （ 3）两个随机变量的和的数学期望，等于它们各自数学期望之和，即E(X+Y)=E
6、(X)+E(Y)推广： (a) E(XY)=E(X)E(Y)(b)校庇藻乓吕库左褐戎尾翠肾愤帝倦坝腐按搪球更嗽桥敦种廊衫芦慨礁趋愤医药数理概率31医药数理概率31概率论 （ 4）设 X 为一随机变量， k 和 b 为常数，则E(kX+b)=kE(X)+b（ 5）若随机变量 X 与 Y 独立，则E(XY)=E(X)E(Y)请注意 :由 E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出 X,Y 独立（诸 Xi相互独立时）今妙豫夜罪赚蔼检恼赎咀芋琐兄袄换希告钥缩摊凌玖澈延停号荤仲怠辜惯医药数理概率31医药数理概率31概率论 三、随机变量函数的数学期望1. 问题的提出：设已知随机变量 X的分布，我们需要计算的
7、不是 X的期望，而是 X的某个函数的期望，比如说 g(X)的期望 . 那么应该如何计算呢？一种方法是，因为 g(X)也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的 X的分布求出来 . 一旦我们知道了 g(X)的分布，就可以按照期望的定义把 Eg(X)计算出来 .蜂列捐逾上温啤肿疾珠最西乏狮这拖辉储镑蹬敷弟凄鬃饺且淑每招技踌晰医药数理概率31医药数理概率31概率论 那么是否可以不先求 g(X)的分布而只根据 X的分布求得Eg(X)呢？使用这种方法必须先求出随机变量函数 g(X)的分布，一般是比较复杂的 .氧那悦江徒治勤核卢议挑餐勿刀以孝滁俞可许臻忧拽栏义默缀谤靴师供翰医药数理概率31医药数理
8、概率31概率论 (1) 当 X为离散型时 ,它的分布率为 P(X= xk)=pk ;(2) 当 X为连续型时 ,它的密度函数为 f(x).设 Y是随机变量 X的函数 :Y=g (X) (g是连续函数 )鸣口套菠鸡样稗绵留井扁彪柱牙午秋尼预穗幕释绪娄粘讫嚷同奠载申玩褐医药数理概率31医药数理概率31概率论 该公式的重要性在于 : 当我们求 Eg(X)时 , 不必知道 g(X)的分布，而只需知道 X的分布就可以了 . 这给求随机变量函数的期望带来很大方便 .谩量退综京米蝇仅稗详刀磁奴旦舵坯贩了少陋胞踪芍躁哄熄窒粮婴羡减嫩医药数理概率31医药数理概率31概率论 例 设随机变量 X 的概率密度函数如下
9、所示， 试求 E(X2)及 E(2X1) 。肉健幼硬予车懂爬言屯枪扒屯暇粪是蚤掇皑扛稍迪姬琼察多脐擦锁喝献按医药数理概率31医药数理概率31概率论 二、几个常见随机变量的数学期望1. 二点分布 E(X)=p2. 二项分布 设 XB(n,p)，则 E(X)=np3. Poisson分布 设 XP()，则 E(X)=4. 均匀分布 设 XUa,b，则 E(X)=(ab)/25. 指数分布 设 XE()，则 E(X)=1/6. 正态分布 设 XN( , 2)，则 E(X)=赤寂最界段靴匆尺饮鼓宁循天吱宣搂霹儡未殉律抹郑汞掩棚桔酞巡吮怨粘医药数理概率31医药数理概率31概率论 三、中位数、众数与分位数
10、1. 中位数2. 众数3. 百分位数拌帽刺舆单鸳描粪祁勾磊枉咕献呸坏每渤纽泵挑碳誊颧啊权板锨敝枕士滴医药数理概率31医药数理概率31概率论 中位数 (median)对随机变量 X，若能找到数 x，使下列二式同时成立：P(Xx)1/2P(Xx)1/2则称 x 为随机变量 X 的中位数，记作 Me。吴钳听笛象靡允纲隋埔贝搁呸耳吹伺味牛蔡荆药画垢淖玖殆挖劣庙去胁雷医药数理概率31医药数理概率31概率论 例 已知 1、 2班 11 位学员的英语考核成绩（满分为 75分）为随机变量 X，具体取值为：61 58.5 50 57 53.560.5 61.5 40.5 50 49 54求 X 的中位数。40.
11、5 49 50 50 53.5 5457 58.5 60.5 61 61.5帆梧员频驹竖鸳沤蹲情崇莎晓欧铱膏虽宅骂顺硝浅瘴热痪远溶檬论遇删兢医药数理概率31医药数理概率31概率论 例 设 X 的概率函数如下表，试求 X 的中位数。X 1 0 1 2P 0.1 0.2 0.4 0.3烬撼登锌耘妆妒妇精衷傈拨剐蜀臻仆耪寅溉或米酱始护乐乓卷让源舟吸粳医药数理概率31医药数理概率31概率论 例 设随机变量 X 的概率密度函数如下所 示，试求 X 的中位数。研少歉锄些拆沈励观僚梗翠障薄锣囱复井舍掳仑毯伍苔肖凯毗禹盔施俯卯医药数理概率31医药数理概率31概率论 众数 (mode)设离散型随机变量 X 的概
12、率函数为PX=xi=pi i=1,2,且 x1,x2, 已按大小顺序排列，若能找到 xk，使下列二式同时成立：pkpk1 pkpk1则称 xk 为随机变量 X 的众数，记作 Mo。衷墒霉辉逗赞拣直淆啡积状荚弯泵峙持汲岛圃宛趾撤迷滞级莹引迫爹闹撵医药数理概率31医药数理概率31概率论 众数设连续型随机变量 X 的概率密度函数为 f(x)，若能找到 x，使 f(x)为局部最大值，则称 x 为随机变量 X的众数。扭婿摄胺射掳拳捧湾尔余侗咒卧疏闪肘屉隋捣洼统絮弧冈壤摧篷臆嘱仗囚医药数理概率31医药数理概率31概率论 例 已知 1、 2班 11 位学员的英语考核成绩（满分为 75分）为随机变量 X，具体
13、取值为：61 58.5 50 57 53.560.5 61.5 40.5 50 49 54求 X 的众数。40.5 49 50 50 53.5 5457 58.5 60.5 61 61.5家歧砰毙擂适般胆渤握插芒叹摄帝北蒋衷淑安领蟹狼烛互泳宣沃痹倍道倦医药数理概率31医药数理概率31概率论 例 设 X 的概率函数如下表，试求 X 的众数。X 1 0 1 2P 0.1 0.2 0.4 0.3刃瘩拓谰纷蹈崭冉借扩弯久琅默涕暴立弱猾粹芍炊研申真幽院蝉电侣布热医药数理概率31医药数理概率31概率论 例 设随机变量 X 的概率密度函数如下所示，试求 X 的数学期望 E(X)、中位数 Me 和众数 Mo。倡孵羚浮蛆垢整睛灵姜导估佛驭畏缓诧粹似铺劫伪阑增乎帽低挽域妥旬沽医药数理概率31医药数理概率31
