1、- 1 -山西省太原市 2018 届高三数学上学期期末考试试题 理第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 |320Ax， |(1)30Bx，则 AB（ ）A (,1) B (,) C 2,(,) D 2(1,)32.某中学初中部共有 110 名教师，高中部共有 150 名教师，根据下列频率分布条形图（部分）可知，该校女教师的人数为（ ）A93 B123 C137 D1673.已知 a， b都是实数，那么“ 2ab”是“ 2”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D
2、既不充分也不必要条件4.对于复数 z，定义映射 :fzi.若复数 z在映射 f作用下对应复数 2+3i，则复数 z在复平面内对应的点位于（ ）A第四象限 B第三象限 C.第二象限 D第一象限5.等差数列 na的前 项和为 nS， 39， 6S，则 8a（ ）A21 B15 C.12 D96.已知 1(,)2x， lx， 2lb， 3lncx，那么（ ）A abc B ca C.bac D bca7.已知 sin()3，那么 os()3（ ）- 2 -A 59 B 23 C. 23 D 598.下图是实现秦九韶算法的一个程序框图，若输入的 x， 2n，依次输入的 a为2,2,5，则输出的 s（
3、）A10 B12 C.60 D659. 51()x展开式中的常数项为（ ）A1 B21 C.31 D5110.已知函数 39yx的最大值为 M，最小值为 m，则 的值为（ ）A 4 B 12 C. 3 D 2311.已知一个几何体是由半径为 2 的球挖去一个三棱锥得到（三棱锥的顶点均在球面上）.若该几何体的三视图如图所示（侧视图中的四边形为菱形） ，则该三棱锥的体积为（ ）A 23 B 43 C.8 D 16312.已知函数 ()ln1)fx， (gxk（ *N） ，若对任意的 (0,)xt（ ） ，恒有- 3 -2|()|fxg，那么 k的取值集合是（ ）A 1 B C.1,2 D 1,23
4、第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.已知函数 1()xf， 2,5，则 ()fx的最大值是 14.不共线的三个平面向量 a， b， c两两所成的角相等，且 |1ab， |3c，则|=abc15.已知 2(log)70fx，那么 ()1(6)ff 16.已知三棱柱 1ABC所有棱长均相等，且 110BAC，那么异面直线1与 所成的角的余弦值为 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列 na的前 项和为 nS，且 1(2)na， 416， *nN.（1）求 1及数列 的通项公式；
5、（2）设2nba，求数列 nb的最大项.18. ABC的内角 ， ， C的对边分别为 a， b， c，已知tt3taAB.（1）求角 ；（2）若 c， C的面积为 32，求 C的周长 .19. 在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有 3 个红球和 7 个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中摸出 3 个球.（1）设 表示摸出的红球的个数，求 的分布列和数学期望；（2）为了提高同学们参与游戏的积极性，参加游戏的同学每人可摸球两次，每次摸球后放回，若规定两次共摸出红球的个数不少于 n，且中奖概率大于 60%时，即中奖，求 n的最大值.- 4 -20. 如图，在四棱锥 PABCD中，
6、 AB， PDC， 23ABD，30BAD.（1）证明： ；（2）若 P， B， 60，求二面角 APB的余弦值.21. 已知函数 ()xmfe（ 0）有极小值.（1）求实数 的取值范围；（2）若函数 2()(ln1)xha在 x时有唯一零点，求实数 a的取值范围.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，写清题号.如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线 C的极坐标方程 2cosin.以极点为原点，极轴为 x轴非负半轴建立平面直角坐标系，且在两坐标系中取相同的长度单位，直线 l的参数方程为3,6xty（ t为参数）.（1）写出曲线 C的参数方程和
7、直线 l的普通方程；（2）过曲线 上任意一点 M作与直线 相交的直线，该直线与直线 l所成的锐角为 30，设交点为 A，求 |的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值时点 M的坐标.23.选修 4-5：不等式选讲设函数 ()|1|2|fxx2()54gx.（1）求不等式 5f的解集 M；（2）设不等式 ()0gx的解集为 N，当 x时，证明： ()3fxg.- 5 -试卷答案一、选择题1-5:BCDAB 6-10:CADDB 11、12：CA二、填空题13.3 14.4 15.2017 16. 6三、解答题17.由题得 43186aSa，解得 12a，故 12n，则 时， 12nn，令 ，
8、1成立，所以数列 a的通项公式为 na.（2）2nb，22111()nnnnb.当 1时， 20，则 1nb，当 3n时， 1n，则 ，故数列 b前 3 项依次递增，从第 3 项开始依次递减，所以数列 n的最大项为 398b.18.（1）由 tattanABAB得 3tn()tn1t，又 0，则 23，故 ()C.另解：由已知得 siisincocoABAB，则 sin()3()0B，即 ta()3，- 6 -又 0AB，则 23，故 ()3CAB.（2）由余弦定理及（1） ，得 2coscab，则 29ab，又 sin4ABCSab，则 6，则 22()927ab，即 3ab，所以 的周长为
9、 3.19. 0,123710()4CP，12370()4CP，21370()4CP，310()2，则 的分布列为0 1 2 3P724240740120的数学期望为 79()0131E.（2）设两次共摸出红球的个数为 ，则 ,2,561(6)02P， 4(5)10P， 7(4)02P，73， 392， 1，()1，则有 425671460.8%0P，则 2n.20.（1）由 DAB， PC， AB，得 PD平面 ABC，从而 P.又在 中，又余弦定理得 22 21cos30，- 7 -则有 22ADB，所以 90ADB，即 DB，又 P，则有 ，则有 A平面 B，故 AP.（2）以 D为原点
10、建立如图所示空间直角坐标系 Dxyz，设 3，则 (,0)， (,3)， (0,1)B， 31(,0)2C，设平面 APB的一个法向量为 ,mxyz，则30,mxyz令 1，则 y， 1，故 (,3)，设平面 PBC的一个法向量为 (,)nxyz，则有310,2nBCxyPzA令 1x，则有 3y， 1z，故 (,31)，所以 cos,|5mnA，由图知，二面角 PBC的余弦值为 3.21.（1）函数定义域为 R， (1)xfe，令 ()0fx，得 1，当 0m时，若 1x，则 (0；若 ，则 ，故 ()0fx在 处取得极小值，当 时，若 ，则 ()fx；若 1，则 ()0fx，故 ()f在
11、1处取得极大值.所以实数 m的取值范围是 (0,).（2）函数 2()ln1xhea在 0x时有唯一零点，即方程 ln1xae在0x时有唯一实根，- 8 -由（1）知函数 ()xpe在 1处取得最小值 1e，设 ln1()xga， 2ln()g，令 ()0gx，有 ，列表如下 x(0,1)1 (1,)()g正 0 负x增函数 极大值 减函数故 1时， max()(1)ga，又 0x时， ； 时， ()0px， ()gxa，所以方程 lnxe有唯一实根， 1ae或 ，此时 的取值范围为1|a或 a.22.（1）曲线 C 的直角坐标方程为 220xyxy，表示圆心为 (2,1)，半径为 3r的圆，
12、化为参数方程为 cosinxy（ 为参数）直线 l的普通方程为 230.（2）由题知点 M到直线 l的距离 1|2dMA，设点 (3cos,1in).则有点 到直线 l的距离 |43si6cos|43sin()|d，其中 3cos， 6sin，当 in()1，即 2时， max73d， max143|MA，此时 6cosi3， sinco， (2,0)；- 9 -当 sin()1即 32时， min3d， min23|MA，此时 6cosi， sicos， (0,).综上，点 M坐标为 (2,0)时， max143|A，点 的坐标为 (,2)时，min3|A.23.（1） ()5|1|2|5fxx，则有 ,240或 ,或 ,60解得 1x，解得 2x，解得 3x，则不等式的解集为 |3M.（2） 2()0540gxx，解得 14x，则 |14Nx，所以 |1N.当 1x时， ()3fx， 2259()3()4fgxx，由 3522，有 25904，则 ()3fg成立.综上， ()fxg成立.注：以上各题，其他正确解法相应得分.
