1、2017 届湖南省长沙市高三第二次模拟考试数学（文）试题一、选择题1 已知集合 ，集合 ，则|15PxN2|60QxR等于（ ）QA. B. C. D. ,23,2,1,3【答案】B【解析】由题意 ,|15,24PxN,则 .2|60|3QxRRx1,2PQ2 已知 是实数， 是纯虚数，则 （ ）aiaA. B. C. D. 121【答案】A【解析】 为纯虚数, ,215aiaii 120,2a故选 A.3 “ ”是“ ”的（ ）xln0xA. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由 , 是 的必要不充分条件，故选 B.ln203
2、xx23x4 执行如图的程序框图，若输入的 为 5，则输出的结果是（ ）aA. B. C. D. 15631263【答案】C【解析】由题意 ,故选 C .52345113122S5 已知双曲线 （ ， ）的渐近线与圆21xyab0a0b相切，则该双曲线的离心率为（ ）283xA. B. C. D. 36【答案】A【解析】由题意知圆心 到渐近线 的距离等于 ,化简得2,00bxay83,解得 ,故选 A.23ac6e6 若实数 ， 满足不等式组 则 的最小值为（ ）xy30,21,xy2xyA. 2 B. 3 C. D. 14187【答案】A【解析】作出不等式组表示的可行域，则 在点 处取到最小
3、值， 2xy0,1，所以最小值为 2，故选 A.2012xy7 一个几何体的三视图如下图所示，其中正视图和侧视图都是腰长为 2 的等腰直角三角形，俯视图是圆心角为 的扇形，则该几何体的表面积为（ ）A. 2 B. C. D. 424214【答案】B【解析】该几何体是一个底面半径和高都是 2 的圆锥的四分之一，所以该几何体的表面积为 ,故选 D.22111448 对于函数 （ ） ，选取 的一组值计算3sinfxabxc,abcR,abc， ，所得出的正确结果可能是（ ）1fA. 2 和 1 B. 2 和 0 C. 2 和-1 D. 2 和-2【答案】B【解析】 为定义域上的奇函数，所以 ,所以
4、sin3gxabxc10g,故选 B.112fg9 我国南北朝时的数学著作张邱建算经有一道题为： “今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给，问各得金几何？”则在该问题中，等级较高的二等人所得黄金比等级较低的八等人和九等人两人所得黄金之和（ ）A. 多 斤 B. 少 斤 C. 多 斤 D. 少 斤7127121616【答案】D【解析】设这十等人所得黄金的重量从大到小依次组成等数列 ,则na,由等差数列的性质得 ， 123789104,3aa289432,故选 D.892610 已知点 是抛物线 上的一个动点，
5、是圆 ： 0,Pxy24yxQC上的一个动点，则 的最小值为（ ）2241x0PQA. B. C. 3 D. 455【答案】C【解析】由题意可知圆 的圆心坐标 ，半径为 1；抛物线的焦点 ，虚线为抛物C2,4F1,0线的准线； 为点到虚线的距离且 ，由抛物线的性质可知， PMPMx.故可知PFM 20111143xQPFPFMPFC。故本题正确答案为 C.11 已知函数 （ ， ）的最小正周期是 ，sinfx0将函数 的图象向左平移 个单位长度后所得的函数图象过点 ，则60,1P函数 （ ）sifxA. 有一个对称中心 B. 有一条对称轴,0126xC. 在区间 上单调递减 D. 在区间 上单
6、调递增5, 5,12【答案】B【解析】由题 ，平移后得到的函数是2sin2fx，其图象过点 , ，因为 ， sin3yx01Psin130， ,故选 B.6sin26fx点睛：本题考查的是 的图象及性质.解决本题的i(0,)yAA关键有两点:一是图象向左平移变换时要弄清是加还是减，是 x 加减，还是 2x 加减，另一方面是根据图象过点 确定 的值时，要结合五点及 确定其取值，0,1P0得到函数的解析式，再判断其对称性和单调性.12 已知函数 （ ） ，若存在 ，使得2lnfxxaR1,2x成立，则实数 的取值范围是（ ）fxfA. B. C. D. 9,43,22,3,【答案】C【解析】由 得
7、 ,设 ，则存fxf0fx2lnfxga在 ，使得 成立，即 成立.所以1,2g120ax恒成立，所以 成立又 当且仅当12axmin12ax12x即 取等号.所以 ,故选 C.x点晴:本题主要考查函数单调性，不等式恒成立问题. 本题中由 可构造fxf函数 ，则 即 恒成立，转化为fxg0g120xa，再求 的最值即可.这类问题的通解方法就是：划归与转化之min12ax12x后，就可以假设相对应的函数，然后利用导数研究这个函数的单调性、极值和最值，图像与性质，进而求解得结果.二、填空题13 已知点 在直线 ： 上，则 _3cos,inPl31xysin2【答案】 89【解析】由条件得 ,两边平
8、方得 ，所以 .1sic3si98si914 在 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，已知 ， ABCBCabc45b，且 ，点 为边 上一点，且 ，则 的面积为5c2D3DAC_【答案】6【解析】由正弦定理得 ，可得 ，从而545sini2sincoCBC2cs5113462ABCS15 在三棱锥 中， 平面 ， ， ， PPA1PA3BAC， 为棱 上一个动点，设直线 与平面 所成的角为10DBCD，则 不大于 的概率为_45【答案】 23【解析】因为 ,所以 ,在等腰 中，易知当1tanPA1AABC或 时， ，所以1BDCD245=3不 大 于16 已知向量 ， ，若 ，则 的最,
9、1mb,(0,)nabmn14ba小值为_【答案】9【解析】由题意 , 即 ,所以0mn 10,ab1ab等号成立当且仅当 ,即11455249,baab4，故 的最小值为 9.3,2点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于根据 ,作 1 的代换有 ab.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：11455249,baab一正二定三相等.一正：关系式中，各项均为正数；二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；三相等：含变量的各项均相等，取得最值.三、解答题17 设数列 的前 项和 ，数列 满足na12nSnb.2121lognnb（）求数列 的通项公式；na（）求数列 的前 项和
10、 .bnT【答案】 （） （ ）;（） .2na*N21346n【解析】试题分析：第一问，由 求 需要分 2 步：当 时和 时，在解题nSa2n的最后需要验证 2 步是否可以合并成一个式子；第二问，先利用对数式的运算化简的表达式，根据表达式的特点，利用裂项相消法求数列 的前 n 项和.nb b试题解析：（）当 时， ，1n12aS由 得 （ ） ，12nS2S（ ） ，1nnan又 也符合，1（ ）.2n*N（） 2121lognnb21n，2112nn(35T )135212n12n214n.134618 某学校的特长班有 50 名学生，其中有体育生 20 名，艺术生 30 名，在学校组织的
11、一次体检中，该班所有学生进行了心率测试，心率全部介于 50 次/分到75 次/分之间，现将数据分成五组，第一组 ，第二组 ，第50,5,60五组 ，按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，已知图中从左70,5到右的前三组的频率之比为 .:41a（）求 的值，并求这 50 名同学心率的平均值；a（）因为学习专业的原因，体育生常年进行系统的身体锻炼，艺术生则很少进行系统的身体锻炼，若从第一组和第二组的学生中随机抽取一名，该学生是体育生的概率为 0.8，请将下面的列联表补充完整，并判断是否有 99.5%的把握认为心率小于 60 次/分与常年进行系统的身体锻炼有关？说明你的理由.参考数据： 20P
12、Kk0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.00102.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828参考公式： ，其中22nadbcKdnabcd心率小于 60 次/分 心率不小于 60 次/分 合计体育生 20艺术生 30合计 50【答案】 （） , ;（）见解析.1637【解析】试题分析：（1）求出各组的频数，即可求 a 的值和 50 名同学的心率平均值 （2）列出二联表，代入公式求 做出判断即可.2K试题解析：（）因为第二组数据的频率为 ，故第二组的频数为035.16，所以第一组的频数为 ，第三组的频数为 20，第四组的频
13、数为0.1658a16，第五组的数为 4.所以 ，故 .28421a这 50 名同学的心率平均值为 .7.00657.5.472.56370（）由（）知，第一组和第二组的学生（即心率小于 60 次/分的学生）共10 名，从而体育生有 名，故列联表补充如下.108心率小于 60 次/分 心率不小于 60 次/分 合计体育生 8 12 20艺术生 2 28 30合计 10 40 50所以 ，2250811430K8.7.9故有 99.5%的把握认为心率小于 60 次/分与常年进行系统的身体锻炼有关.19 如图，已知三棱锥 中， ， ， 为 的中PABCPACBEP点， 为 的中点，且 为正三角形.
14、DABE（）求证： 平面 ；（）请作出点 在平面 上的射影 ，并说明理由.若 ， DH3，求三棱锥 的体积.125H【答案】 （）见解析;（） .103【解析】试题分析：(1)要证 平面 ,只需证明 与平面 内的两条BCPABCPA相交直线 垂直,利用直线与平面垂直的判定定理证明即可;PA，(2)利用 求体积即可.13BCAVS试题解析：（）证明：如图， 为正三角形，且 为 的中点，ABEDAB.D又 为 的中点，P，又已知 ， ACBA平面 ， ，P又 ， ，P平面 .B（）如图，过点 作 于 ，HD由（）可知， 平面 ， ，EBE又 ， ，HCD平面 ，即 为点 在平面 上的射影.B在直角
15、 中，设 ，则 ， ，Ax29Ax12CDAB29x，12BCDBCS1324由 得 ，HA5x25x解得 .4x， ， ，510P3A，3PABCABVS425103故三棱锥 的体积为 .20 已知平面内一动点 与两定点 和 连线的斜率之积等于M10,B2,1.12（）求动点 的轨迹 的方程；E（）设直线 ： （ ）与轨迹 交于 、 两点，线段 的lyxm0EABA垂直平分线交 轴于点 ，当 变化时，求 面积的最大值.PP【答案】 （） （ ）;（） .21max23ABS【解析】试题分析：（1）设点的坐标列式，即可求 椭圆 E 的方程；（2）首先设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y
16、2） ，将直线 y=x+m 代入椭圆方程根据韦达定理与判别式求出 x1+x2、x 1x2和 m2的范围，进而求出|AB|，设 AB 中点 ，求出 和 的CP坐标即可得到 到 的距离 ，可得 ，可求出三角形面积的最大值.PABdPABS试题解析：（）设 的坐标为 ，M,xy依题意得 ，12yx化简得轨迹 的方程为 （ ）.E1xy0x（）设 ， ，1,Ay2,B联立方程组 化简得： ,2,xym234xm20有两个不同的交点，由根与系数的关系得 ， ，1243x213x，即 且 .24m0m1,0设 、 中点为 ， 点横坐标 ， ，ABC123Cx3Cmyx，2,3线段 的垂直平分线方程为 .AB23myx点坐标为 .P,03m到 的距离 ，AB2d由弦长公式得 ，2114xx2483m213PABmS 22892239m，23
