1、第一讲,集合与简易逻辑,解 (AB)C= ，AC= 且BC= k2x2+(2bk1)x+b21=0 AC= 1=(2bk1)24k2(b21)0, 即 b21 4x2+(22k)x+(5+2b)=0 BC= ,2=(1k)24(52b)0从而8b20, 即 b2.5 由及bN,得b=2代入由10和20组成的不等式组，得k=1,故存在自然数k=1,b=2,使得(AB)C=,例1设A=(x,y)|y2x1=0,B=(x,y)|4x2+2x2y+5=0,C=(x,y)|y=kx+b,是否存在k、bN,使得(AB)C= ，证明此结论.,解 赞成A的人数为50 =30，赞成B的人数为30+3=33， 如
2、上图，记50名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生全体为集合A； 赞成事件B的学生全体为集合B 设对事件A、B都赞成的学生人数为x,则对A、B都不赞成的学生人数为 +1, 赞成A而不赞成B的人数为30x，赞成B而不赞成A的人数为33x 依题意(30x)+(33x)+x+( +1)=50, 解得x=21 所以对A、B都赞成的同学有21人，都不赞成的有8人,例2 向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果 赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人 问对A、B都赞成的学生和都不赞成
3、的学生各有多少人？,例3已知集合A=(x,y)|x2+mxy+2=0,B=(x,y)|xy+1=0,且0x2,如果AB ,求实数m的取值范围,解 由 得x2+(m1)x+1=0 AB 方程在区间0，2上至少有一个实数解 首先，由=(m1)240,得m3或m1, 当m3时，由x1+x2=(m1)0及x1x2=10知，方程只有负根，不符合要求; 当m1时，由x1+x2=(m1)0及x1x2=10知，方程只有正根，且必有一根在区间(0，1内，从而方程至少有一个根在区间0，2内 故所求m的取值范围是m1,例4设AXX=a2+b2,a、bZ，X1，X2A，求证：X1X2A。,证明：设X1a2+b2，X2
4、=c2+d2，a、b、c、dZ, 则X1X2(a2+b2)(c2+d2) a2c2+b2d2+b2c2+a2d2 a2c2+2acbd+b2d2+b2c2-2bcad+a2d2 (ac+bd)2+(bc-ad)2 又a、b、c、dZ，故ac+bd、bc-adZ， 从而X1X2A,例5已知集合MX，XY，lg(xy)，S0，X，Y，且MS，则(X ) (X2 )(X2002 )的值等于 _.,解：由MS知，两集合元素完全相同。这样，M中必有一个元素为0，又由对数的性质知，0和负数没有对数，所以XY0，故X，Y均不为零，所以只能有lg(XY)0，从而XY1.MX，1，0，S0，X， .再由两集合相
5、 等知,当X1时，M1,1，0，S0,1，1，这与同一个集合中元素的互异性矛盾，故X1不满足题目要求； 当X1时，M1,1，0，S0,1，1，MS，从而X1满足题目要 求，此时Y1，于是X2K1 2 (K0,1，2，)，X2K 2 (K1,2，),故所求代数式的值为0.,例6一个集合含有10个互不相同的两位数。试证，这个集合必有2个无公共元素的子集合，此两子集的各数之和相等。,解：已知集合含有10个不同的两位数，因它含有10个元素，故必有2101024个子集，其中非空子集有1023个，每一个子集内各数之和都不超过909198999451023， 根据抽屉原理，一定存在2个不同的子集，其元素之和
6、相等。如此2个子集无公共元素，即交集为空集，则已符合题目要求； 如果这2个子集有公共元素，则划去它们的公共元素即共有的数字，可得两个无公共元素的非空子集，其所含各数之和相等。,例7设A1,2，3，n，对X A，设X中各元素之和为Nx， 求Nx的总和 .,解：A中共有n个元素，其子集共有2n个。A中每一个元素在其非空子集中都出现了2n-1次，(为什么？ 因为A的所有子集对其中任一个元素i都可分为两类，一类是不含i的，它们也都是1,2，i-1,i+1,n的子集，共2n-1个；另一类是含i的，只要把i加入到刚才的2n-1个子集中的每一个中去)。 因而求A的所有子集中所有元素之和Nx的总和时，A中每一个元素都加了2n-1次，即出现了2n-1次，故得12n-122n-1n2n-1(12n)2n-1 2n-1n(n+1)2n-2,
