1、福建省宁德市 2017 届高三第一次（3 月）质量检查数学理试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集 UR，集合 AxN2|60,xBxN|2，图中阴影部分所表示的集合为（ ）A 0,12 B 1,2 C 1 D 0,12.在复平面内，复数 z35i(为虚数单位）对应的点坐标是 （ ）A ,4 B 4, C 4, D ,43.10x的展开式中 2x的系数等于（ ）A 45 B 0 C 45 D 90 4.已知变量 ,xy满足约束条件 17xy，则 yx的取值范围是 （ ）A 9,
2、65 B 9,6,5 C. ,3, D 3,5.若将函数 sin64yx图象上各点的横坐标伸长到原来的 3倍（纵坐标不变） ，再将所得图象沿 x轴向右平移 8个单位长度，则所得图象的一个对称中心是 （ ）A ,016 B ,09 C. ,04 D ,026.若函数 na为等差数列， nS为其前 项和，且 236a，则 9S （ ）A 54 B 50 C. 7 D 57. 已知圆 2:40Cxy关于直线 310xay对称，则圆 C中以 ,4a为中点的弦长为（ ）A 1 B 2 C. D8. 执行如图所示的程序框图，若输入 t的值为 5，则输出 s的值为（ ）A 916 B 54 C. 216 D
3、 189. 若从区间 0,e(为自然对数的底数， e.78.）内随机选取两个数，则这两个数之积小于 e的概率为 （ ）A 2e B 1e C. 21e D 1e10. 函数 fx1 的图象大致为（ ）A B C. D11. 已知三棱锥 SC的各顶点都在一个球面上，球心 O在 AB上， S底面 ABC，球的体积与三棱锥体积之比是 4， 2，则该球的表面积等于 （ ）A B C.3 D 412. 已知函数 3,012kxf，若方程 20fx恰有三个实数根，则实数 k的取值范围是 （ ）A 0, B 1,3 C. 1,3 D 1,3第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案
4、填在答题纸上）13. 设向量 1,2,abm，如果向量 2ab与 平行，则 abA 14. 某几何体的三视图如图所示，则刻几何体的体积为 15. 已知双曲线21yxm的左右焦点分别为 12,F，过点 2的直线交双曲线右支于 ,AB两点，若1ABF是以 为直角顶点的等腰三角形，则实数 m的值为 16. 已知数列 na满足 123.2(nnaaN)， 2nnba,则数列 nb中最大项的值是 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在 ABC中,角 、 、 所对的边分别为 a、 b、 c，且23cosCAa.（1）求角 的值；（2）若 6，
5、且 的面积为 43，求 BC边上的中线 AM的大小.18. 某教师为了分析所任教班级某次考试的成绩，将全班同学的成绩做出了频数与频率的统计表和频率分布直方图.（1）求表中 ,tq及图中 a的值；（2）该教师从这次考试成绩低于 70分的学生中随机抽取 3人进行面批，设 X表示所抽取学生中成绩低于60分的人数，求随机变量 X的分布列和数学期望.19. 如图，在三棱柱 1ABC中， 11160,2BACABAC ,点 O是BC的中点.（1）求证: BC 平面 1AO；（2）若 1，求直线 与平面 1CB所成角的正弦值.20. 已知椭圆 2:0xyEab过点 3,2P，且一个焦点为 1,0F.（1）求
6、椭圆 的方程；（2）若 ,PABC为椭圆 的三条弦， ,AB所在的直线分别与 x轴交于点 ,MN，且MN，求直线 P的方程.21. 已知函数 2ln4(fxaxaR). （1）讨论函数 的单调区间；（2）若 12,AxyB210x是曲线 yfx上的两点，120x.问: 是否存在 a,使得直线 的斜率等于 0f？若存在，求出 a的值；若不存在，说明理由.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修 4-4：坐标系与参数方程已知曲线 C的极坐标方程是 2cos，若以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x轴的正半轴且取相同的单位长度，建立平面直角坐标系，则直
7、线 l的参数方程的是32(1xtmy为参数).（1）求曲线 C的直角坐标方程和直线 l的普通方程；（2）设点 ,0Pm，若直线 l与曲线 C交于 ,AB两点，且 1PBA，求实数 的值.23. 选修 4-5：不等式选讲已知函数 21fxx的最小值为 m.（1）求实数 的值；（2）若 ,abc均为正实数，且满足 abc，求证:223bca.福建省宁德市 2017 届高三第一次（3 月）质量检查数学理试题参考答案一、选择题1-5:BCAAD 6-10: CDDAA 11-12：DC二、填空题13. 52 14. 43 15.42 16. 18三、解答题17. 解：(1) 因为2cosbCAa，所以
8、sin3sicoBCA，所以 sinco3in3icoBA，所以 2s0,2sn3sin0，又因为 sin0B，所以cos，又因为 A，且,6A.(2) 据（1）求解知 6，若 B，则 21sinsi432BCSab ，所以 4,a（舍）.又在 M中， co120MCA，所以22 211cos048AMCAA .所以 27AM.18. 解：(1) 3350,.5,.6.6tmn，0.210.2.18404,.61q pa.(2)据题设分析知随机变量 X的所有可能取值为 ,123，且 03582CPXA，122 303535 58 8 81, ,66CCPXPAA，所以随机变量 的分布列为012
9、3P528561 938EX.19. 解：(1) 11111,ACBACABAC1.又 O为BC中点， ,O.又 OO平面 ,B平面 1A.(2) 60,2,BACO为 BC中点， 2,1,3BOCA.又1 1112, ,OAA.又由（1）知， 1,BO，则以 为原点，分别以 ,所在直线为 x轴， y轴， z轴建立空间直角坐标系 xyz，则13,00,0ABC. 113,0,CA.设平面 1ACB的一个法向量为 ,nxyz，则 3xyz，令 x，得 1,3,0nB.设 1B与平面 1AC的所成角为 ，则 1231sin7BA.20. 解：(1)依题意，得22941abc，又 0,ab解得 2,
10、3,ab椭圆 E方程为2143xy.(2)由题意知直线 PA的斜率存在，设 3:1,2ABPAykxxy.据2314ykx，得 22 2 413334130,1PAkkxkxkx，2 24133163, 4AAk kxykx ，又 ,PMN直线 PB的斜率为 k.用 代替 ，得2241,BBxyk，222263631441ABBkykkx .又 ,PCAB直线 的方程为312，即 0xy.21. 解：(1) 24 ,0,axaf x.令 0fx，则 1682a.当 0，即 2时， 0f对 ,恒成立， f的增区间为 ,，无减区间；当，即 a时，若 2a，则解得 12244,aaxx，此时函数 f
11、x的增区间为 240,和 4,2，减区间为 4,2a；当 0a时，12,x，此时 fx的减区间为 20,，增区间为 42,.(2)若函数 f图象上存在两点 1212,0AfxBfxx使得 210fxff，即 2121211212ln44aax，所以 2112ln.ax 当 0时， 对任意的 12,0,x，且 12x都成立； 当 0时，有 2121lnx，设 21xt，则 lnt，记函数 ln1tht，则2214 thtt.所以当 1时， 0h，所以函数 ht在区间 1,上单调递增.又因为 10h，所以当 1t时，0ht，即方程 21lnt在区间 ,上无解，综上，存在实数 a，满足题意.22.
12、解：(1) 曲线 C的极坐标方程是 2cos，化为 2cos，所以曲线 C的直角坐标方程为21xy.直线 l的参数方程是3(12xtmy为参数） ，消去参数 t可得直线 l的普通方程30m.(2) 将 2(1xty为参数）代入方程 21xy，得2231tmt.即2230tmt.由 ，解得 .所以 21t. 12,1PABm，解得 2,.又满足 0，所以 12或1或 .23. 解：（1）因为函数 fxx，所以当 1x时， 223,fx；当 2时，46x；当 x时， 1,fx，综上， fx的最小值 3m.（2）据(1)求解知 3m，所以 3abcm，又因为 0,abc，所以2 222222bca ac abccAA，即22abcabc，当且仅当 1ab时，取“=” 所以22c，即223.
