1、- 1 -山东省烟台市 2018 届高三数学上学期期末自主练习试题 理一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集为 R，集合 1,24M， 230Nx，则 RMCN( )A.1,2B. ,C.4D.12x2.已知 01ba，则下列不等式成立的是( )A. 1B. 12abC.22lglabD. 1lgab3.已知函数 1,0sin,2xef，则 0f( )A.0 B.1 C.eD.1e4.已知等差数列 na的前 项和为 nS，且 2315S，则数列 na的公差为( )A.3 B. 4C. D.65.若将函数
2、 si2fx的图象向左平移 0个单位长度，所得图象关于原点对称，则 的最小值是( )A. 8B. 4C.38D.346.在区间 0,上随机取一个数 x，则事件“ 2sincox”发生的概率为( )A. 12B.13C. 71D. 37.函数 2cosyx的图象大致为( )A B C D- 2 -8.在 ABC 中，已知 ABCA， 1B， 3AC， ,MN分别为 BC的三等分点，则 MN( )A.109B. 209C.89D.839.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于( )A.12B.18 C.20 D.2410.已知 1,0Fc， 2,为双曲线 210,xyab的两个焦点，若
3、双曲线上存在点P使得 ，则双曲线的离心率的取值范围为( )A.1,B.2,C. 2,D. 3,11.数列 na， b的前 n项和分别为 nS， T，记 *nnnncaTbSaN，若2018S， 2018T，则数列 c的前 2018 项和为( )A.2017 B.2018 C. 2018D. 201912.定义在区间 ,ab上的函数 yfx， f是函数 fx的导函数，若存在 ,ab，使得 fbff，则称 为函数 f在 ,ab上的“中值点”.下列函数：sinfx； xfe； ln3fx； 31fx.其中在区间 2,上至少有两个“中值点”的函数的个数为( )A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题（
4、每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.2xy的展开式中 3xy的系数是_.( 用数字作答)- 3 -14.设变量 ,xy满足约束条件203xy，则 2zxy的最小值为_.15.中国古代数学经典九章算术中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鐅臑.若三棱锥 PABC为鐅臑，且 PA平面 BC， 2PA， 3B， AC，该鐅臑的外接球的表面积为 29，则该鐅臑的体积为_.16.过抛物线 0ypx的焦点 F的一条直线交抛物线于 1,xy， 2,Bxy两点，给出以下结论： 12y为定值；若经过点 A和抛物线的顶点的直线交准线于点 C，则 Bx 轴；存在这样的抛物线和直线 AB，使得
5、O( 为坐标原点 )；若以点 ， B为切点分别作抛物线的切线，则两切线交点的轨迹为抛物线的准线.写出所有正确的结论的序号_.三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知函数 22133cossin42fxxx.(1)求函数 f在区间 0,上的最大值及相应的 的值；(2)在 ABC 中，若 ，且 12fAfB，求 CA的值.18.某食品集团生产的火腿按行业生产标准分成 8 个等级，等级系数 X依次为1，2，3，8，其中 5X为标准 ， 3X为标准 .已知甲车间执行标准 A，乙车间执行标准 B生产该产品，且两个车间的产品都符合相应的执行标准
6、.(1)已知甲车间的等级系数 1的概率分布列如下表，若 1的数学期望 16.4EX，求 ,ab的值； 1X5 6 7 8P0.2ab0.1(2)为了分析乙车间的等级系数 2X，从该车间生产的火腿中随机抽取 30 根，相应的等级系数组成一个样本如下：- 4 -3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5 6 7用该样本的频率分布估计总体，将频率视为概率，求等级系数 2X的概率分布列和均值；(3)从乙车间中随机抽取 5 根火腿，利用(2)的结果推断恰好有三根火腿能达到标准 A的概率.19.已知四棱锥 SABCD， S平面 ABCD，
7、底面 为直角梯形， BDC ，90DAB ， 2， 3， M是 S中点 .(1)求证： CM 平面 SAD；(2)若直线 与平面 B所成角的正切值为 32， F是 SC的中点，求二面角 CAFD的余弦值.20.已知点 ,A是椭圆 2:10xyLab的左右顶点，点 是椭圆的上顶点，若该椭圆的焦距为 23，直线 C， B的斜率之积为 14.(1)求椭圆 的方程；(2)是否存在过点 1,0M的直线 l与椭圆 L交于两点 ,PQ，使得以 为直径的圆经过点 C？若存在，求出直线 l的方程，若不存在，说明理由.21.已知函数 nafxxR.(1)求函数 f的单调区间；(2)若存在 1x，使 1xf成立，求
8、整数 a的最小值.22.已知曲线 C的参数方程为 5cos2iny( 为参数)，以直角坐标系的原点为极点，x轴正半冷眉冷眼为极轴建立极坐标系.(1)求曲线 的极坐标方程，并说明其轨迹；- 5 -(2)若曲线 1C的极坐标方程为 3sinco，曲线 C与 1相交于 ,AB两点，求线段 AB的长度.23.已知函数 21fx， 123gxax.(1)当 5a时，求 f的解集；(2)若存在实数 x使得 fgx成立，求实数 a的取值范围.- 6 -参考答案一、 选择题C D B C C C A B D C B B二、 填空题13. 120 14.4 15. 16.三、 解答题17. 解：（1） 1cos
9、21cos(2)133xxfx sin2cosin. 由于 0x， 233x，所以当 32x即 51x时，f取得最大值，最大值为 1. （2）由已知， A、 B是 C的内角， AB,且 2ffB，可解得 4， 712. 所以 6C, 得 sinBA . 18. 解：（1） 1()502780.164EXab 即 74.6ab 又 0.2.ab，即 . 联立得 674.0，解得 30.4b . （2）由样本的频率分布估计总体分布，可得等级系数 2X的分布列如下： 8.410.71.062.5.043.)(2 XE，X3 4 5 6 7 8P0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1- 7 -
10、即乙车间的等级系数的均值为 8.4. （3） 32515()6PC. （4）19. （1）证明：取 SA中点 N,连接 DM,，在 SAB中， M/, B21, CN,/,四边形 CDN为平行四边形. /又 平面 S, 平面 SAD/平面 A . （2）由已知得： ,ABDS两两垂直 ， 以 ,ABDS所在直线分别为 x轴， y轴， z轴建立如图所示的空间直角坐标系， ,S平面 ，MA就是 与平面 SAB所成的角. 在 RtD中， 3tan2，即 32DM，设 2B，则 ， 1C SAt中， 为斜边 SB中点， 4342. 则 (0,)(,0)， (1,),(03,)CD， (0,23)S，
11、1(,3)2F所以 (,3),(,)AD， 1(,)AF. - 8 -设 1(,)xyzm是平面 ACF的一个法向量，则113002AyCFxz，令 1y，得 (3,10)m.设 2(,)yzn是平面 ADF的一个法向量，则22300130ADFxyz，令 21z 23,01n . 6cos,mn.二面角 EAFC的余弦值为 31. 20. 解：（1）由题意可知， c， ,ACBbka，有 24ba， 即 2，又 22bc，解得 ,1，所以椭圆 C的方程为214xy. （2）存在；以 PQ为直径的圆经过点 可得， PQ，若直线 l的斜率为 0，则 ,AB为点 ,PQ，此时22(3)45cos
12、03ACB，此时 ,CP不垂直，不满足题意，可设直线 l的方程为： 1xmy，联立21xy，消 x可得， 2(4)30my，则有1243y. 设 12(,)(,)PxyQ，由题意可知 120x，因为 CPQ，- 9 -则 1CPQk，即 211yx，整理可得： 212()()0my， 将代入可得：234m，整理得 250，解得 1或者 53，所以直线 l的方程为： xy或 0xy. 21. 解：（1）由题意可知， 0，22()1axaf ，方程 20xa对应的 14a，当 4，即 时，当 (,)x时， ()0fx， ()fx在 ,)上单调递减； 当 104a时，方程 20xa的两根为 142a
13、，且 14， 此时， ()fx在 +2a（ ， ） 上 ()0fx，函数 ()fx单调递增，在 14140,（ ， ） ， 上 f，函数 f单调递减；当 a时， 02a， 02a， 此时当 14(0,),(xfx， ()f单调递增，当 ,2a时， 0f， fx单调递减； 综上：当 0时， 14(,)2ax， (f单调递增，当 14(,)2ax时， ()fx单调递减；当 14a时， ()fx在 +1（ ， ） 上单调递增，- 10 -在 14140,)22aa（ ， ） ， ( 上单调递减；当 时， )fx在 (0,)上单调递减； （2）原式等价于 1ln1ax，即存在 x，使 2成立设 ln(
14、)1g， x，则 2l()x， 设 )lnh，则 1(0xx， ()hx在 1,)上单调递增又 3)l2l3,4ln2ln0，根据零点存在性定理，可知 (h在 ,)上有唯一零点，设该零点为 0x， 则 0(3,4)x，且00)lnxx，即 02lx， mi 1(g 由题意可知 0ax， 又 0(3,4)， aZ， 的最小值为 5. 22. 解：（1）曲线 C的普通方程为 )2(12yx 所以曲线 C是以 )2,1(为圆心，5为半径的圆。将 sincoyx代入式并化简得 sin4co 所以曲线 的极坐标方程为 42. （2）由题意得，曲线 1C的直角坐标方程为 03yx.所以圆心 C到直线 1的距离为d所以 25|AB. 23. 解：（1）当 a时，原不等式可化为 6|32|1| x,等价于6)32()(x或 6)32()1(x或 )()(
