1、梅河口市第五中学 2017 届高三下学期第一次模拟考试第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合 4,321A， 6,5B，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A B 2,1 C 4,3 D 6,52.已知 i为虚数单位，则复数 i的虚部为（ ）A 27 B 27 C 27 D i273.若向量 ba,的夹角为 3，且 1|,|ba，则向量 a与向量 b的夹角为（ ）A 6 B C D 65 4.已知等差数列 n的公差为 2，若 431,成等比数列，则 3（ ）A 10 B 6 C. 8 D 5
2、.下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产 A产品过程中记录的产量 x（吨）与相应的生产能耗 y（吨）的几组对应数据，根据下表提供的数据，求出 y关于 x的线性回归方程为 35.07y，则下列结论错误的是（ ）A线性回归直线一定过点 )5.3,4( B产品的生产能耗与产量呈正相关 C. t的取值为 3.15 D A产品每多生产 1 吨，则相应的生产能耗约增加 0.7 吨6.下列命题中，真命题是（ ）A 2,xR B 0,xeR C.若 dcba，则 dbca D 2bca是 的充分不必要条件7.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是 3，则正视图中的 x的值是（ ）A2 B 29 C. 2
3、3 D38.已知实数 yx,满足 mx1，如果目标函数 yxz的最小值为 1，则实数 m（ ）A6 B5 C. 4 D39.如图所示的程序框图，若输出的 8S，则判断框内应填入的条件是（ ）A ?3k B ?4k C. ?5k D ?6k10.已知函数 )2|,0)(sin)( xf 的最小正周期为 4，且对 Rx，有 )3(fx成立，则 x的一个对称中心坐标是（ ）A )0,32( B ),3( C. )0,3( D )0,35(11.已知中心在坐标原点的椭圆和双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为 21F，这两条曲线在第一象限的交点为 P， 21F是以 1P为底边的等腰三角形.若 |1PF，
4、椭圆与双曲线的离心率分别为 21,e，则 21e的取值范围是（ ）A ),0( B ),31( C. ),51( D ),91(12.一矩形的一边在 x轴上，另两个顶点在函数 2xy（ 0）的图象上，如图，则此矩形绕 x轴旋转而成的几何体的体积的最大值是（ ）A B 3 C. 4 D 2第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.记集合 )1|,(2yxA， 01|),(yxB，构成的平面区域分别为 NM,，现随机地向 M中抛一粒豆子（大小忽略不计） ，则该豆子落入 N中的概率为 14.已知 45)1(2ax的展开式中 x的系数为 2，则实数 a的值
5、为 15.设数列 n满足 042，点 ),(naP对任意的 ，都有向量 )2,1(nP，则数列na的前 项和 S 16.已知两条直线 1l： my和 2l： )0(18my， 1l与函数 |log|2xy的图象从左到右相交于点BA,， 2l与函数 |og|x的图象从左到右相交于点 DC,，记线段 A和 BD在 轴的投影长度分别为ba，当 变化时， ab的最小值为 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.如图，平面四边形 ABCD中， 120,30,2,5 BCCA，求（1） ；（2） 的面积 S.18.如图， ABC中， O是 的中点，
6、 2,OCAB，将 BA沿 O折起，使 B点到达点. （1）求证： AO平面 CB；（2）当三棱锥 的体积最大时，试问在线段 AB上是否存在一点 P，使 C与平面 OAB所成的角的正弦值为 36？若存在，求出点 P的位置；若不存在，请说明理由.19.第 31 届夏季奥林匹克运动会于 2016 年 8 约 5 日21 日在巴西里约热内卢举行，下表是近五届奥运会中国代表团和俄罗斯代表团获得的金牌数的统计数据（单位：枚）.（1）根据表格中两组数据完成近五届奥运会两国代表团获得的金牌数的茎叶图，并通过茎叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度（不要求计算出具体数值，给出结论即可） ；（2）甲、
7、乙、丙三人竞猜今年中国代表团和俄罗斯代表团中哪一个获得的金牌数多（假设两国代表团获得的金牌数不会相等） ，规定甲、乙、丙必须在两个代表团中选一个，已知甲、乙猜中国代表团的概率都为 54，丙猜中国代表团的概率为 53，三人各自猜哪个代表团的结果互不影响.现让甲、乙、丙各猜一次，设三人中猜中国代表团的人数为 X，求 的分布列及数学期望 EX.20.已知抛物线 C： pxy2经过点 )2,(M， C在点 处的切线交 x轴于点 N，直线 1l经过点 N且垂直于 x轴.（1）求线段 ON的长；（2）设不经过点 和 的动直线 2l： bmyx交 于 A和 B，交 1l于点 E，若直线 MBEA,的斜率依次
8、成等差数列，试问： 是否过定点？请说明理由.21.已知函数 xf)ln().（1）求 (在 ,1a（ ）上的最小值；（2）若关于 的不等式 0)(2xmff只有两个整数解，求实数 m的取值范围. 请考生在第 22,23,24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.22.选修 4-1：几何证明选讲已知 DCBA,为圆 O上的四点，过 A作圆 O的切线交 BD的延长线于点 P，且 45,ABCE，1P， 8.（1）求弦 的长； （2）求圆 的半径 R的值.23.选修 4-4：坐标系与参数方程已知圆 O： 42yx，将圆 O上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的 2
9、1，得到曲线 C.（1）写出曲线 C的参数方程；（2）设直线 l： 0与曲线 C相交于 BA,两点，以坐标原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 m过线段 AB的中点，且倾斜角是直线 l的倾斜角的 2 倍，求直线 m的极坐标方程.24.选修 4-5：不等式选讲（1）若关于 x的不等式 |3|2|1| ax的解集为空集，求实数 a的取值范围；（2）对任意正实数 y,，不等式 yxky68恒成立，求实数 k的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:BAADC 6-10:DDBCA 11、12：BA二、填空题13. 21 14. 3 15. 2n 16. 28三、解答题17.解：（1）在 B
10、CD中，由正弦定理得： 321sinsi BCDBD，在 ABD中，由余弦定理得： 32)5()(2cos 22A，所以 45.（2）因为 )6()5(， 3)6cos()6(cos)65cos( .（2） 30CBD， 120，所以 30CDB，因为4)45sin(si A，所以 2346321i21 CS.18.解：（1） AB且 O是 的中点， COAB,，由折叠知 OBA，又OC， 面 ；（2）不存在，证明如下：当面 AB面 C时，三棱锥 ACB的体积最大，面 AB面 C， AB，面 ，法 1：连结 OP， OO, ， 面 ， PO即为 C与平面 AB所成的角，在直角三角形 CP中，
11、36sin,2,1CP， 63，而C中， 5B， 2，设 到直线 AB的距离为 h，则由1221 hSAB，得 53h， P，满足条件的点 P不存在；法 2：在直角三角形 CPO中， 2,C， OC2tan， 2，易求得O到直线 AB的距离为 25，满足条件的点 P不存在.法 3：已证得 ,两两垂直，如图建立空间直角坐标系 xyz，则 )0,1(,)0,2(CBA，设 ),0(P，则 ),12(ACP，又平面 O的法向量 ,n，依题意得， 36|nC，得 365812，化简得， 07602，此方程无解，满足条件的点 不存在.19.解：（1）两国代表团获得的金牌数的茎叶图如下通过茎叶图可以看出，
12、中国代表团获得的金牌数的平均值高于俄罗斯代表团的金牌数的平均数；俄罗斯代表团获得的金牌数比较集中，中国代表团获得的金牌数比较分散.（2）解： X的可能取值为 0,1,2,3，设事件 CBA,分别表示甲、乙、丙猜中国代表团，则125)3()541()()0( 2CPBAP， 12593)4(3)4(1 2,651)()()()2( 22CBAX，1583432CPBAP故 的分布列为 512483156291250EX.20.解：（1）由抛物线 pxyC:2经过点，得 p2，故 1， C的方程为 xy2， C在点 M出的切线斜率为 21，切线方程为 )2(1xy，令 0y得 2x，所以点 N的坐
13、标为 )0,2(，故线段xy2的长为 2.（2 ） 恒过定点 xy2，理由如下：由题意可知 1l的方程为 ，因为 2l与 1相交，故 0m，由 byxl:2，令 2x，得mby，故 ),2(bE，设 ),(),(21yxBA，由 2消去 得：02，则 byy,2121，直线 MA的斜率为 2111yxy，同理直线 MB的斜率为 2y，直线 ME的斜率为 4m，因为直线 BE,的斜率依次成等差数列，所以 21y b214，即 myy24)(21)(2421211 ，整理得 mb2，因为 2l不经过点 N，所以 b，所以 bm，即 b，故 2l的方程为 yx，即 l恒过定点 )0,(.21.解：（
14、1） 2)ln()(xf，令 0)(xf得 )(f的递增区间为 ),0(e；令 )(xf得 f的递减区间为 ,2e， ,1a，则当 2e时， x在 ,1a上为增函数， 的最小值为ln)(f；当 时， )(f在 ,上为增函数，在 (上为减函数，又 )1(2ln4)2(ff，若 ae， )(xf的最小值为 ln，若 ， )xf的最小值为 al，综上，当21时， 的最小值为 2)1(f；当 a， (的最小值为 f)(.（2）由（1）知， )(xf的递增区间为 ,0e，递减区间为 ),2e，且在 ,2e上 01lnlex，又 0x，则 0，又 )2f， m时，由不等式 0)(xmff得 )(f或mf)
15、(，而 )(xf解集为 ,1(，整数解有无数多个，不合题意； 时，由不等式2x得 ，解集为 ),21(),0，整数解有无数多个，不合题意； 0m时，由不等式 0)(xff得 mf)(或 xf， 0(xf解集为 )21,(无整数解，若不等式0)(2xmff有两整数解，则 )2(1)3(fmf， 6ln31lnm，综上，实数 m的取值范围是 6ln31,2l.22.解：（1） 45ABC， P是圆 O的切线， 45ABCPE，又 PEA，90PE，又 8,1D，由切割线定理得 392D，032AB.（2）在 Rt中， PEA， 628,2,23 EDBPE，由相交弦定理得 5,16 CACDBC
16、，由正弦定理 522sinRAB.23.解（1）设曲线 C上任意一点 ),(yxP，则点 )2,(yxQ在圆 O上， 4)2(yx，即 12yx，曲线 的参数方程是 sinco2y（ 为参数）.（2）联立直线 l与曲线 得 )1,0(,BA，线段 AB的中点 N的坐标为 )21,(，设直线 l的倾斜角为 ，则 342tan2ta,1tn，直线 m的方程为 )(34xy，即068yx，直线 m的极坐标方程为 01sin6co8.24.解：（1） 3|)2(1|2|1| xx， 3|2|x，又原不等式的解集是空集， 63|a或 0，实数 a的取值范围是 ),6,(.（2 ）由柯西不等式 28)32()8)(242yxyxyx ，当且仅当 2168yx即yx38时 yx683取最大值 3，又不等式 k6对正实数 yx,恒成立，等价于k2恒成立， 2k.实数 k的取值范围是 ),23(.
