1、2016-2017 学年度长宁、嘉定区高三年级第一次质量调研数 学 试 卷一填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第 16 题每题填对得 4 分，第 712 题每题填对得 5 分1设集合 ,1|2|RxxA，集合 ZB，则 A_2函数 3siny（ 0）的最小正周期是 ，则 _3设 i为虚数单位，在复平面上，复数 2)(3i对应的点到原点的距离为_4若函数 axf)1(log)(2的反函数的图像经过点 )1,4(，则实数 a_5已知 nba3展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为 64，则 n_6甲、乙两人从 5门不同的选修课中各选
2、修 2门，则甲、乙所选的课程中恰有 1门相同的选法有_种7若圆锥的侧面展开图是半径为 cm、圆心角为 70的扇形，则这个圆锥的体积为_ 3cm8若数列 na的所有项都是正数，且 naan3221 （ *N），则1321li nn_9如图，在 ABC中， 45， D是 BC边上的一点，5D， 7， 3，则 A的长为_10有以下命题： 若函数 )(xf既是奇函数又是偶函数，则 )(xf的值域为 0； 若函数 是偶函数，则 |)(xf； 若函数 在其定义域内不是单调函数，则 不存在反函数； 若函数 )(f存在反函数 1，且 )(1f与 f不完全相同，则 )(xf与 )(1f图像的公共点必在直线 xy
3、上其中真命题的序号是_（写出所有真命题的序号）11设向量 )2,(OA， ),(aB， )0,(bOC，其中 O为坐标原点， 0a， b，若 A、B、 C三点共线，则 b1的最小值为_12如图，已知正三棱柱的底面边长为 2cm，高为 5c，一质点自 A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达 1A点的最短路线的长为_ 二选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分）每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得 5 分，否则一律得零分13“ 2x”是“ 2x”的（ ）（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件（C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件14
4、若无穷等差数列 na的首项 01，公差 d， na的前 项和为 nS，则以下结论中一定正确的是（ ）（A） nS单调递增 （B ） nS单调递减 （C） nS有最小值 （D） n有最大值15给出下列命题：（1）存在实数 使 23cosi；（2）直线 2x是函数 xyin图象的一条对称轴；（3） )cos(y（ R）的值域是 1,cos；（4）若 ， 都是第一象限角，且 ，则 tant其中正确命题的序号为（ ）（A）（1）（2） （B）（2）（3） （C）（3）（4） （D）（1）（4）16如果对一切正实数 x， y，不等式 yxa9sinco2恒成立，则实数 a的取值范围是（ ）（A） 34,
5、 （B） ),3 （C） 2, （D） 3,三解答题（本大题满分 76 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17（本题满分 12 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 5 分，第 2 小题满分 7 分如图：已知 AB平面 CD， B， A与平面 BCD所成的角为 30，且 2BCA（1）求三棱锥 BCDA的体积；（2）设 M为 的中点，求异面直线 A与 CM所成角的大小（结果用反三角函数值表示）18（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分在 ABC中， a， b， c分别是角 A， B，
6、C的对边，且 72cossin8ACB（1）求角 的大小；（2）若 3， ，求 和 c的值19（本题满分 16 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 5 分，第 2 小题满分 11 分某地要建造一个边长为 （单位： km）的正方形市民休闲公园 OABC，将其中的区域 ODC开挖成一个池塘如图建立平面直角坐标系后，点 D的坐标为 ),(，曲线 D是函数 2axy图像的一部分，过边 OA上一点 M在区域 OAB内作一次函数 bkxy（ 0）的图像，与线段 交于点 N（点N不与点 D重合），且线段 N与曲线 有且只有一个公共点 P，四边形 M为绿化风景区（1）求证：28kb；（2）设点 P的横
7、坐标为 t， 用 t表示 ， 两点的坐标； 将四边形 MABN的面积 S表示成关于 t的函数 )(tS，并求 S的最大值20（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分已知函数 29)(xxaf（1）若 a， 1,0，求 )(f的值域；（2）当 x时，求 x的最小值 )(ah；（3）是否存在实数 m、 n，同时满足下列条件： 3mn； 当 )(ah的定义域为 ,nm时，其值域为 ,2n若存在，求出 、 的值；若不存在，请说明理由21（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分
8、6 分，第 3 小题满分 8分已知无穷数列 na的各项都是正数，其前 n项和为 nS，且满足： a1， 1nrS，其中1a，常数 rN（1）求证： n2是一个定值；（2）若数列 a是一个周期数列（存在正整数 T，使得对任意 *Nn，都有 nTa成立，则称na为周期数列， T为它的一个周期），求该数列的最小周期；（3）若数列 n是各项均为有理数的等差数列， 132nc（ *），问：数列 nc中的所有项是否都是数列 中的项？若是，请说明理由；若不是，请举出反例2016 学年长宁、嘉定区高三年级第一次联合质量调研数学试卷参考答案与评分标准一填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分）考生应在答题纸
9、相应编号的空格内直接填写结果，第 16 题每题填对得 4 分，第 712 题每题填对得 5 分1 2 2 3 4 3 5 6 6 07 83 8 9 26 10 11 8 12 13二选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分）每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得 5 分，否则一律得零分13B 14C 15B 16D三解答题（本大题满分 74 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17（本题满分 12 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 5 分，第 2 小题满分 7 分（1）因为 AB平面
10、CD，所以 AB就是 D与平面 BC所成的角，即 30ADB，且 为三棱锥 的高 （2 分）由 2BCA，得 3D，又由 CDB，得 2 （3 分）所以， 324131AhSV （5 分）（2）取 中点 E，连结 M， ，则 E ，所以 EMC就是异面直线 AD与 CM所成的角（或其补角）， （1 分）在 中， 2， ， 5， （3 分）所以， 6324cos2C， （6 分）即 63arEC所以异面直线 AD与 M所成角的大小为 63arcos （7 分）18（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分（1）由 7cos2sin8CB，得 0
11、1)cos(42CBA，（2 分）因为 A，所以 )(，故 2，（4 分）所以， 1cos， 3 （6 分）（2）由余弦定理， Abcaos22，得 32bc， （2 分）3)(bc，得 ， （4 分）由 ,2解得 ,1或 .2,c （8 分）19（本题满分 16 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 5 分，第 2 小题满分 11 分（1）将 ),(D代入 axy得， ，所以二次函数的解析式为 （ 0x）， （2 分）由 ,2xybk得 2bk， （3 分）由题意， 8，所以 82k （5 分）（2） 由（1），一次函数的解析式为2xy， （1 分）因为直线过点 )2,(tP，所以 8
12、2kt，解得 t4，故 2tb（2 分）所以一次函数为 4xy，令 0y，得 2x，即 0,M， （3 分）令 2y，得 t1，即 ,12tN （5 分） 2|tMA， tNB12|， （1 分）当点 与点 重合时， 4t，解得 32t，所以 ),32(t所以， AtS4|)|(1) ， ,t（4 分）因为 2t，当且仅当 2t时取等号，所以当且仅当 2t（ km），时 )(tS取最大值)4(（ km） （6 分）20（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6分（1）当 a时，由 29xxy，得 )3(2xy， （2 分
13、）因为 ,0x，所以 ,1， 6, （4 分）（2）令 t3，因为 ，故 1t，函数 )(f可化为2223)()( atatg （2 分） 当 1时， 981gh； （3 分） 当 3时， 2)(； （4 分） 当 a时， a61)( （5 分）综上， .3.612,3,298)(aah（6 分）（3）因为 mn， h612)(为减函数，所以 )(ah在 ,上的值域为 )(,mn， （2 分）又 在 上的值域为 2，所以， ,)(2nh即 ,61nm（3 分）两式相减，得 )()(62nn，因为 3mn，所以 6，而由 3m可得 ，矛盾所以，不存在满足条件的实数 、 （6 分）21（本题满分
14、18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8分（1）由 1narS ， 得 21nnarS ，得 )(2a， （2 分）因为 0na，所以 ran2（定值） （4 分）（2）当 1时， ，故 12， ara12， （1 分）根据（1）知，数列 n的奇数项和偶数项分别成等差数列，公差都是 r，所以，ran)(2， ra2， （3 分）当 0r时， n的奇数项与偶数项都是递增的，不可能是周期数列， （4 分）所以 ，所以 12， n12，所以，数列 na是周期数列，其最小周期为 2（6 分）（3）因为数列 na是有理项等差数列，由 1， r2， ra3，得ra12，整理得 02ra，得 46r（负根舍去），（1 分）因为 a是有理数，所以 12r是一个完全平方数，设 226kr（ *N），当 0r时， （舍去） （2 分）当 时，由 226k，得 1)(kr，由于 r， *Nk，所以只有 3， 5符合要求， （4 分）此时 2a，数列 n的公差 2rd，所以 23na（ *N）（6 分)对任意 *，若 12c是数列 n中的项，令 mnc，即 2131n，则 341nm， 时， m， 时， *31，故 2c不是数列 na中的项（8 分）
