1、 世纪金榜 圆您梦想 第 1 页（共 4 页） 数学投稿咨询 QQ： 1114962912 山东世纪金榜书业有限公司2.4.1 平面向量的数量积的物理背景及其含义教学目的：1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理垂直的问题；4.掌握向量垂直的条件.教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用教学过程：一、复习引入：（1）两个非零向量夹角的概念：已知非零向量 与 ，作 OA ， B ，则 （ ）叫 与 的夹角.说明：（1）当 时， 与 同向；（2）当 时， 与 反向；（3
2、）当 时， 与 垂直，记 ；（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围 0180（2）两向量共线的判定（3）练习 1.若 a=(2，3)，b=(4，-1+y )，且 ab，则 y=（ C ）A.6 B.5 C.7 D.82.若 A(x，-1)， B(1，3)，C(2，5)三点共线，则 x 的值为（ B ）A.-3 B.-1 C.1 D.3（4）力做的功：W = |F| s|cos，是 F 与 s 的夹角.二、讲解新课：世纪金榜 圆您梦想 第 2 页（共 4 页） 数学投稿咨询 QQ： 1114962912 山东世纪金榜书业有限公司1平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量
3、与 ，它们的夹角是 ，则数量| a|b|cos叫 与 的数量积，记作 ab，即有 ab = |a|b|cos， （ ）.并规定 0 向量与任何向量的数量积为 0.探究：1、向量数量积是一个向量还是一个数量？它的符号什么时候为正？什么时候为负？2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别？（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由 cos的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成 ab；今后要学到两个向量的外积 ab，而 ab 是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“ ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“”代替.（3）在实数中，若 a0，且 ab=0，则 b=0
4、；但是在数量积中，若 a0，且 ab=0，不能推出 b=0.因为其中 cos有可能为 0.（4）已知实数 a、 b、 c(b0)，则 ab=bc a=c.但是 ab = bc a = c 如右图： ab = |a|b|cos = |b|OA|， bc = |b|c|cos = |b|OA| ab = bc 但 a c(5)在实数中，有( ab)c = a(bc)，但是( ab)c a(bc)显然，这是因为左端是与 c 共线的向量，而右端是与 a 共线的向量，而一般 a 与 c 不共线.2 “投影”的概念：作图定义：| b|cos叫做向量 b 在 a 方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当
5、 为锐角时投影为正值； 当为钝角时投影为负值； 当为直角时投影为 0；当 = 0时投影为 | b|； 当 = 180 时投影为 | b|.3向量的数量积的几何意义：数量积 ab 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影| b|cos的乘积.探究：两个向量的数量积的性质：设 a、 b 为两个非零向量，世纪金榜 圆您梦想 第 3 页（共 4 页） 数学投稿咨询 QQ： 1114962912 山东世纪金榜书业有限公司1、 ab ab = 02、当 a 与 b 同向时， ab = |a|b|； 当 a 与 b 反向时， ab = |a|b|. 特别的 aa = |a|2或 | |ab| | a|b|
6、 cos = | 探究：平面向量数量积的运算律1交换律： a b = b a证：设 a， b 夹角为，则 a b = |a|b|cos， b a = |b|a|cos a b = b a2数乘结合律：( a)b = (ab) = a(b)证：若 0，( a)b = |a|b|cos， (ab) = |a|b|cos， a(b) = |a|b|cos，若 0，( a)b =| a|b|cos() = |a|b|(cos) = |a|b|cos， (ab) =|a|b|cos，a( b) =|a|b|cos() = |a|b|(cos) =|a|b|cos.3分配律：( a + b)c = ac
7、+ bc在平面内取一点 O，作 A= a， B= b， OC= c， a + b （即 OB）在 c 方向上的投影等于a、 b 在 c 方向上的投影和，即 | a + b| cos = |a| cos1 + |b| cos2 | c | |a + b| cos =|c| |a| cos1 + |c| |b| cos2， c(a + b) = ca + cb 即：( a + b)c = ac + bc说明：（1）一般地，( ) （ ）（2） ， 0 （3）有如下常用性质： ，（ ） （ ） 三、讲解范例：例 1证明：( ) 例 2已知|a|=12， |b|=9， 254a，求 a与 b的夹角。例
8、 3已知|a|=6， |b|=4， a 与 b 的夹角为 60o 求：（1）(a+2b) (a-3b). （2）| a+b|与|a-b|.世纪金榜 圆您梦想 第 4 页（共 4 页） 数学投稿咨询 QQ： 1114962912 山东世纪金榜书业有限公司（ 利用 a| ） 例 4已知|a|=3， |b|=4， 且 a 与 b 不共线，k 为何值时，向量 a+kb 与 a-kb 互相垂直. 四、课堂练习：1P106 面 1、2、3 题。2下列叙述不正确的是（ ）A. 向量的数量积满足交换律 B. 向量的数量积满足分配律C. 向量的数量积满足结合律 D. ab 是一个实数3|a|=3，|b|=4，向量 a+ 43b 与 a- b 的位置关系为（ ）A.平行 B.垂直 C.夹角为 3 D.不平行也不垂直4已知|a|=8， |b|=10， |a+b|=16，求 a 与 b 的夹角.五、小结：1平面向量的数量积及其几何意义；2平面向量数量积的重要性质及运算律；3向量垂直的条件.六、作业：习案作业二十三。
