1、第 1 页（共 23 页）2016 年河北省衡水中学高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设集合 M=x|x22x30，N=x|log 2x0，则 MN 等于（ ）A （1， 0） B （ 1，1） C （0，1） D （1，3）2若复数 Z 的实部为 1，且|Z|=2，则复数 Z 的虚部是（ ）A B C i D i3若命题 p：R，cos（ ）=cos ；命题 q：xR， x2+10则下面结论正确的是（ ）Ap 是假命题 Bq 是真命题 Cpq 是假命题 Dpq 是真命题4设函数 f（
2、x）= ，则 f（f（e） ）=（ ）A0 B1 C2 Dln（e 2+1）5已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为（ ）A1 B2 C3 D46在等差数列a n中，a 1=2012，其前 n 项和为 Sn，若 =2002，则 S2014 的值等于（ ）A2011 B2012 C2014 D20137如图是某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是：40，50） ，50，60） ，60，70） ，70，80） ，80，90）90，100） ，则图中 x 的值等于（ ）第 2 页（共 23 页）A0.75
3、4 B0.048 C0.018 D0.0128函数 y=xsinx 在，上的图象是（ ）A B C D9若函数 f（x）=2sin（ x+ ） （2x14）的图象与 x 轴交于点 A，过点 A 的直线 l与函数的图象交于 B、C 两点，则（ + ） =（其中 O 为坐标原点） （ ）A32 B32 C 72 D7210双曲线 C1 的中心在原点，焦点在 x 轴上，若 C1 的一个焦点与抛物线 C2：y 2=12x 的焦点重合，且抛物线 C2 的准线交双曲线 C1 所得的弦长为 4 ，则双曲线 C1 的实轴长为（ ）A6 B2 C D211已知点 P 是椭圆 + =1（x0，y0）上的动点，F
4、1，F 2 是椭圆的两个焦点，O是坐标原点，若 M 是F 1PF2 的角平分线上一点，且 =0，则| |的取值范围是（ ）A0，3） B （0，2 ） C2 ，3） D0，412已知函数 f（x）= ，若函数 f（x）的图象在 A、B 两点处的切线重合，则实数 a 的取值范围是（ ）A （2， 1） B （1，2） C （ 1，+） D （ln2 ，+）第 3 页（共 23 页）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卷的横线上.13若直线 axby+1=0 平分圆 C：x 2+y2+2x4y+1=0 的周长，则 ab 的取值范围是 14若某程序框图如图所示
5、，则该程序运行后输出的 i 值为 15已知变量 x，y 满足约束条件 ，且目标函数 z=3x+y 的最小值为1，则实常数 k= 16在一个棱长为 4 的正方体内，最多能放入 个直径为 1 的球三、解答题：本大题共 5 小题，满分 60 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知等差数列a n的首项为 a（a R，a0） 设数列的前 n 项和为 Sn，且对任意正整数 n 都有 （1）求数列a n的通项公式及 Sn；（2）是否存在正整数 n 和 k，使得 Sn，S n+1，S n+k 成等比数列？若存在，求出 n 和 k 的值；若不存在，请说明理由18全国第十二届全国人民代表大会第二次会议
6、和政协第十二届全国委员会第二次会议，2014 年 3 月在北京开幕期间为了了解国企员工的工资收入状况，从 108 名相关人员中用分层抽样方法抽取若干人组成调研小组，有关数据见下表：（单位：人）相关人数 抽取人数一般职工 63 x中层 27 y高管 18 2（1）求 x，y；（2）若从中层、高管抽取的人员中选 2 人，求这二人都来自中层的概率第 4 页（共 23 页）19如图 1，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，ADC=90 ，BA=BC 把BAC 沿 AC 折起到PAC 的位置，使得 P 点在平面 ADC 上的正投影 O 恰好落在线段 AC 上，如图 2 所示，点 E、F 分别为棱 PC、
7、CD 的中点（1）求证：平面 OEF平面 APD；（2）求证：CD平面 POF；（3）若 AD=3，CD=4，AB=5，求三棱锥 ECFO 的体积20已知椭圆 C 的中点在原点，焦点在 x 轴上，离心率等于 ，它的一个顶点恰好是抛物线 x2=8 y 的焦点（1）求椭圆 C 的方程；（2）已知点 P（2，3） ，Q（2， 3）在椭圆上，点 A、B 是椭圆上不同的两个动点，且满足APQ= BPQ，试问直线 AB 的斜率是否为定值，请说明理由21已知函数 f（x）=（1）求函数 f（x）的单调区间和极值；（2）对于任意的非零实数 k，证明不等式（e+k 2）ln（e+k 2）e+2k 2 恒成立选修
8、 4-1：几何证明选讲22如图所示，PA 为圆 O 的切线，A 为切点，PO 交圆 O 于 B，C 两点，PA=20，PB=10，BAC 的角平分线与 BC 和圆 O 分别交于点 D 和 E（）求证 ABPC=PAAC（）求 ADAE 的值第 5 页（共 23 页）选修 4-4：坐标系与参数方程选讲 23已知平面直角坐标系 xOy，以 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的参数方程为 （ 为参数） 点 A，B 是曲线 C 上两点，点 A，B 的极坐标分别为（ 1， ） ， （ 2， ） （）写出曲线 C 的普通方程和极坐标方程；（）求|AB|的值选修 4-5：不等式选讲24
9、已知函数 f（x）=|x 2|2xa|，aR （1）当 a=3 时，解不等式 f（ x）0；（2）当 x（，2）时，f（ x）0 恒成立，求 a 的取值范围第 6 页（共 23 页）2016 年河北省衡水中学高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设集合 M=x|x22x30，N=x|log 2x0，则 MN 等于（ ）A （1， 0） B （ 1，1） C （0，1） D （1，3）【考点】交集及其运算【分析】利用一元二次不等式和对数函数的知识分别求出集合 M 和集合 N
10、，由此能求出MN【解答】解：集合 M=x|x22x30=x| 1x3，N=x|log2x0 =x|0x1，M N=x|0x1=（0，1） 故选：C2若复数 Z 的实部为 1，且|Z|=2，则复数 Z 的虚部是（ ）A B C i D i【考点】复数求模【分析】设出复数，然后利用复数的模求解即可【解答】解：复数 Z 的实部为 1，设 Z=1+bi|Z|=2，可得 =2，解得 b= 复数 Z 的虚部是 故选：B3若命题 p：R，cos（ ）=cos ；命题 q：xR， x2+10则下面结论正确的是（ ）Ap 是假命题 Bq 是真命题 Cpq 是假命题 Dpq 是真命题【考点】复合命题的真假【分析】
11、先判定命题 p、q 的真假性，再判定各选项是否正确【解答】解：=0 时，cos（0）=cos=cos0=1；命题 p： R，cos（） =cos 是真命题；第 7 页（共 23 页）xR ，x 2+110，命题 q 是真命题；A 中 p 是假命题是错误的； B 中q 是真命题是错误的；C 中 pq 是假命题是错误的；D 中 pq 是真命题正确；故选：D4设函数 f（x）= ，则 f（f（e） ）=（ ）A0 B1 C2 Dln（e 2+1）【考点】函数的值【分析】从里到外根据自变量的范围选择解析式、逐一求解【解答】解：f（e）=lne=1 ，所以 f（f （e ） ）=f（1）=1 2+1=2
12、故选 C5已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为（ ）A1 B2 C3 D4【考点】由三视图还原实物图【分析】由题意可知，几何体为三棱锥，将其放置在长方体模型中即可得出正确答案【解答】解：由题意可知，几何体是三棱锥，其放置在长方体中形状如图所示（图中红色部分） ，利用长方体模型可知，此三棱锥的四个面中，全部是直角三角形故选：D6在等差数列a n中，a 1=2012，其前 n 项和为 Sn，若 =2002，则 S2014 的值等于（ ）A2011 B2012 C2014 D2013第 8 页（共 23 页）【考点】数列递推式【分析】
13、先根据等差数列的性质和前 n 项和公式，求出公差，即可求出答案【解答】解：在等差数列a n中，a n=a1+（n1）d，则其前 n 项和为 Sn=na1+ ，S 2012=2012（2012）+10062011d，S 10=10（ 2012）+59d， =2012+ d+2012 d=1001d=2002，d=2，S 2014=2014（2012）+ 2=2014（2012+2013）=2014，故选：C7如图是某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是：40，50） ，50，60） ，60，70） ，70，80） ，80，90）90，100） ，则图中 x 的值等
14、于（ ）A0.754 B0.048 C0.018 D0.012【考点】频率分布直方图【分析】根据所以概率的和为 1，即所求矩形的面积和为 1，建立等式关系，可求出所求；【解答】解：由图得 300.006+100.01+100.054+10x=1，解得 x=0.018故选 C8函数 y=xsinx 在，上的图象是（ ）第 9 页（共 23 页）A B C D【考点】函数的图象【分析】本题可采用排除法解答，先分析出函数的奇偶性，再求出 和 f（）的值，排除不满足条件的答案，可得结论【解答】解：y=x 和 y=sinx 均为奇函数根据“ 奇 奇=偶”可得函数 y=f（x）=xsinx 为偶函数，图象
15、关于 y 轴对称，所以排除 D又 ，排除 B又f（ ）=sin=0，排除 C，故选 A9若函数 f（x）=2sin（ x+ ） （2x14）的图象与 x 轴交于点 A，过点 A 的直线 l与函数的图象交于 B、C 两点，则（ + ） =（其中 O 为坐标原点） （ ）A32 B32 C 72 D72【考点】函数 y=Asin（x+）的图象变换；平面向量数量积的运算【分析】由 f（x）=2sin（ x+ ）=0，结合已知 x 的范围可求 A，设 B（x 1，y 1） ，C（x 2，y 2） ，由正弦函数的对称性可知 B，C 两点关于 A 对称即 x1+x2=8，y 1+y2=0，代入向量的数量积
16、的坐标表示即可求解【解答】解：由 f（x）=2sin（ x+ ）=0 可得 x+ =kx=8k 2，k Z2 x 14x=6 即 A（6 ，0）设 B（x 1，y 1） ，C（x 2，y 2）过点 A 的直线 l 与函数的图象交于 B、C 两点B，C 两点关于 A 对称即 x1+x2=12，y 1+y2=0则（ + ） =（x 1+x2，y 1+y2）（6，0）=6（x 1+x2）=72故选：D第 10 页（共 23 页）10双曲线 C1 的中心在原点，焦点在 x 轴上，若 C1 的一个焦点与抛物线 C2：y 2=12x 的焦点重合，且抛物线 C2 的准线交双曲线 C1 所得的弦长为 4 ，则
17、双曲线 C1 的实轴长为（ ）A6 B2 C D2【考点】双曲线的简单性质【分析】由题意可得双曲线 C1 的一个焦点为（3，0） ，c=3，可设双曲线 C1 的方程为再根据抛物线 C2 的准线交双曲线 C1 所得的弦长为 4 ，求得 a 的值，可得双曲线 C1 的实轴长 2a 的值【解答】解：由题意可得双曲线 C1 的一个焦点为（3，0） ，c=3，可设双曲线 C1 的方程为 由 ，解得 y= ，2 =4 ，解得 a= ，双曲线 C1 的实轴长为 2a=2 ，故选：D11已知点 P 是椭圆 + =1（x0，y0）上的动点，F 1，F 2 是椭圆的两个焦点，O是坐标原点，若 M 是F 1PF2
18、的角平分线上一点，且 =0，则| |的取值范围是（ ）A0，3） B （0，2 ） C2 ，3） D0，4【考点】椭圆的简单性质；椭圆的定义【分析】延长 PF2，与 F1M 交与点 G，由条件判断三角形 PF1G 为等腰三角形，OM 为三角形 F1F2G 的中位线，故 OM= F2G= |PF1PF2|= |2a2PF2|，再根据 PF2 的最值域，求得 OM 的最值，从而得到结论【解答】解：延长 PF2，与 F1M 交与点 G，则 PM 是F 1PG 的角平分线由 =0 可得 F1M 垂直 PM，可得三角形 PF1G 为等腰三角形，故 M 为 F1G 的中点，由于 O 为 F1F2 的中点，
19、则 OM 为三角形 F1F2G 的中位线，故 OM= F2G由于 PF1=PG，所以 F2G=PF1PF2，第 11 页（共 23 页）OM= |PF1PF2|= |2a2PF2|问题转化为求 PF2 的最值而 PF2 的最小值为 ac，PF 2 的最大值为 a+c，即 PF2 的值域为a c，a+c 故当 PF2=a+c，或 PF2=ac 时，|OM|取得最大值为 |2a2PF2|= |2a2（a c）|=c= = =2 ；当 PF2=a 时，P 在 y 轴上，此时，G 与 PF2 重合，M 与 O 重合，|OM |取得最小值为 0，|OM|的取值范围是（0， ） ，故选：B12已知函数 f
20、（x）= ，若函数 f（x）的图象在 A、B 两点处的切线重合，则实数 a 的取值范围是（ ）A （2， 1） B （1，2） C （ 1，+） D （ln2 ，+）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】先根据导数的几何意义写出函数 f（x）在点 A、 B 处的切线方程，再利用两直线重合的充要条件：斜率相等且纵截距相等，列出关系式，从而得出 a=lnx2 （ 1） 21，构造 h（t）=lnt+ t2 t ， （0t 1） ，最后利用导数研究它的单调性和最值，即可得出a 的取值范围【解答】解：当 x0 时，f（ x）=x 2+x+a 的导数为 f（x）=2x+1；当 x0 时，f（x）
21、=lnx 的导数为 f（x）= ，设 A（x 1，f（x 1） ） ，B（x 2， f（x 2） ）为该函数图象上的两点，且 x1x 2，第 12 页（共 23 页）当 x1x 20，或 0x 1x 2 时，f（x 1）f （x 2） ，故 x10x 2，当 x10 时，函数 f（x）在点 A（x 1，f（x 1） ）处的切线方程为y（ x12+x1+a）=（2x 1+1） （x x1） ；当 x20 时，函数 f（x）在点 B（x 2，f（x 2） ）处的切线方程为ylnx2= （xx 2） 两直线重合的充要条件是 =2x1+1，lnx 21=x12+a，由及 x10x 2 得 0 1，由
22、得 a=lnx2 （ 1） 21，令 t= ，则 0t1，且 a=lnt+ t2 t ，设 h（t）=lnt+ t2 t ， （0t 1）则 h（t）= + t 0，即 h（t）在（0，1）为减函数，则 h（t）h（1）= ln11=1，则 a1，可得函数 f（x）的图象在点 A，B 处的切线重合，a 的取值范围是（1，+） 故选：C二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卷的横线上.13若直线 axby+1=0 平分圆 C：x 2+y2+2x4y+1=0 的周长，则 ab 的取值范围是 【考点】直线与圆相交的性质【分析】依题意知直线 axby+1=0 过圆
23、 C 的圆心（1，2） ，故有 a+2b=1，再利用ab=（1 2b）b 之和为 二次函数的最值，求得 ab 的取值范围【解答】解：直线 axby+1=0 平分圆 C：x 2+y2+2x4y+1=0 的周长，直线 axby+1=0 过圆 C 的圆心（1，2） ，第 13 页（共 23 页）有 a+2b=1，ab=（1 2b）b= 2（b ） 2+ ，ab 的取值范围是（， 故答案为： 14若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的 i 值为 8 【考点】程序框图【分析】根据框图流程依次计算运行的结果，直到满足条件 n=1，求得此时 i 的值，即可得解【解答】解：由程序框图知：程序第一次运行 n
24、=10，i=2；第二次运行 n=5，i=3 ；第三次运行 n=35+1=16，i=4；第四次运行 n=8，i=5 ；第五次运行 n=4，i=6 ；第六次运行 n=2，i=7 ；第七次运行 n=1，i=8 满足条件 n=1，程序运行终止，输出 i=8故答案为：815已知变量 x，y 满足约束条件 ，且目标函数 z=3x+y 的最小值为1，则实常数 k= 9 【考点】简单线性规划【分析】由题意作平面区域，化简目标函数 z=3x+y 为 y=3x+z，从而利用数形结合求解【解答】解：由题意作平面区域如下，第 14 页（共 23 页），结合图象可知，当过点 A（x，2）时，目标函数 z=3x+y 取得
25、最小值1，故 3x+2=1，解得，x= 1，故 A（1，2） ，故1=4 2k，故 k=9，故答案为：916在一个棱长为 4 的正方体内，最多能放入 66 个直径为 1 的球【考点】球内接多面体【分析】根据球体的特点，最多应该是放 5 层，确定各层的个数，进一步求出最多可以放入小球的个数即可【解答】解：根据球体的特点，最多应该是放 5 层，第一层能放 16 个；第 2 层放在每 4 个小球中间的空隙，共放 9 个；第 3 层继续往空隙放，可放 16 个；第 4 层同第 2 层放 9 个；第 5 层同第 1、3 层能放 16 个，所以最多可以放入小球的个数：16+9+16+9+16=66（个）
26、故答案为：66三、解答题：本大题共 5 小题，满分 60 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知等差数列a n的首项为 a（a R，a0） 设数列的前 n 项和为 Sn，且对任意正整数 n 都有 （1）求数列a n的通项公式及 Sn；（2）是否存在正整数 n 和 k，使得 Sn，S n+1，S n+k 成等比数列？若存在，求出 n 和 k 的值；若不存在，请说明理由【考点】等差数列的前 n 项和；等比关系的确定；数列的求和第 15 页（共 23 页）【分析】 （1）设等差数列a n的公差为 d，把 n=1 代入已知式子可得 =3，可得 d=2a，可得通项公式，进而可得前 n 项和；
27、（2）由（1）知 ，进而可得 Sn+1，S n+k 的表达式，由等比数列可得S2n+1=SnSn+k，化简可得 n（k2）=1，由于 n、k 均是正整数，可得 n=1，k=3【解答】解：（1）设等差数列a n的公差为 d，在 中，令 n=1 可得 =3，即故 d=2a，a n=a1+（n 1）d=（ 2n1）a经检验， 恒成立所以 an=（2n 1）a ，S n=1+3+（2n 1）a=n 2a，（2）由（1）知 ， ，假若 Sn，S n+1，S n+k 成等比数列，则 S2n+1=SnSn+k，即知 a2（n+1） 4=an2a（n+k） 2，又 a0，n，kN *，（n+1） 2=n（n+
28、k） ，整理可得 n（k2）=1 ，由于 n、k 均是正整数，n=1，k=3故存在正整数 n=1 和 k=3 符合题目的要求18全国第十二届全国人民代表大会第二次会议和政协第十二届全国委员会第二次会议，2014 年 3 月在北京开幕期间为了了解国企员工的工资收入状况，从 108 名相关人员中用分层抽样方法抽取若干人组成调研小组，有关数据见下表：（单位：人）相关人数 抽取人数一般职工 63 x中层 27 y高管 18 2（1）求 x，y；（2）若从中层、高管抽取的人员中选 2 人，求这二人都来自中层的概率【考点】古典概型及其概率计算公式；分层抽样方法【分析】本题的关键是利用分层抽样的基本理论求出
29、一般职工、中层被抽出的人数，在根据古典概型的计算方法求出概率【解答】解：（1）由分层抽样可知， ，所以 x=7，y=3（2）记从中层抽取的 3 人为 b1，b 2，b 3，从高管抽取的 2 人为 c1，c 2，第 16 页（共 23 页）则抽取的 5 人中选 2 人的基本事件有：（b 1，b 2） ， （b 1，b 3） ， （b 1，c 1） ， （b 1，c 2） ，（b 2，b 3） ， （b 2，c 1） ， （b 2，c 2） ， （b 3，c 1） ， （b 3，c 2） ， （c 1，c 2）共 10 种设选中的 2 人都来自中层的事件为 A，则 A 包含的基本事件有：（ b1，
30、b 2） ， （b 1，b 3） ， （b 2，b 3）共 3 种因此故选中的 2 人都来自中层的概率为 0.319如图 1，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，ADC=90 ，BA=BC 把BAC 沿 AC 折起到PAC 的位置，使得 P 点在平面 ADC 上的正投影 O 恰好落在线段 AC 上，如图 2 所示，点 E、F 分别为棱 PC、CD 的中点（1）求证：平面 OEF平面 APD；（2）求证：CD平面 POF；（3）若 AD=3，CD=4，AB=5，求三棱锥 ECFO 的体积【考点】平面与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】 （1）证明平面 OEF平面 APD，只需证明 O
31、E平面 PAD，OF 平面 PAD；（2）证明 CD平面 POF，只需证明 OFCD，POCD；（3）求出以 ，E 到平面 CFO 的距离为 ，利用体积公式，即可求三棱锥 ECFO 的体积【解答】 （1）证明：因为点 P 点在平面 ADC 上的正投影 O 恰好落在线段 AC 上，所以 PO平面 ADC，所以 POAC 因为 AB=BC，所以 O 是 AC 中点，所以 OEPA ，因为 PA平面 PAD所以 OE平面 PAD同理 OF平面 PAD又 OEOF=O，OE、OF平面 OEF所以平面 OEF平面 APD； （2）证明：因为 OFAD，ADCD所以 OFCD又 PO平面 ADC，CD平面
32、 ADC所以 POCD 又 OFPO=O第 17 页（共 23 页）所以 CD平面 POF； （3）解：因为ADC=90，AD=3 ，CD=4 ，所以 ，而点 O，E 分别是 AC，CD 的中点，所以 ，由题意可知ACP 为边长为 5 的等边三角形，所以高 ，即 P 点到平面 ACD 的距离为 ，又 E 为 PC 的中点，所以 E 到平面 CFO 的距离为 ，故 20已知椭圆 C 的中点在原点，焦点在 x 轴上，离心率等于 ，它的一个顶点恰好是抛物线 x2=8 y 的焦点（1）求椭圆 C 的方程；（2）已知点 P（2，3） ，Q（2， 3）在椭圆上，点 A、B 是椭圆上不同的两个动点，且满足A
33、PQ= BPQ，试问直线 AB 的斜率是否为定值，请说明理由【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【分析】 （1）由已知条件设椭圆 C 的方程为 ，并且 b=2 ， ，由此能求出椭圆 C 的方程（2）由已知条件设 PA 的直线方程为 y3=k（x2） ，PB 的直线方程为 y3=k（x2） ，A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，由已知条件推导出 ， ，由此能求出 AB 的斜率为定值【解答】解：（1）椭圆 C 的中点在原点，焦点在 x 轴上，第 18 页（共 23 页）设椭圆 C 的方程为 ，a b0，离心率等于 ，它的一个顶点恰好是抛物线 x2=8 y 的焦点，b=2 ， ，a 2=b2
34、+c2， a=4，椭圆 C 的方程为 （2）当APQ=BPQ 时，PA，PB 的斜率之和为 0，设直线 PA 的斜为 k，则 PB 的斜率为k，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，设 PA 的直线方程为 y3=k（x2） ，由 ，消去 y 并整理，得：（3+4k 2）x 2+8（32k）kx+4（ 32k2）48=0， ，设 PB 的直线方程为 y3=k（x2） ，同理，得 = ， ， ，kAB= = = ，AB 的斜率为定值 21已知函数 f（x）=第 19 页（共 23 页）（1）求函数 f（x）的单调区间和极值；（2）对于任意的非零实数 k，证明不等式（e+k 2）ln（
35、e+k 2）e+2k 2 恒成立【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值【分析】 （1）求得 f（x）的导数，由导数大于 0，可得增区间；导数小于 0，可得减区间，可得极大值，无极小值；（2）由题意可得要证原不等式成立，令 x=e+k2，可得原不等式即为 xlnx2x e，即证xe 时，即 xlnx2x+e0，令 g（x）=xlnx 2x+e（xe） ，求出导数，判断单调性，即可得证【解答】解：（1）函数 f（x ）= （x0）的导数为 f（x）= ，令 =0，可得 x=e，当 xe 时，f （x）0；当 0xe 时，f（x）0可得 f（x）的增区间为（0， e） ，减区间为（
36、e，+） ；f（x）的极大值为 f（e ）= ，无极小值；（2）证明：要证原不等式成立，令 x=e+k2，可得原不等式即为 xlnx2xe，即证 xe 时，xlnx2xe ，即 xlnx2x+e0，令 g（x）=xlnx 2x+e（xe） ，可得 g（x）=1+lnx 2=lnx1，当 xe 时，g（x）0，g（ x）递增；即有 g（x）g（e）=elne 2e+e=0，则 xe 时，xlnx 2xe 成立，即有对于任意的非零实数 k，不等式（e+k 2）ln（e+k 2）e+2k 2 恒成立选修 4-1：几何证明选讲22如图所示，PA 为圆 O 的切线，A 为切点，PO 交圆 O 于 B，C
37、 两点，PA=20，PB=10，BAC 的角平分线与 BC 和圆 O 分别交于点 D 和 E（）求证 ABPC=PAAC（）求 ADAE 的值第 20 页（共 23 页）【考点】与圆有关的比例线段【分析】 （1）由已知条件推导出PABPCA ，由此能够证明 ABPC=PAAC（2）由切割线定理求出 PC=40，BC=30，由已知条件条件推导出ACEADB，由此能求出 ADAE 的值【解答】 （1）证明：PA 为圆 O 的切线，PAB=ACP，又P 为公共角，PAB PCA， ，ABPC=PAAC（2）解：PA 为圆 O 的切线，BC 是过点 O 的割线，PA 2=PBPC，PC=40，BC=3
38、0，又CAB=90，AC 2+AB2=BC2=900，又由（1）知 ，AC=12 ， AB=6 ，连接 EC，则CAE= EAB，ACEADB， ， 选修 4-4：坐标系与参数方程选讲 23已知平面直角坐标系 xOy，以 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的参数方程为 （ 为参数） 点 A，B 是曲线 C 上两点，点 A，B 的极坐标分别为（ 1， ） ， （ 2， ） （）写出曲线 C 的普通方程和极坐标方程；（）求|AB|的值【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程【分析】 （）消去参数 ，把曲线 C 的参数方程化为普通方程；第 21 页（共 23 页）由公
39、式 ，把曲线 C 的普通方程化为极坐标方程；（）方法 1：由 A、B 两点的极坐标，得出 ，判定 AB 为直径，求出|AB|；方法 2：把 A、B 化为直角坐标的点的坐标，求出 A、B 两点间距离|AB|【解答】解：（）曲线 C 的参数方程为 ， （ 为参数） ，消去参数 ，化为普通方程是 x2+（y 2） 2=4；由 ， （ 为参数） ，曲线 C 的普通方程 x2+（y 2） 2=4 可化为极坐标 =4sin， （ 为参数） ；（）方法 1：由 是圆 C 上的两点，且知 ，AB 为直径，|AB|=4；方法 2：由两点 A（ 1， ） ，B （ 2， ） ，化为直角坐标中点的坐标是 A（ ，3
40、） ，B（ ，1） ，A、B 两点间距离为|AB|=4选修 4-5：不等式选讲24已知函数 f（x）=|x 2|2xa|，aR （1）当 a=3 时，解不等式 f（ x）0；（2）当 x（，2）时，f（ x）0 恒成立，求 a 的取值范围【考点】绝对值不等式的解法【分析】 （1）依题意知，a=3 时，f（x）= ，通过对 x 范围的分类讨论，解不等式 f（x）0 即可；第 22 页（共 23 页）（2）利用等价转化的思想，通过分离参数 a，可知当 x（，2）时，a3x 2 或 ax+2恒成立，从而可求得 a 的取值范围【解答】解：（1）f（x）= ，当 x2 时，1x0，即 x1 ，解得 x；当 x2 时，53x0，即 x ，解得 x ；当 x 时，x10，即 x1 ，解得 1x ；综上所述，不等式的解集为x|1x （2）当 x（，2）时，f（ x）0 恒成立 2x|2xa| 02x|2xa|恒成立2x2xa 或 2xax2 恒成立x 或 xa 2 恒成立，当 x（，2）时，a3x2 或 ax+2恒成立，解，a 不存在；解 得：a4综上知，a4第 23 页（共 23 页）2016 年 7 月 29 日
