1、2015-2016 学年河北省衡水中学高三（上）五调数学试卷（文科）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）lgx，lgy，lgz 成等差数列是由 y2=zx 成立的（ ）A充分非必要条件 B必要非充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件2 （5 分）已知向量 =（1，2） ， =（x，4） ，若向量 ，则 x=（ ）A2 B2 C8 D83 （5 分）对于不重合的两个平面 和 ，给定下列条件：存在直线 l，使得 l，且 l ；存在平面 ，使得 且 ； 内有不共线的三点到 的距离相等；存在异面直线 l
2、，m，使得 l ，l ，m ，m 其中，可以判定 与 平行的条件有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个4 （5 分）如图是底面半径为 1，母线长均为 2 的圆锥和圆柱的组合体，则该组合体的侧视图的面积为（ ）A8 B6 C D5 （5 分）函数 是（ ）A最小正周期为 2 的奇函数 B最小正周期为 的奇函数C最小正周期为 2 的偶函数 D最小正周期为 的偶函数6 （5 分）过双曲线 C： （a 0，b0）的右顶点作 x 轴的垂线与 C 的一条渐近线相交于A若以 C 的右焦点为圆心、半径为 2 的圆经过 A、O 两点（O 为坐标原点） ，则双曲线 C 的方程为（ ）A B C D7 （5
3、 分）已知函数 f（x）=e |x|+x2，则使得 f（x）f（2x1）成立的 x 的取值范围是（ ）A B C （ ， ） D8 （5 分）过点 A（11，2）作圆 x2+y2+2x4y164=0 的弦，其中弦长为整数的共有（ ）A16 条 B17 条 C32 条 D34 条9 （5 分）已知抛物线 C：y 2=8x 的焦点为 F，点 M（2，2） ，过点 F 且斜率为 k 的直线与 C 交于 A，B两点，若 ，则 k=（ ）A B C D210 （5 分）已知 Sn 是数列a n的前 n 项和，a 1=1，a 2=2，a 3=3，数列a n+an+1+an+2是公差为 2 的等差数列，则
4、S25=（ ）A232 B233 C234 D23511 （5 分）已知点 P 是椭圆 + =1（x0，y0）上的动点，F 1，F 2 是椭圆的两个焦点，O 是坐标原点，若 M 是F 1PF2 的角平分线上一点，且 =0，则| |的取值范围是（ ）A0，3） B （0，2 ） C2 ，3） D0，412 （5 分）已知函数 ，若关于 x 的方程 f2（x）af（x）=0 恰有 5 个不同的实数解，则 a 的取值范围是（ ）A （0，1） B （0，2） C （1，2） D （0，3）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 （5 分）函数 f（x）=2sin（x+）
5、（ 0， ）的部分图象如图所示，则 f（ ）= 14 （5 分）在半径为 2 的球面上有不同的四点 A，B，C，D，若 AB=AC=AD=2，则平面 BCD 被球所截得图形的面积为 15 （5 分）设 a，b0，a +b=5，则 + 的最大值为 16 （5 分）对于函数 f（x） = +（3 a）|x|+b，若 f（x）有六个不同的单调区间，则 a的取值范围为 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （12 分）ABC 中，三个内角 A、B 、C 所对的边分别为 a、b、c，若 B=60，a=（ 1）c（）求角 A 的大小；（）已知ABC
6、的面积为 12+4 ，求函数 f（x）=cos2x+asinx 的最大值18 （12 分）如图的几何体中，AB平面 ACD，DE平面 ACD，ACD 为等边三角形，AD=DE=2AB=2，F 为 CD 的中点（1）求证：AF平面 BCE；（2）求证：平面 BCE平面 CDE；（3）求此几何体的体积19 （12 分）已知直线 l：4x +3y+10=0，半径为 2 的圆 C 与 l 相切，圆心 C 在 x 轴上且在直线 l 的右上方（1）求圆 C 的方程；（2）过点 M（1，0）的直线与圆 C 交于 A，B 两点（A 在 x 轴上方） ，问在 x 轴正半轴上是否存在定点N，使得 x 轴平分ANB
7、？若存在，请求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由20 （12 分）已知函数 f（x） =x3+ x2+ax+b，g（x）=x 3+ x2+lnx+b， （a，b 为常数）（1）若 g（x）在 x=1 处切线过点（0，5） ，求 b 的值（2）令 F（x）=f （x）g（x） ，若函数 F（x）存在极值，且所有极值之和大于 5+ln2，求实数 a 的取值范围21 （12 分）已知椭圆 =1（ab0）的右焦点为 F2（1，0） ，点 H（2， ）在椭圆上（I）求椭圆的方程；（）点 M 在圆 x2+y2=b2 上，且 M 在第一象限，过 M 作圆 x2+y2=b2 的切线交椭圆于 P，Q 两点，
8、求证：PF 2Q 的周长是定值请在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.（共 1 小题，满分 10 分）22 （10 分）如图，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，延长 BA 和 CD 相交于点 P， = ，= （）求 的值；（）若 BD 为O 的直径，且 PA=1，求 BC 的长选做题23选修 45 不等式选讲 已知 a+b=1，对a，b （0，+） ，使 + |2x 1|x+1|恒成立，求 x 的取值范围2015-2016 学年河北省衡水中学高三（上）五调数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题
9、给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分） （2013 天津模拟）lgx，lgy ，lgz 成等差数列是由 y2=zx 成立的（ ）A充分非必要条件 B必要非充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【分析】根据题中已知条件先证明充分性是否成立，然后证明必要性是否成立，即可的出答案【解答】解：lgx，lgy，lgz 成等差数列，2lgy=lgxlgz，即 y2=zx，充分性成立，因为 y2=zx，但是 x，z 可能同时为负数，所以必要性不成立，故选：A【点评】本题主要考查了等差数列和函数的基本性质，以及充分必要行得证明，是高考的常考类型，同学们要加强练习，属于基础题2 （5 分
10、） （2011 惠州模拟）已知向量 =（1，2） ， =（x，4） ，若向量 ，则 x=（ ）A2 B2 C8 D8【分析】根据 ，把两个向量的坐标代入求解【解答】解： ， ， 即 x+8=0，解得 x=8故选 D【点评】本题考查了据向量垂直时坐标表示的等价条件，即 ，把题意所给的向量的坐标代入求解3 （5 分） （2011 春 金华期末）对于不重合的两个平面 和 ，给定下列条件：存在直线 l，使得 l，且 l ；存在平面 ，使得 且 ； 内有不共线的三点到 的距离相等；存在异面直线 l，m，使得 l ，l ，m ，m 其中，可以判定 与 平行的条件有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4
11、个【分析】利用线面垂直的性质和定义进行判断 利用面面垂直的性质和定义进行判断 利用点到平面的距离去判断利用线面平行的性质和定义判断【解答】解：若 时，存在直线 l，若 与 不平行，则这样的直线不存在，所以 错误若 时，存在平面 ，使得 且 ， 与 不平行，相交时，只要交线垂直于 时，也满足条件，所以正确若 时， 内有不共线的三点到 的距离相等，若 与 相交时，在交线的两侧也存在不共线的三点到 的距离相等，所以 正确若 时，存在异面直线 l，m，使得 l，l ，m，m，若 与 相交时，则不存在，所以错误故选 B【点评】本题主要考查空间两个平面在平行和相交的情况下的位置关系的判断，综合性较强4 （
12、5 分） （2011 惠州模拟）如图是底面半径为 1，母线长均为 2 的圆锥和圆柱的组合体，则该组合体的侧视图的面积为（ ）A8 B6 C D【分析】先画出该组合体的侧视图，再利用组合体的数据和正方形、正三角形的面积计算公式计算其面积即可【解答】解：如图为该组合体的侧视图，下方为边长为 2 的正方形，上方为边长为 2 的等边三角形其面积 s=22+ 22sin60=4+故选 C【点评】本题主要考查了几何体的三视图的画法，旋转体圆锥和圆柱的结构特征，空间想象能力和一定的计算能力，属基础题5 （5 分） （2011 惠州模拟）函数 是（ ）A最小正周期为 2 的奇函数 B最小正周期为 的奇函数C最
13、小正周期为 2 的偶函数 D最小正周期为 的偶函数【分析】利用互余关系化简函数的表达式，利用二倍角公式化简函数为一个角的一个三角函数的形式，即可判断函数的奇偶性与求解函数的周期【解答】解：因为=cos（2x+ ）= sin2x所以函数的周期为： =因为 f（ x）=sin（2x）=sin2x=f（x） ，所以函数是奇函数故选 B【点评】本题考查二倍角公式的应用，诱导公式的应用，三角函数的基本性质，考查计算能力6 （5 分） （2015 咸阳一模）过双曲线 C： （a0，b0）的右顶点作 x 轴的垂线与 C 的一条渐近线相交于 A若以 C 的右焦点为圆心、半径为 2 的圆经过 A、O 两点（O
14、为坐标原点） ，则双曲线 C 的方程为（ ）A B C D【分析】求出双曲线的右顶点和右焦点以及渐近线方程，可得 A，再由圆的性质可得|AF|=|OF|=c=2，解方程可得 a，b，进而得到双曲线方程【解答】解：双曲线的右顶点为（a，0） ，右焦点 F 为（c，0） ，由 x=a 和一条渐近线 y= x，可得 A（a ，b） ，以 C 的右焦点为圆心、半径为 2 的圆经过 A、O 两点（O 为坐标原点） ，则|AF|=|OF |=c=2，即有 =2，c2=a2+b2=4，解得 a=1，b= ，即有双曲线的方程为 x2 =1，故选 A【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用和圆的
15、性质，考查运算能力，属于基础题7 （5 分） （2016 浙江校级模拟）已知函数 f（x）=e |x|+x2，则使得 f（x）f（2x1）成立的 x 的取值范围是（ ）A B C （ ， ） D【分析】根据 f（x）解析式可以判断 f（x）在0，+）上为增函数，在 R 上为偶函数，从而由 f（x）f（2x 1）便可得到|x|2x1|，两边平方即可解出该不等式，从而得出 x 的取值范围【解答】解：x0 时，f（x） =ex+x2，x 增大时 ex 增大，x 2 增大，即 f（x）增大；f（x）在0，+）上单调递增；f（x）的定义域为 R，且 f（ x）=f（x） ；f（x）为偶函数；由 f（x）
16、f（2x1）得：f（|x|）f（|2x1|）|x|2x1| ；x 2（2x1） 2；解得 ；x 的取值范围为 故选：A【点评】考查指数函数、二次函数的单调性，增函数的定义，偶函数的定义，以及通过两边平方解绝对值不等式的方法8 （5 分） （2008 湖北）过点 A（11，2）作圆 x2+y2+2x4y164=0 的弦，其中弦长为整数的共有（ ）A16 条 B17 条 C32 条 D34 条【分析】化简圆的方程为标准方程，求出弦长的最小值和最大值，取其整数个数【解答】解：圆的标准方程是：（x+1） 2+（y2） 2=132，圆心（ 1，2） ，半径 r=13 过点 A（11，2）的最短的弦长为
17、10，最长的弦长为 26， （分别只有一条）还有长度为 11，12，25 的各 2 条，所以共有弦长为整数的 2+215=32 条故选 C【点评】本题实际上是求弦长问题，容易出错的地方是：除最小最大弦长外，各有 2 条9 （5 分） （2015 上饶一模）已知抛物线 C：y 2=8x 的焦点为 F，点 M（ 2，2） ，过点 F 且斜率为 k 的直线与 C 交于 A，B 两点，若 ，则 k=（ ）A B C D2【分析】斜率 k 存在，设直线 AB 为 y=k（x2） ，代入抛物线方程，利用 =（x 1+2，y 12）（x 2+2，y 22）=0，即可求出 k 的值【解答】解：由抛物线 C：y
18、 2=8x 得焦点（2，0） ，由题意可知：斜率 k 存在，设直线 AB 为 y=k（x2） ，代入抛物线方程，得到 k2x2（4k 2+8）x+4k 2=0，0，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） x 1+x2=4+ ，x 1x2=4y 1+y2= ，y 1y2=16，又 =0， =（x 1+2，y 12） （ x2+2，y 22）= =0k=2故选：D【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题10 （5 分） （2015 秋 云南校级月考）已知 Sn 是数列a n的前 n 项和，a 1=1，a 2=2，a 3=3，数列an+a
19、n+1+an+2是公差为 2 的等差数列，则 S25=（ ）A232 B233 C234 D235【分析】由已知可得 an+3an=（a n+1+an+2+an+3） （a n+an+1+an+2）=2，故 a1，a 4，a 7，是首项为 1，公差为 2 的等差数列，a 2，a 5，a 8，是首项为 2，公差为 2 的等差数列， a3，a 6，a 9，是首项为 3，公差为2 的等差数列，结合等差数列前 n 项和公式，和分组求和法，可得答案【解答】解：数列a n+an+1+an+2是公差为 2 的等差数列，a n+3an=（a n+1+an+2+an+3） （a n+an+1+an+2）=2，a
20、 1，a 4，a 7， 是首项为 1，公差为 2 的等差数列，a2，a 5，a 8， 是首项为 2，公差为 2 的等差数列，a3，a 6，a 9， 是首项为 3，公差为 2 的等差数列，S 25=（a 1+a4+a7+a25）+（ a2+a5+a8+a23）+（a 3+a6+a9+a24）= + + =233，故选：B【点评】本题考查的知识点是等差数列的前 n 项和公式，根据已知得到 an+3an=2，是解答的关键11 （5 分） （2014 焦作一模）已知点 P 是椭圆 + =1（x0，y0）上的动点，F 1，F 2 是椭圆的两个焦点，O 是坐标原点，若 M 是F 1PF2 的角平分线上一点
21、，且 =0，则| |的取值范围是（ ）A0，3） B （0，2 ） C2 ，3） D0，4【分析】延长 PF2，与 F1M 交与点 G，由条件判断三角形 PF1G 为等腰三角形，OM 为三角形 F1F2G 的中位线，故 OM= F2G= |PF1PF2|= |2a2PF2|，再根据 PF2 的最值域，求得 OM 的最值，从而得到结论【解答】解：延长 PF2，与 F1M 交与点 G，则 PM 是F 1PG 的角平分线由 =0 可得 F1M 垂直 PM，可得三角形 PF1G 为等腰三角形，故 M 为 F1G 的中点，由于 O 为 F1F2 的中点，则 OM 为三角形 F1F2G 的中位线，故 OM
22、= F2G由于 PF1=PG，所以 F2G=PF1PF2，OM= |PF1PF2|= |2a2PF2|问题转化为求 PF2 的最值而 PF2 的最小值为 ac，PF 2 的最大值为 a+c，即 PF2 的值域为a c，a+c 故当 PF2=a+c，或 PF2=ac 时，|OM|取得最大值为 |2a2PF2|= |2a2（a c）|=c= = =2 ；当 PF2 =a 时，P 在 y 轴上，此时，G 与 PF2 重合，M 与 O 重合，|OM |取得最小值为 0，|OM|的取值范围是（0， ） ，故选：B【点评】本题考查椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，结合图象解题，事半功倍，属于中档题12 （5 分） （2015 陕西校级模拟）已知函数 ，若关于 x 的方程 f2（x）af（ x） =0 恰有 5 个不同的实数解，则 a 的取值范围是（ ）A （0，1） B （0，2） C （1，2） D （0，3）【分析】由已知中函数 ，若关于 x 的方程 f2（x）af（x）=0 恰有五个不同的实数解，我们可以根据函数 f（x）的图象分析出实数 a 的取值范围【解答】解：函数 的图象如下图所示：
