1、内蒙古财经大学本科毕业论文正定矩阵的性质及应用作 者 郝芸芸 系 别 统计与数学学院 专 业 信息与计算科学 年 级 10级 学 号 102093113 指导教师 高菲菲 导师职称 讲师 答辩日期 成 绩 内 容 提 要矩阵是数学中的一个重要基本概念，也是一个主要研究对象，同时矩阵论又是研究线性代数的一个有力工具而矩阵的正定性是矩阵论中的一个重要概念正定矩阵是一种特殊的矩阵，其等价定理在解题过程中可以灵活使用且正定矩阵具有一般矩阵不具有的特殊性质，尤其是这些性质广泛地应用于各个领域本文在第一部分介绍了实矩阵的正定性的相关定义以及其等价条件在第二部分列举了正定矩阵的一系列性质，主要介绍了正定矩阵
2、的关联矩阵的正定性本文在第三部分介绍了正定矩阵的相关定理本文在第四部分介绍了矩阵正定性的判定方法：定义法、主子式法、特征值法、与单位矩阵合同法且简单地举了一些实例来阐述实矩阵正定性的判定最后本文分别从不等式的证明和多元函数的极值两个方面介绍了正定矩阵的实际应用关键词：二次型 正定矩阵 判定方法 应用 AbstractMatrix is an important basic concepts in mathematics, but also a main research object, at the same time matrix theory is a powerful tool for
3、the study of linear algebra. At the same time, the positive definiteness of matrix is an important concept in the matrix theory. The positive definite matrix is a special matrix, the equivalence theorem in the problem solving process can be used flexibly. And the positive definite matrix with specia
4、l properties of general matrix does not have these properties, especially widely used in various fields. In the first part of this thesis introduces the related definition of positive definite real matrix and its equivalent conditions. In the second part are held a series of properties of positive d
5、efinite matrix, mainly introduced the positive definiteness correlation matrix is positive definite matrix. This paper introduces the related theorem of positive definite matrix in the third part. This paper introduces the method to judge the positive definiteness matrix in fourth parts: the definit
6、ion, the master method, the eigenvalue method. Determination and simply cited a number of examples of real positive definite matrices. Two aspects of extreme finally this paper from the proof of inequality and multiple function describes the practical application of positive definite matrices.Key wo
7、rds: Quadratic form Positive definite matrix Determination method Application目 录引言 1一、 正定矩阵的定义 1二、 正定矩阵的性质 2三、 正定矩阵的有关定理 6四、 正定矩阵的判定方法 9（一） 定义法 9（二） 主子式法 .10（三） 特征值法 .11（四）与单位矩阵 合同法 .12E五、 正定矩阵的应用 .13（一） 正定矩阵在不等式中的应用 .13（二） 正定矩阵在多元函数极值问题中的应用 .14总结 .16参考文献 .16后记 .171正定矩阵的性质及应用引言矩阵理论是数学的一个重要分支，它不仅是一门基
8、础学科，也是最具有使用价值，应用很广泛的数学理论矩阵是矩阵理论中一个重要基本概念，是代数学的一个主要研究对象，而正定矩阵作为一类常用矩阵，其在计算数学、数学物理、运筹学、控制论、数值分析等领域中都具有广泛的应用二次型理论起源于解析几何中化二次曲线和二次曲面方程为标准型的问题，正定二次型在二次型理论中占有很重要的地位，在实数域上文字 的正定二次型与 阶正定矩阵是一一对应的，本文首先运用1,nX n二次型的有定性引出了矩阵的有定性，继而给出了正定矩阵的定义其次本文证明了正定矩阵的一些实用性质以及有关定理，且论述了正定矩阵的多种判定方法，最后运用正定矩阵解决了数学中不等式的证明和多元函数极值的问题一
9、、 正定矩阵的定义定义1 3 设 均为实常数，则关于 个实变量 的二次齐次多项式,2,;ijanij n12,nx函数， 22121,n nfxaxax 12131,nnaax称为 元实二次型定义2 3 只含有平方项的二次型称为标准形，即 22121,n nfydydy 2定义3 3 若二次型的标准形中的系数 仅为 ，则此标准形称为二次型的规范,id ,0形定义4 1 实二次型 称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数 ，12,nfx 12,nc都有 ； ,0c2如果都有 ，那么 称为负定的；如果都有12,0nfc 12,nfx，那么 称为半正定的；如果都有 ，12,nf 12,nf 12,
10、0nfc那么 称为半负定的；如果二次型既不是半正定又不是半负定，那么,x就称为不定的12,nf定义5 1 若实数域上的 元二次型 是正定二次型121(,)()nijjijiifxaX TAX（负定二次型），则称 为正定矩阵（负定矩阵）；若二次型是半正定二次型（半负A定二次型），则称 为半正定矩阵（半负定矩阵）其中， 121212nnnaaA 12nxX定义6 1 子式121212,iiiiiaaPn 3称为矩阵 的 阶顺序主子式ijnAa下面是正定矩阵的一些等价条件定理1 8 设 是 阶实对称矩阵，则下列命题等价：(1) 是正定矩阵(2) 的正惯性指数等于 An(3) 的特征值全大于零(4)
11、合同于 阶单位矩阵 nE(5) 合同于主对角元大于零的对角矩阵(6)存在可逆矩阵 ，使得 ，其中 表示 的转置PTAPTP注：二次型的正定（负定），半正定（半负定）统称为二次型及其矩阵的有定性不具备有定性的二次型及其矩阵称为不定的二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系因此，二次型的正定性的判定可以转化为对应的实对称矩阵的正定性的判定3二、 正定矩阵的性质性质1 1 正定矩阵的行列式大于零证明 设 是正定矩阵因为 与单位矩阵合同，所以有可逆矩阵 使AACCE两边取行列式，有 20C推论1 1 若 是正定矩阵，则 的顺序主子式全大于零证明 设二次型 是正定的对于每个 ，令121,nij
12、ifxax ,1kn下面证明 是一个 元的正定二次型对于任意一组不121,kknijifxa kf全为零的实数 ，有,kc1 11, ,0,kk ij kifcacfc 因此 是正定的由性质可知， 的矩阵的行列式1,kkfx kf110,kkan这就证明了矩阵 的顺序主子式全大于零A性质2 6 若 是正定矩阵，则 的主对角元全大于零A证明 设 ，对于任意的 ，恒有 ，其中 ，()ija0X1nTijiAXaxijjia令 ，将其代入 ，得,12,ijn (0,1)iTX 1()nTijijjii，所以 ， ，从而结论得证TiXAai,2in 性质3 6 正定矩阵 中绝对值最大元素必可以在主对角
13、线上取到()ijAa证明 设 是正定矩阵，则它的一切主子式都大于零如果 是 的中绝对值最()ija ()ijaA大的一个元素，那么，取 的二阶主子式 ，由此可得A 0iijijijj4，因此， 的绝对值不可能都小于 ，所以， 或2ijijijaa,ijaijaijia，故 中绝对值最大的元素必可以在主对角线上取到ijjA性质4 8 若 是正定矩阵，则 ， 是正定矩阵，其中 kAE0k证明 由 是正定矩阵，可知 的特征值 ，则 的特征值120,n A，因此 是正定矩阵0(1,2)ikn 同理可得 的特征值 ，因此 也是正定AkE120,0nkk kE矩阵性质5 7 若 是正定矩阵，则 ， 是正定
14、矩阵，其中 表示 的逆矩阵，1A* 1A表示 的伴随矩阵*证明 首先证 是正定矩阵1因为 是正定矩阵，所以 可逆且 ，则有AT，11即 为实对称矩阵1设 的特征值为 ，因为 是正定矩阵正定，所以12,n A0(1,2)i n 故 的特征值 ，因此 也是正定矩阵1A 10,0 1再证 是正定矩阵*由 ， 可得 ，即 是实11111TTTAA*TA*对称矩阵因为 的特征值 ，所以 是正定矩阵*120,0n *性质6 1若 是正定矩阵，则对于任意整数 ， 都是正定矩阵k证明 当 时， 显然是正定矩阵0kkAE当 时，由于 ，而 ，有性质可知， 也是正定矩阵，故1kA1A下面只需假定 为正整数即可 当
15、 为偶数时，由于 ，且 ，由正定矩阵的等价条件(6)可知kTA2Tkk kA是正定矩阵 当 为奇数时，由于 是正定矩阵，故存在实可逆矩阵 ，使 k CT由此可得： ，从而仍由正定矩阵的1111122222TkkkkkTAACA5等价条件(6)可知， 是正定矩阵kA性质7 4 设 为 阶正定矩阵，则 ，其中 为 的主对角元素.An12na ia1,2n A证明 设 ，其中 为 的 阶顺序主子式，1TnA=1121,Tnna那么，111 1000nnT TT nAAEEaa =两边取行列式得 ：，11Tn因为 是正定矩阵，所以 ， 都是正定矩阵，那么 A1A由上式可知10T， 1na同理 ，其中
16、为 的 级顺序主子式阵，这样继续下去可得 121,nAa2A.-, 1n na 性质8 5 任意两个同阶正定矩阵的和是正定矩阵，更一般地，多个正定矩阵的正线性组合也是正定矩阵证明 设 , 都是正定矩阵，又设 由 , 是正定矩阵，可得AB,0abAB则有,T，TTABab所以 是实对称矩阵因为对任意 有aAbB0()nXR，()TTTabaAbBX由性质4可知 是正定矩阵，则有 ， 所以,ab00因此 是正定矩阵()0TXABaAbB6多于两个矩阵的情形可按同样方式得出结论，并利用数学归纳法给出证明：（1）当 时已证明命题成立；2n（2）假设 时命题成立，现证明 时命题也成立1k1nk设 是同阶
17、正定矩阵， 对任意 有1,A 12,0a 0()nXR，1 1()T TTTkk kkkXaAaXAaA 其中每一项均为正所以当 时，结论成立n综合（1）（2）可知，对于一切的自然数 ，多个正定矩阵的正线性组合必为正n定矩阵性质9 8 如果 是正定矩阵， 是任意实数，则存在正定矩阵 ，使得 AmBmA证明 由于 是正定矩阵，所以存在正交矩阵 ，使 ，其中Q10TnA，所以1,0n10TnAQ 令 ，则 ，结论得证 10mTnBQ mB三、 正定矩阵的有关定理定理2 5 若 ， 都是正定矩阵，则 是正定矩阵AB0AB由定理2的推广，可以得到如下推论：推论2 若 ， ， ， 都是正定矩阵，则CD是
18、正定矩阵1340(,12,34)illl推论3 若 都是正定矩阵，则 是正定矩阵12,sA 12sA定理3 5 正定矩阵的合同矩阵一定是正定矩阵7证明 设 为 阶正定矩阵， 为 阶实对称矩阵且与 合同BnAnB由正定矩阵的等价条件可知， 与单位矩阵 合同又因为 与 合同，那么BnEAA也与单位矩阵 合同，即 为正定矩阵nE定理4 5 若 , 是实对称矩阵， 的特征值全大于 ， 的特征值全大于 若AAaBb，则 是正定矩阵0abB证明 性质5已证得 是实对称矩阵，且由已知条件可知 ， 都是正定矩阵，Eb由性质5可得 是正定矩阵()()aEb设 是 的任一特征值，则AB，()()()()abAaB
19、b这表明 是 的特征值由于 是正定矩阵()abaEBE，故 ，所以 ，即 的特征值全大于 ，从而 为正0()0b0AB定矩阵推论4 设 都是实对称矩阵， 的特征值均大于 若12,sA iA(1,2)ias，则 是正定矩阵10sia12s定理5 9 若 , 是正定矩阵，则 是正定矩阵的充要条件是 BBAB证明 必要性：设 是正定矩阵，则 是实对称矩阵，从而AAT充分性：由 知， ，故 是实对称矩阵由于 正定，存在可逆矩阵 使得 ，从而BPTB，11()TAAPP即 与 相似，因而 与 有相同的特征值因为 正定，故 也正定ATPT AT， 的特征值全大于零，故 的特征值全大于零，所以 是正定矩阵B
20、定理6 7 若 是实对称矩阵，且 可逆，则 是正定矩阵2证明 由已知可知， ， ，则 是实对称矩阵.又因为TA2T2，故 与 合同，从而 是正定矩阵正定.121TAE2对定理6推广，可以得到如下推论：推论5 若 是实对称矩阵，且 可逆，则 是正定矩阵.A2()kZ8注：当 满足推论的条件时， 不一定是正定矩阵例如A21()kAZ，则 是实对称矩阵，且 可逆显然 不123 2121213kk kA是正定矩阵定理7 6 设 都是 阶正定矩阵，则 也是正定矩阵，其中,ijijAaBbnijCcijijcab证明 是实对称矩阵，显然 也是实对称矩阵任取 ，则由矩阵,ABC1(,)0TnXx ,AB是正
21、定矩阵，可知：，1 10,n nT Tjk jkj jXAaxBb 且存在 阶可逆矩阵 ，使得 ，即nijQqTQ，1(,)njkljkbqn所以，1111nnnnjkjjkljkj jkljklj j ljabxaqxaxq对任意 ，因为 可逆，所以总存在一个 ，使得(,)0TnX Ql，1(,)0nTllxq(不妨设 ，则由 可逆知 的第一列中总有一个元素不为零，设为 ，于是10x 1lq)又由 是正定矩阵有： 对以上的 成立所以1lqA10njkljkljaxql，即 为正定矩阵10njkjjabxijCb定理8 6 设 是正定矩阵， 为 实矩阵，其中 为 的转置矩阵，则ABmnTB为正
22、定矩阵的充要条件是 的秩 TBr证明 必要性 设 为正定矩阵，则对任意的 维非零列向量 ，有TAnX9，于是 ，因此 元齐次线性方程组 只有X0TTBAB=0BXn0BX零解，故系数矩阵 的秩 rn充分性 因为 ，故 为实对称矩阵.TTAA=T若 ，则齐次线性方程组 只有零解，从而对任意实 维非零列向量rBn0BXn，有 又因为 正定，所以对于 有 ，于是当X00TBXA0X时，有 ，故 为正定矩阵.0TTAXA=T四、 正定矩阵的判定方法(一) 定义法阶实对称矩阵 称为正定矩阵，如果对于任意 维实非零向量 ，都有nAnX则实对称矩阵 简称为正定矩阵，记作： 0TXA 0A用定义证明矩阵 是正
23、定矩阵需证明两点：(1) 为实对称矩阵(2)对任意的非零向量 ， X0T运用定义判定正定矩阵适用于一些题目中未给出具体数字的矩阵，且容易推出相关矩阵所对应的二次型大于零，根据已知条件得出所求矩阵对应的二次型大于零，则可以确定该矩阵属于正定矩阵例1 设 是 实矩阵，且 是列满秩，即 ，证明 是正定矩阵AnmArAmTA证明 首先，因为 ，所以， 是实对称矩阵TTT其次，由 可知，齐次线性方程组 只有零解因此，对任意 维列r 0Xm向量 ，必有 ，不妨设 ，则 是一组不全为零0X0A12,TnAa 12,na的实数从而，对任意 维列向量 ，二次型m0，210nTT iXXa即二次型 正定，所以矩阵
24、 是正定矩阵TXATA例2 设 是 矩阵， ，证明当 时， 是正定矩阵mnBE0B10证明 因为 ，故 是 阶实对称矩阵，对于任意的 维实向TT TBEAABnn量 ，有0x22TTTTTxxxAxAx由于 ， ，则恒有 ，而 ，因此 ，由定义可20200B得 是正定矩阵B(二) 主子式法若矩阵 的各阶顺序主子式全大于零，则矩阵 为正定矩阵AA运用主子式判定正定矩阵，首先需确定该矩阵的各阶顺序主子式容易求得然后根据矩阵的各阶顺序主子式均大于零，可以快速地判定出一个矩阵是否属于正定矩阵，但是此法只适用于判定一些比较简单，或方便计算各阶顺序主子式的矩阵例3 设二次型 ，判定该二次型的矩阵是2212
25、31313,6574fxxx否属于正定矩阵.解 二次型的矩阵为，2507A其各阶顺序主子式分别为 全大于零，所以矩阵1236,2,1625DDA是正定矩阵A例4 取何值时，二次型 的矩阵是正定矩阵t 2221133410fxxtx解 二次型 对应的矩阵为，120At要使矩阵 正定，必须使 的各阶顺序主子式全大于零，即满足A1210,D，2223102941484()0DAttttt11得到 ，所以，当 时，二次型 的矩阵是正定矩阵21t(2,1)tf(三) 特征值法若矩阵 的特征值全为正数，则矩阵 为正定矩阵AA运用特征值判定正定矩阵，先计算出矩阵的所有特征值，若所有特征值都为正数则可以判定该
26、矩阵属于正定矩阵如果可以保证所有特征值全为正数，则可以不计算出特征值的具体值直接判定此法适用于一些行列较多且不容易计算各阶主子式，或根据已知条件容易判断特征值是否全为正数的矩阵例5 已知 是 阶实对称正定矩阵，证明 是正定矩阵,AEn1EA证明 由 可知， 是对称矩阵设11 1TTA是 的特征值，则 的特征值 ，即 ，12,n 120,0n 1i那么 ，从而 i10i综上可得： 的特征值全为正数，即 是正定矩阵1EA1EA例6 判定 元二次型 的矩阵是否属于正定矩阵n121niifx解 二次型 的矩阵为f1212nA则 ，记 211,2AE 1,1B由 可得， 的特征值是 与 （ 重）于是 的
27、特征值是 (2BnBn0A,2n重) 的特征值全为正数，故 属于正定矩阵AA例7 设 是 阶实对称矩阵，且满足 ，证明 是正定矩阵n432640AEA12证明 设 是矩阵 的特征值， 是矩阵 的属于特征值 的特征向量，则有AA，4324326640E因为 ，所以 ，即00，212由于 是实对称矩阵，故由上式可知矩阵 的特征值为或，即矩阵 的特征AAA值全为正数，从而可得 是正定矩阵(四) 与单位矩阵 合同法E正定二次型 的规范形为 ，而规范形的矩阵为单位矩12,nfx 221nyy阵 ，所以一个实对称矩阵是正定矩阵当且仅当它与单位矩阵 合同E E此法较上述方法比较简单，即此法不需要判定该矩阵对
28、应的二次型是否大于零，也不用计算顺序主子式和特征值，只需判定该矩阵是否与同阶单位矩阵合同即可此法适用于较容易判断出与单位矩阵合同的矩阵例8 已知 是 阶可逆矩阵，证明 是正定矩阵AnTA证明 由于 ，则 是对称矩阵T因为 ，且 是可逆矩阵，所以 与 是合同矩阵，从而 是正定TETETA矩阵例9 用此法证明分块矩阵 是正定矩阵，其中 分别为 阶正定矩阵0AQB,AB,mn证明 由于矩阵 为正定矩阵，故存在可逆矩阵 和 ，使得, CnD，,TTmnCAE令 ，则 ，且 为 阶可逆矩阵0CPD0TTPDP，000TmTT TnEAACQBDB 所以，矩阵 与单位矩阵 合同，故分块矩阵 是正定矩阵E0
29、Q13五、 正定矩阵的应用(一) 正定矩阵在不等式中的应用实对称矩阵 是正定矩阵是由于其对应的实二次型 （其中ATXA12,nx）正定，而二次型正定是指对于任意 恒有 因此可以利用此性质来证明0X0T不等式是否成立例10 证明不等式 （其中 是不全为零的实数）成立22131234xxx123,x证明 令 ，其系数矩阵为22,4f，-1402A的各阶顺序主子式为 ，则 为正定矩阵因此A12-=0,=3,14A对于任意一组不全为零的 都有 ，故原不等式成立123,x23,0fx例11 证明不等式 成立11nniiiiX（ ）证明 令 ，则二次型为2211nnTiiiif AX（ ），12121,n
30、Xf n 则1411nA的各阶顺序主子式 ，所以 是半A 21210, 0,nnnA正定的，那么二次型是半正定的，即 故原不等式成立f(二) 正定矩阵在多元函数极值问题中的应用在实际问题中经常遇到求多元函数的极值问题，对此可应用二次型的正定性加以解决.定义7 2 设 元实函数 在 的某个邻域内存在一阶、n12(),)nfXfx 12(,)TnXxR二阶连续偏导数记 ,称 为函数 在点12()(,nffff ()fX()f处的梯度12(,)TnXx定义8 2 ，此矩阵称为函数22211122221()()()()()()()()nijnnnnfXffXxxxfHXxfff 在点 处的(Hessi
31、an)黑塞矩阵则 是由 的 个12(),)nffx XR()HX()f2n二阶偏导数构成的 阶实对称矩阵定理9 2 (极值必要条件)设函数 在点 处可微，且 为该函数的极值点()fX0012(,)Tnx 0X，则1) 必为 的稳定点，即 .0X()f 0()f2) 若 在 的某领域 存在连续二阶偏导数，则当 为极小值时，0UX0fX在 的黑塞矩阵为正定或正半定；则当 为极大值时， 在 的黑塞()f0 0f ()15矩阵为负定或负半定定理10 2 (极值充分条件)设函数 在点 的某个邻域内存在一阶、二阶连续偏导数时()fX0nR，且 则：0012(),nfffXxx(1)当 是正定矩阵时， 在
32、处取得极小值； 0(H()fX0(2)当 是负定矩阵时， 在 处取得极大值； )(3)当 是不定矩阵时， 在 处不取极值0(X()f0例12 求多元函数 的极值.22(, 4fxyzyzxyz解 先求驻点，由， 解得 04xyzff1,xyz可得驻点为 0(1,)P再求(Hessian)黑塞矩阵，因为 ，所以2,0,4,0,4xxyxzyyzzffffff，由正定矩阵的等价命题（5）可知 是正定的，所以 是204H H0(1,)P的极小点，且 在 点的极小值为 (,)fxyz(,)fxyz0(1,)P(,)5f例13 求多元函数 的黑塞矩阵，并根据结果判断2213231446fxxxx该函数的
33、极值点解 先求驻点，由，解得 12323214608xxfxf1230,0xx可得驻点为 0,P16由上述方程组可求得(Hessian)黑塞矩阵为 ，由于2468H，所以黑塞矩阵为不定矩阵，故 不是极值点1240,80H0P总结本文深刻研究了正定矩阵的各类性质以及相关定理，并从这些性质和定理出发探讨了多种判定正定矩阵的方法：定义法、主子式法、特征值法、与单位矩阵合同法判定一个矩阵是否属于正定矩阵，根据已知条件及各种方法的适用范围选定上述一种方法最后本文又利用正定矩阵的性质以及判定方法把正定矩阵应用于不等式、多元函数极值的相关问题中，继而减少各类问题的计算量，提高准确率参考文献：1 王萼芳，石生
34、明高等代数（第三版）北京：高等教育出版社2 华东师范大学数学系数学分析（第四版）高等教育出版社3 何亚丽线性代数科学出版社4 陈大新矩阵理论上海：上海交通大学出版社5 刘畅正定矩阵性质的推广J沈阳师范大学学报，2009,27(3),2682716 岳贵鑫正定矩阵及其应用J辽宁省交通高等专科学院学报，2008,10(5),31337 黄云美正定矩阵的性质及其应用J烟台职业学院学报，2011,17(3):85888 张丹，刘庆平正定矩阵的性质及相关问题J中南大学学报，2011,31（4）179 倪凌炜实正定矩阵的若干判定方法J湖州师范学院学报，2010,26（2）后记写完这篇论文之时，我深深地叹了
35、口气，虽然写作过程艰苦，但是最终还是喜悦地，顺利地完成了毕业论文在这个过程中我对正定矩阵有了更深入的了解，尤其是对于正定矩阵的应用我更认识到毕业论文的结束并不意味着学习的终止，而是人生的又一起点首先诚挚的感谢我的导师高菲菲老师，她在忙碌的教学工作中挤出时间来审查、修改我的论文无论从选题、文章的整体结构还是语言规范上高老师都给了我悉心指导从高老师的指导中我深深感受到了高老师的渊博的专业知识、严谨的治学态度以及诲人不倦的师德还有教过我的所有老师们，你们循循善诱的教导和不拘一格的思路给予我无尽的启迪同时也要感谢我的同学，在大学四年里，无论从生活上还是学习上给了我很大的帮助和鼓励，让我不断进步最后感谢我的父母，让我在他们的关怀中逐渐的成长，给了我无限的包容，我要以勤奋的工作和优秀的成绩回报他们
