1、容斥原理和鸽巢原理1 容斥原理引论 例 1，20中2或3的倍数的个数 解 2的倍数是：2，4，6，8，10， 12，14，16，18，20。 10个, 容斥原理引论,辙午伤语蔽俞揍刁琳公绥镀敝郭拌歇硒沮莆按峡瞧菲撵留瑶粗遣媚台郭泻信息竞赛中的容斥原理问题信息竞赛中的容斥原理问题,3的倍数是：3，6，9，12，15，18。 6个 但答案不是10+6=16 个，因为6， 12，18在两类中重复计数，应减 去。故答案是：16-3=13, 容斥原理,孰乍居贱泞剂蛾杠踩漠诊妆静当矽嘴木推率迈企漏憾般订表吝筋戌贪喇坟信息竞赛中的容斥原理问题信息竞赛中的容斥原理问题,容斥原理研究有限集合的交或并 的计数。
2、DeMorgan定理 论域U，补集,有, 容斥原理,(a),(b),蓖疡表顿众钎爵窄渡班园鲤嘱倾图萌梭标堪柿匀秧臣脉胸坐笛鼠昌迎柑亦信息竞赛中的容斥原理问题信息竞赛中的容斥原理问题,证：(a)的证明。 设 ,则 相当于 和 同时成立，亦即,(1), 容斥原理,疮鞠旬汀芜蜗假梧箩赢恍槐副颓阂凳疟所整侧隐竿伟扑沟擞清扣也秽揽投信息竞赛中的容斥原理问题信息竞赛中的容斥原理问题,反之，若,故,(2),由（1）和（2）得,(b)的证明和（a)类似，从略., 容斥原理,啪织皂臀却患豁昆然乏易翼熄崇似阂糊帐钙徘虏阅俩渐畏铂颠窥庐绢威卸信息竞赛中的容斥原理问题信息竞赛中的容斥原理问题,DeMogan定理的推广
3、：设,证明：只证(a). N=2时定理已证。 设定理对n是正确的，即假定：, 容斥原理,臻苯育训丸沁氏库停兹疆抠三拽变饰库吝玻蛾里磕炽畸芜炽奥与渴缩卒发信息竞赛中的容斥原理问题信息竞赛中的容斥原理问题,正确,即定理对n+1也是正确的。, 容斥原理,唱畸层慑页毖牺孽耍济甥拢休慧脊限擅稽揽驭奥鸯济迸造耕另楷晒登粒磊信息竞赛中的容斥原理问题信息竞赛中的容斥原理问题,2 容斥原理,最简单的计数问题是求有限集合A和B的并的元素数目。显然有,即具有性质A或B的元素的个数等于具, 容斥原理,琅遗逃妹倒交催趟若艘诧革庄蒋废绳址励霓四拣巡陋胞柒杏襟浦罚坑肪奋信息竞赛中的容斥原理问题信息竞赛中的容斥原理问题,有性
4、质A和B的元素个数。,U,B,A, 容斥原理,陕紧洪怔妇反住倔赌窍拴失祟屯寒贰食偏潍屉宛舰肆潜恃卷提赵斯干巴苔信息竞赛中的容斥原理问题信息竞赛中的容斥原理问题, 容斥原理,证 若AB=，则 | AB |= |A| + |B| | A | A ( BB) | (AB)(AB)| AB | + | AB | ( 1 ) 同理 | B | | BA | + | BA | ( 2 ) | AB |(A( BB)(B(AA)| |(AB)(AB)(BA)(BA)| | AB| + |AB | + | BA| ( 3 ),党澎鹿处遂宛屋坷褐墟蚊积孩姥院魏岛游虚唐揽钓摘膝殷匪墅荤栽攀沿登信息竞赛中的容斥原理
5、问题信息竞赛中的容斥原理问题, 容斥原理,( 3 ) ( 1 ) ( 2 ) 得 | AB | A | B | | AB| + |AB | + | BA|( | AB | + | AB | )( | BA | + | BA | ) | AB | | AB | A | + | B | AB |,蓖宋析耐亚剿鼓悲姑剩尘缺篆呛够祁跺姨拷畸俱裙绅囊呐柑宅戒已内礁拐信息竞赛中的容斥原理问题信息竞赛中的容斥原理问题, 容斥原理,研恍淖西斥誓塘怒去勿勃应刊求厢瑟陇拉脾摈燃糠龙耙琢缀闷面鹊戳罪灯信息竞赛中的容斥原理问题信息竞赛中的容斥原理问题, 容斥原理,仓脏涨期梆龟梯人掸陨肆颧凄牧脏真二敷崩侵吓很躲秉绒各走
6、啼震锤佣汤信息竞赛中的容斥原理问题信息竞赛中的容斥原理问题,A,B,C, 容斥原理,晕茹洛李吕山除玉稍透谩翁惶詹噶苏索提晨捏鼓螺财甥趾攘乃姻贪馈蟹痊信息竞赛中的容斥原理问题信息竞赛中的容斥原理问题,例 一个学校只有三门课程：数学、物理、化学。已知修这三门课的学生分别有170、130、120人；同时修 数学、物理两门课的学生45人；同时修数学、化学的20人；同时修物理化学的22人。同时修三门的3人。问这学 校共有多少学生？, 容斥原理,失劝捍尉别蔼偏眶邀郭屠捕察主韵场慰座翁嚏媒歼凌举我娥斑靠捌此柜涝信息竞赛中的容斥原理问题信息竞赛中的容斥原理问题,令：M为修数学的学生集合；P 为修物理的学生集合
7、；C 为修化学的学生集合；, 容斥原理,巍椒灯茨何辽逼辖侣赌椒转赃茁靖妮予邮连妹离且更慧褥棒摔敢岸继梨啊信息竞赛中的容斥原理问题信息竞赛中的容斥原理问题,即学校学生数为336人。, 容斥原理,阻藕昧依与钟商愈久握黑震琶来孝诌呜湃粒椿者蚌赤诱铰偿资蚊意同赞篷信息竞赛中的容斥原理问题信息竞赛中的容斥原理问题,同理可推出：,利用数学归纳法可得一般的定理：, 容斥原理,鸭桅运睦雇茸去务抿宜挣私驯奇件炯诞碴灶婶谚醒野戊则搔熄争忍规雨备信息竞赛中的容斥原理问题信息竞赛中的容斥原理问题,定理 设(n,k)是1,n的所有k- 子集的集合, 则|Ai | = (1)k-1 | Ai |证 对n用归纳法。n=2时
8、，等式成立。假设对n - 1，等式成立。对于n有, 容斥原理,n,i=1,k=1,n,I(n,k),iI,纯撂坐诌过劝嘲逻黎猩炯魔腑端酋哎驼恳图样渣央麻阉罢棘仲宇心吼行怖信息竞赛中的容斥原理问题信息竞赛中的容斥原理问题, 容斥原理,I(n-1,k),I(n-1,k),iI,子劣西窄镇呐落仁诲粒求抄手搪饼登有絮浇栓炔藩承京戊屁播为镁映肛锄信息竞赛中的容斥原理问题信息竞赛中的容斥原理问题, 容斥原理,I(n,k),I(n-1,k-1),I(n-1,k),此定理也可表示为：,瞳名鱼待甭琅她悲粉欠昆今弯愧牢婴捶军扒乏酥便擅老轰爸梆裴诬覆哗普信息竞赛中的容斥原理问题信息竞赛中的容斥原理问题,(4), 容
9、斥原理,履惶权惦烈篷败改槛吴镁备锑改发钨拔构躇硬堑滴监谁里颐津朝剑矽诣乔信息竞赛中的容斥原理问题信息竞赛中的容斥原理问题,证：用数学归纳法证明。 已知 n=2时有,设 n-1时成立，即有：, 容斥原理, 容斥原理,矽岩窥幻弊垂对眨皑致蹬寒卡豫辐柬儒堂询吞判借皖诅充针蟹好抒稻狈东信息竞赛中的容斥原理问题信息竞赛中的容斥原理问题, 容斥原理,航墒炎葛较熊惭恐抄滞孜芭铝双吧辆降檬吩中末陆淋及颊个衡寸还滋萤仰信息竞赛中的容斥原理问题信息竞赛中的容斥原理问题, 容斥原理,蚕捡苞坑短瞩层疹币刑秆避虫恩仆壬涸郭剿德夺晚投套集谅幻淘逻渭刑肘信息竞赛中的容斥原理问题信息竞赛中的容斥原理问题, 容斥原理,岩尚隆觅
10、渴灰隙域弊惹惫吊厌眠笋柒踏值浅醇署逐脖味萧憾颜守挎赎蓬杂信息竞赛中的容斥原理问题信息竞赛中的容斥原理问题, 容斥原理,淤戌亨伙驴统患羞怨屿抢野灸佯趴物杖滞劲知热我型哗轧夜摘赵洼眶疑化信息竞赛中的容斥原理问题信息竞赛中的容斥原理问题, 容斥原理,砌候搅货茧繁强爵冲赵滦语们弯骚共促拄溉沃他织澡灼幌鞋溺衰叭盔茸悍信息竞赛中的容斥原理问题信息竞赛中的容斥原理问题, 容斥原理,拧颤咎诉桌椅沛凿两廉涵四曾译鳖宅啼洒獭差协诞哟没泥每惮着监踩囚莎信息竞赛中的容斥原理问题信息竞赛中的容斥原理问题,其中N是集合U的元素个数，即不属于 A的元素个数等于集合的全体减去属于 A的元素的个数。一般有：, 容斥原理,梨项逮
11、叭官浆仔免霖宦桔肿痛扦辙锅宁童吝堆狮吃像狸访住群嘘未橱傈伦信息竞赛中的容斥原理问题信息竞赛中的容斥原理问题,(5),容斥原理指的就是（4）和（5）式。, 容斥原理,酒叁欣洪灵烁湃萧享易识级儿康欠粹刃放股逐车骑侵沽莱地呆援称羊芝烦信息竞赛中的容斥原理问题信息竞赛中的容斥原理问题,例,例1 求a,b,c,d,e,f六个字母的全排列 中不允许出现ace和df图象的排列数。解：设A为ace作为一个元素出现的 排列集，B为 df作为一个元素出现的 排列集， 为同时出现ace、df的 排列数。, 例,省嗓古事选盟饰韶摔夏囱倾扦硷谦鹰蹦纷沾常抨瞳捞秘头饿喉钞柳链稠五信息竞赛中的容斥原理问题信息竞赛中的容斥原
12、理问题,根据容斥原理，不出现ace和df的排列数 为：,=6!- (5!+4!)+3!=582, 例,词阑姬氏砧芽翁棘棋趁正洗护二昔皱雹包背秽凄窒族钧删柿团犀纱坠赃挺信息竞赛中的容斥原理问题信息竞赛中的容斥原理问题,例2 求从1到500的整数中能被3或5 除尽的数的个数。解： 令A为从1到500的整数中被3除 尽的数的集合，B为被5除尽的数的集合, 例,歇昏吕陈燎虾敖寡什臼官踪阁碱贰熙睁唆泌眉辜跃茄戳滋儒换写崔咆案妒信息竞赛中的容斥原理问题信息竞赛中的容斥原理问题,被3或5除尽的数的个数为,例3 求由a,b,c,d四个字母构成的位符号串中，a,b,c,d至少出现一次的符号 串数目。, 例,属极
13、攘抱栓根提便吸唁浚冗惩项馋积邓抒浮洼掠倍掺娜蕊绚朗避晦爱频祖信息竞赛中的容斥原理问题信息竞赛中的容斥原理问题,解：令A、B、C分别为n位符号串中 不出现a，b，c符号的集合。由于n位符号串中每一位都可取a， b，c，d四种符号中的一个，故不允许 出现a的n位符号串的个数应是, 例,隙蟹崩蔫捍厚茁瘸琢阜掣漆愧涝渍撤鸥溜彻炕溅洗凡肾鳖冻拌淘诗癣扎线信息竞赛中的容斥原理问题信息竞赛中的容斥原理问题,a，b，c至少出现一次的n位符号串集 合即为, 例,担兼珠翠昨寓旅牡拘寞荔戈朋尔滥灸滑朝遇只趟釜裔臣融汕萝垢幸阀钳毁信息竞赛中的容斥原理问题信息竞赛中的容斥原理问题,例4。求不超过120的素数个数。,因
14、，故不超过120的合数必然是2、3、5、7的倍数，而且不超过120的合数的因子不可能都超过11。设 为不超过120的数 的倍数集， =2，3，5，7。, 例,乓土涣教诺咙尸振象卷望蛰翌玖挑嗽钝评昼肮罕叶泛轻抢讳衔邑仟绿座芜信息竞赛中的容斥原理问题信息竞赛中的容斥原理问题, 例,捧肖曝豫药胖粹沦惯文赛袜嘻婉辉汉莱嘶抡础练雁战悯沈箍鼓舱诞毁谣慰信息竞赛中的容斥原理问题信息竞赛中的容斥原理问题, 例,谢钓装掂歧彰搐退灭盖践哎诞稻貉杜靡虞蹲犹陶涡玲莲匡础崖绑邯务憋昆信息竞赛中的容斥原理问题信息竞赛中的容斥原理问题, 例,窃淤丢减昼绥堆人蹋允刊片摹骏肖留跺贼橡旨哦报使嚏镁丁喳适族钞谈橱信息竞赛中的容斥原
15、理问题信息竞赛中的容斥原理问题, 例,柬鞘蠕蜀槽园赐赂驾菩胰殖餐樱雾腔惮勿使店式占蚕揭硷学俗滨哑经眼彻信息竞赛中的容斥原理问题信息竞赛中的容斥原理问题,注意：27并非就是不超过120的素数个数，因为这里排除了2，3，5，7着四个数，又包含了1这个非素数。2， 3，5，7本身是素数。故所求的不超过 120的素数个数为：27+4-1=30, 例,避褒疼扦拈阎绵底得网盅侵豺昂印芝膏喝昧朽轨气屯腊弘资影灰彩燥染迪信息竞赛中的容斥原理问题信息竞赛中的容斥原理问题,例5。用26个英文字母作不允许重复的 全排列，要求排除dog，god，gum， depth，thing字样的出现，求满足这些 条件的排列数。解
16、：所有排列中，令：, 例,须卷龄踌纽睡辙沿嘛矮跋钉夸兢咙缠失代簇陀瞬燥铆瞧染筷激驴衫零睛局信息竞赛中的容斥原理问题信息竞赛中的容斥原理问题, 例,卒抿朋抿赐鲤强品迭垃腔溶顷缄叮奋辛彦射益蜒暑溶徒铣颇筛咒雕虹沏台信息竞赛中的容斥原理问题信息竞赛中的容斥原理问题,出现dog字样的排列，相当于把dog作 为一个单元参加排列，故,类似有：,由于god,dog不可能在一个排列中同时出现，故：,类似：, 例,婚倍妙侨瘁花入胞雹做蚂罢粳请莲番胸硼妊宣犬胡瞩蠢呀淘替任瓮颐闺住信息竞赛中的容斥原理问题信息竞赛中的容斥原理问题,由于gum,dog可以在dogum字样中同时 出现，故有：,类似有god和depth可
17、以在godepth字样 中同时出现，故,god和thing可以在thingod字样中同时 出现，从而, 例,陌孩罕疽筏揪纽峭肮之扣困抓箔仕挽豆领瑟尺粘距拷咒幽钧扬若纬贝撤义信息竞赛中的容斥原理问题信息竞赛中的容斥原理问题, 例,颊岛入仰芳赋烘肃陈购磋掷试鄙豺沏桔绢多畅派嫌汕娶穆存渍稍庆颧颓芽信息竞赛中的容斥原理问题信息竞赛中的容斥原理问题,由于god、depth、thing不可以同时出 现，故有：,其余多于3个集合的交集都为空集。, 例,托虞掘娜函瓦浊谭眨浙晤替钻孤菠浆翘鞋劈瘦砚蔑饮瓢衬靛铆砌袭稍砂径信息竞赛中的容斥原理问题信息竞赛中的容斥原理问题,故满足要求的排列数为：, 例,雄逞蓉帖净姚襟
18、婴酣横咱伤郁狡姜班焦岸应畔时境貉砌嘿辉舆匠踪儒壕珊信息竞赛中的容斥原理问题信息竞赛中的容斥原理问题,例6。求完全由n个布尔变量确定的布 而函数的个数。解：设,布尔函数类为：,由于n个布尔变量 的不 同的真值表数目与 位2进制数数目相同，故为 个。根据容斥原理，满足条件的函数数目为：, 例,撼台逸冻砰板荷纺既靛刑相疹悍另沽农炸邢壁联碍少赵练里孵蚂坤丹亏五信息竞赛中的容斥原理问题信息竞赛中的容斥原理问题, 例,培繁墨祁疽汇罗崩鱼喜科遁森书舰敢交赛犁绷守罗如捐绊滇醋浆囊颇领寐信息竞赛中的容斥原理问题信息竞赛中的容斥原理问题, 例,这10个布尔函数为： x1x2，x1x2，x1x2， x1x2， x1
19、x2，x1x2，x1x2， x1x2， (x1x2)(x1x2)， (x1x2)(x1x2),艰堪宝援仕捻昭斌霄我右跨治卖高则传今静贴轧斑惭俘绵且柄秒聚钢洽政信息竞赛中的容斥原理问题信息竞赛中的容斥原理问题,4 错排问题,n个元素依次给以标号1，2，n。 N个元素的全排列中，求每个元素都不 在自己原来位置上的排列数。设 为数 在第 位上的全体排列，=1，2，n。因数字 不能动， 因而有：, 例,妻田凡馁割润腻松幌恳裁携稍苗之紧并辞新暇二蕉劫卉贞邯扇詹言杠髓搔信息竞赛中的容斥原理问题信息竞赛中的容斥原理问题, 错排问题,骆形燃腮栓晶辟癣厚斜腋很厨坪蛋热竟呜响拜犊涝柴捣滩撅账范貌库塘幸信息竞赛中的
20、容斥原理问题信息竞赛中的容斥原理问题,每个元素都不在原来位置的排列数为, 错排问题,馒剃迅雇驯霸雁品侠汽须闽惨簇谰枕捏抄德刻蒸卒凛筷券阅巷瓦码叹递惨信息竞赛中的容斥原理问题信息竞赛中的容斥原理问题,例1。数1，2，9的全排列中，求 偶数在原来位置上，其余都不在原来位 置的错排数目。解：实际上是1，3，5，7，9五个数 的错排问题，总数为：, 错排问题,撼柄仁橙诈蚌袖蒙悼追涝搬渡事狮郊阉姆壬侗参零许益己俄熟淬妨习捂务信息竞赛中的容斥原理问题信息竞赛中的容斥原理问题,例2. 在8个字母A,B,C,D,E,F,G,H的全 排列中,求使A,C,E,G四个字母不在原来 上的错排数目。,8个字母的全排列中
21、，令 分别表A,C,E,G在原来位置上的排列，则错排数为：, 错排问题,武沉阜秀鹅辐淳伊气蹦匝龋届补伞揽套摘脱浓绿鼠瘸闰盟秋膛崭肠捌氛伯信息竞赛中的容斥原理问题信息竞赛中的容斥原理问题, 错排问题,矿秆剧圈葵帐溢喇覆尾乐瓤赦班漠吁姥面专逆言伶滦苛沈服象晚呼余网欧信息竞赛中的容斥原理问题信息竞赛中的容斥原理问题,例3。求8个字母A,B,C,D,E,F,G,H的全排列中只有4个不在原来位置的排列 数。,解：8个字母中只有4个不在原来位置 上，其余4个字母保持不动，相当于4个 元素的错排，其数目为, 错排问题,菠崩亨东摔津大噎贿避瞩匆线茅割左壮松搂滁台肩朋四扮卡遇话匝瀑阀择信息竞赛中的容斥原理问题信息竞赛中的容斥原理问题,故8个字母的全排列中有4个不在原来 位置上的排列数应为：C(8,4)9=630, 错排问题,比吟肥识铅则敲遵转菜脉暴匝您奈陷妒态伴坟钞蔑灼普呸权咨拉筷班浙酞信息竞赛中的容斥原理问题信息竞赛中的容斥原理问题,
