1、高中数学讲义1思维的发掘 能力的飞跃知识内容1二项式定理二项式定理 012.nnnnabCabCbN这个公式表示的定理叫做二项式定理二项式系数、二项式的通项叫做 的二项展开式，其中的系数 叫做012.nnnababna0,12.,rnCn二项式系数，式中的 叫做二项展开式的通项，用 表示，即通项为展开式的第 项：rrnC1rT r 1rnrTab二项式展开式的各项幂指数二项式 的展开式项数为 项，各项的幂指数状况是n1n各项的次数都等于二项式的幂指数 字母 的按降幂排列，从第一项开始，次数由 逐项减 1 直到零，字母 按升幂排列，从第一项起，a nb次数由零逐项增 1 直到 几点注意通项 是
2、的展开式的第 项，这里 1rnrTCbnar0,2.,rn二项式 的 项和 的展开式的第 项 是有区别的，应用二项式定理时，a11rnrCba其中的 和 是不能随便交换的注意二项式系数（ ）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有rnC时可为负通项公式是 这个标准形式下而言的，如 的二项展开式的通项公式是nabnab（只须把 看成 代入二项式定理）这与 是不同的，在这里对应项1rnrrTCb1rnrTCab的二项式系数是相等的都是 ，但项的系数一个是 ，一个是 ，可看出，二项式系数与项的rnCrnrn赋值求某些项系数的和与差高中数学讲义2 思维的发掘 能力的飞跃系数是
3、不同的概念设 ，则得公式： 1,abx121n rnnnxCxx通项是 中含有 五个元素，1rTrnrCa0,2.,1,rTab只要知道其中四个即可求第五个元素当 不是很大， 比较小时可以用展开式的前几项求 的近似值nx ()nx2二项式系数的性质杨辉三角形：对于 是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用n杨辉三角计算杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是 1其余各数都等于它肩上两个数字的和 ”二项式系数的性质：展开式的二项式系数是： ，从函数的角度看 可以看成是 为自变量的函nab012,.nnnCrnCr数 ，其定义域是： fr,23,.当
4、时， 的图象为下图：6nfr这样我们利用“杨辉三角”和 时 的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质6nfr对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等事实上，这一性质可直接由公式 得到mnC增减性与最大值如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大由于展开式各项的二项式系数顺次是，0121,nnnC高中数学讲义3思维的发掘 能力的飞跃， ，312nC， ， ，1.231knnk 12. 13knnkCnC其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小 1 的数（如 ）,12,.n，分母是乘以逐次增大的数
5、（如 1，2，3，） 因为，一个自然数乘以一个大于 1 的数则变大，而乘以一个小于 1 的数则变小，从而当 依次取 1，2，3，等值时， 的值转化为不递增而递减了又k rnC因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间当 是偶数时， 是奇数，展开式共有 项，所以展开式有中间一项，并且这一项的二项式系数nnn最大，最大为 2C当 是奇数时， 是偶数，展开式共有 项，所以有中间两项11这两项的二项式系数相等并且最大，最大为 12nC二项式系数的和为 ，即 2n012rnnnn奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即02
6、413512nnnnnCC常见题型有：求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题典例分析二项展开式 3 赋值求某些项系数的和与差【例 1】52x的展开式中常数项为_；各项系数之和为_ （用数字作答）【例 2】 若 1()nx展开式的二项式系数之和为 64，则展开式的常数项为_（用数字作答） 高中数学讲义4 思维的发掘 能力的飞跃【例 3】 展开式中不含 的项的系数和为82x4xA B C D192102152【例 4】 若 231nx展开式的各项系数之和为 32，则 n_，其展开式中的常数项为_ （用数字作答）【例 5】 62601(1)xaxax ，则 0
7、126aa _【例 6】 在二项式 412nx的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项【例 7】52x的展开式中 2x的系数是_；其展开式中各项系数之和为_ （用数字作答）【例 8】 若 423401(23)xaxax，则 220413()()aa的值为_（用数字作答） 高中数学讲义5思维的发掘 能力的飞跃【例 9】 设 5nx的展开式的各项系数之和为 M， 二项式系数之和为 N，若 240M， 则展开式中 3的系数为（ ）A 10 B150 C 50 D500【例 10】 若 nx)2(展开式的二项式系数之和等于 64，则第三项是 【例 11】 若 1nx展开式的二项式系数之
8、和为 64，则展开式的常数项为 【例 12】 在二项式 312nx的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列求展开式的第四项；求展开式的常数项；求展开式的各项系数的和高中数学讲义6 思维的发掘 能力的飞跃【例 13】 若 102310123xaxaxx ，求 024101359a 的值【例 14】 若 201(1)(1)()(1)n nxxaxax ，则 01na 【例 15】 若 423401(23)xaxax，则 220413()()aa的值为_（用数字作答） 【例 16】 若 5234501(2)xaxaxax，则 1234aa_高中数学讲义7思维的发掘 能力的飞跃【例 17】 已知 72
9、701(12)xaxax ，求 017|a 【例 18】 若 72345670112xaxaxaxa，求0246aa的值【例 19】 若 423401(23)xaxax，则 220413()()aa的值为（ ） A 1 B 1 C D【例 20】 若 10 2101 10(2)()()()xaxaax ，则1359aa（ ）A 0()2 B 10(3) C 10(5) D 10(5)【例 21】 已知 7 701212xaxax ，求： 1237a ； 5a； 0246高中数学讲义8 思维的发掘 能力的飞跃【例 22】 若 102310123xaxaxx ，求 024101359a 的值【例
10、23】 若 543210(2)xaxaxa，则 1234aa_ （用数字作答）【例 24】 若 201(1)(1)()(1)n nxxaxax ，则 01na 【例 25】 若 209 20911xaxax ，则 20912aa 的值为（ ）A 0B C D 高中数学讲义9思维的发掘 能力的飞跃【例 26】 已知 23 *01()()(1)()(1)2,)n nxaxaxaxN 当 5时，求 0345的值；设 223,nnnbTbb 试用数学归纳法证明：当 时， (1)3T【例 27】 请先阅读：在等式 2cos1()xxR的两边求导得2(cos)(cs1)xx，由求导法则得 in4(in)，
11、化简得 sinicosx利用上述想法（或其他方法） ，结合等式 0121(CCnnnx x（xR，整数 2 ） ，证明： 12()nknx；对于整数 3n ，求证： 10nknk对于整数 ，求证 2()Ckk；102Cnnkk【例 28】 证明： 220C(1)nkn高中数学讲义10 思维的发掘 能力的飞跃【例 29】 证明：nnkk 2013C()()(1)()【例 30】 求证： 121C2nn 【例 31】 求51x的二项展开式【例 32】 设 5432()1051fxxx，则 1()fx等于（ ）A 51x B 12 C 5 D 5【例 33】 设 2ai，求 12122ACaCa高中数学讲义11思维的发掘 能力的飞跃【例 34】 已知数列 0123a，（ 0a）满足： 12(13)iiia，求证：对于任意正整数 n， 01 1()()()CCCnnnnfxxxxax是一次多项式或零次多项式【例 35】 若 0()Cniifm，则 2log(3)1f等于（ ）A 2 B 12 C D
