1、1第三节 等比数列及其前 n 项和考纲传真 (教师用书独具)1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系(对应学生用书第 84 页)基础知识填充1等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫作等比数列这个常数叫作等比数列的公比，通常用字母 q 表示，定义的表达式为 q(nN ， q 为非零常数)an 1an(2)等比中项：如果在 a 与 b 中间插入一个数 G，使得 a， G，
2、 b 成等比数列，那么根据等比数列的定义， ， G2 ab， G ，那么 G 叫作 a 与 b 的等比中Ga bG ab项即： G 是 a 与 b 的等比中项 a， G， b 成等比数列 G2 ab.2等比数列的有关公式(1)通项公式： an a1qn1 .(2)前 n 项和公式：SnError!3等比数列的常用性质(1)通项公式的推广： an amqn m(n， mN )(2)若 m n p q2 k(m， n， p， q， kN )，则 aman apaq a ；2k(3)若数列 an， bn(项数相同)是等比数列，则 a n， ， a ， anbn，1an 2n( 0)仍然是等比数列；a
3、nbn(4)在等比数列 an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an， an k， an2 k， an3 k，为等比数列，公比为 qk.基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”)(1)满足 an1 qan(nN ， q 为常数)的数列 an为等比数列( )(2)G 为 a， b 的等比中项 G2 ab.( )(3)若 an为等比数列， bn a2n1 a2n，则数列 bn也是等比数列( )2(4)数列 an的通项公式是 an an，则其前 n 项和为 Sn .( )a(1 an)1 a答案 (1) (2) (3) (4)2已知 an是等比数列， a22，
4、 a5 ，则公比 q( )14A B2 C2 D.12 12D 由通项公式及已知得 a1q2， a1q4 ，14由得 q3 ，解得 q .故选 D.18 123(2017北京高考)若等差数列 an和等比数列 bn满足 a1 b11， a4 b48，则_.a2b21 设等差数列 an的公差为 d，等比数列 bn的公比为 q，则由 a4 a13 d，得 d 3，a4 a13 8 ( 1)3由 b4 b1q3得 q3 8， q2.b4b1 8 1 1.a2b2 a1 db1q 1 3 1( 2)4(教材改编)在 9 与 243 中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为_27,81 设
5、该数列的公比为 q，由题意知，2439 q3， q327， q3.插入的两个数分别为 9327,27381.5(2015全国卷)在数列 an中， a12， an1 2 an， Sn为 an的前 n 项和若Sn126，则 n_.6 a12， an1 2 an，数列 an是首项为 2，公比为 2 的等比数列又 Sn126， 126，解得 n6.2(1 2n)1 2(对应学生用书第 85 页)等比数列的基本运算3(1)在等比数列 an中， a37，前 3 项和 S321，则公比 q 的值为( )A1 B12C1 或 D1 或12 12(2)已知数列 an是递增的等比数列， a1 a49， a2a38
6、，则数列 an的前 n 项和等于_(1)C (2)2 n1 (1)根据已知条件得Error!Error!得 3.1 q q2q2整理得 2q2 q10，解得 q1 或 q .12(2)设等比数列的公比为 q，则有Error!解得Error! 或Error!又 an为递增数列，Error! Sn 2 n1.1 2n1 2规律方法 解决等比数列有关问题的两种常用思想1 方程的思想：等比数列中有五个量 a1， n， q， an， Sn，一般可以“知三求二” ，通过列方程 组 求关键量 a1和 q，问题可迎刃而解.2 分类讨论的思想：等比数列的前 n 项和公式涉及对公比 q 的分类讨论，当 q1 时，
7、an的前 n 项和 Sn na1；当 q1 时， an的前 n 项和 Sn .a1（ 1 qn）1 q a1 anq1 q跟踪训练 (1)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？” 意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯 ( )A1 盏 B3 盏C5 盏 D9 盏(2)(2018广州综合测试(二)在各项都为正数的等比数列 an中，已知 a12， a4 a 4 a ，则数列 an的通项公式 an_. 2n 2 2n 2n 1【导学号：79140176】(3)(20
8、17洛阳统考)设等比数列 an的前 n 项和为 Sn，若 a18 a40，则 ( )S4S3A B53 1574C. D56 1514(1)B (2)2 (3)C (1)设塔的顶层的灯数为 a1，七层塔的总灯数为 S7，公比为 q，则由题意知 S7381， q2，所以 S7 381，解得 a13.a1(1 q7)1 q a1(1 27)1 2故选 B.(2)设数列 an的公比为 q(q0)，由 a 4 a 4 a ， an0，得( anq2)24 a2n 2 2n 2n 14( anq)2，整理得 q44 q240，解得 q 或 q (舍去)，所以 an222n 2 22 .(3)在等比数列
9、an中，因为 a18 a40，所以 q ，所以 12 S4S3a1(1 q4)1 qa1(1 q3)1 q .1 ( 12)41 ( 12)3151698 56等比数列的判定与证明(2016全国卷)已知数列 an的前 n 项和 Sn1 a n，其中 0.(1)证明 an是等比数列，并求其通项公式；(2)若 S5 ，求 .3132解 (1)证明：由题意得 a1 S11 a 1，故 1， a1 ，故 a10.11 由 Sn1 a n， Sn1 1 a n1 得 an1 a n1 a n，即 an1 ( 1) a n.由 a10， 0 得 an0，所以 .an 1an 1因此 an是首项为 ，公比为
10、 的等比数列，11 1于是 an .11 ( 1)n 1 5(2)由(1)得 Sn1 .( 1)n 由 S5 得 1 ，即 .3132 ( 1)5 3132 ( 1)5 132解得 1.规律方法 等比数列的三种常用判定方法1 定义法：若 q q 为非零常数， nN ，则 an是等比数列.an 1an2 等比中项法：若数列 an中， an0，且 a anan2 nN ，则数列 an是2n 1等比数列.3 通项公式法：若数列通项公式可写成 an cqn c， q 均是不为 0 的常数，nN ，则 an是等比数列.易错警示：1 前两种方法是证明等比数列的常用方法，后者常用于选择题、填空题中的判定.2
11、 若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可.跟踪训练 设数列 an的前 n 项和为 Sn，已知 a11， Sn1 4 an2.(1)设 bn an1 2 an，证明：数列 bn是等比数列；(2)求数列 an的通项公式解 (1)证明：由 a11 及 Sn1 4 an2，有 a1 a2 S24 a12. a25， b1 a22 a13.又Error!，得 an1 4 an4 an1 (n2)， an1 2 an2( an2 an1 )(n2) bn an1 2 an， bn2 bn1 (n2)，故 bn是首项 b13，公比为 2 的等比数列(2)由(1)知 bn an1
12、 2 an32 n1 ， ，an 12n 1 an2n 34故 是首项为 ，公差为 的等差数列an2n 12 34 ( n1) ，an2n 12 34 3n 14故 an(3 n1)2 n2 .6等比数列的性质及应用(1)已知各项不为 0 的等差数列 an满足 a6 a a80，数列 bn是等比数列，且27b7 a7，则 b2b8b11( )A1 B2C4 D8(2)已知 an为各项都是正数的等比数列， Sn为其前 n 项和，且 S1010， S3070，那么 S40( )【导学号：79140177】A150 B200C150 或200 D400 或50(1)D (2)A (1)由等差数列的性
13、质，得 a6 a82 a7.由 a6 a a80，可得27a72，所以 b7 a72.由等比数列的性质得 b2b8b11 b2b7b12 b 2 38.37(2)依题意， S10， S20 S10， S30 S20， S40 S30成等比数列，因此( S20 S10)2 S10(S30 S20)，即( S2010) 210(70 S20)，故 S2020 或 S2030.又 S200，因此 S2030， S20 S1020，所以S40 S30 S10 80， S40 S30( S40 S30)7080150.(S20 S10S10 )3 规律方法 1.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含
14、条件，利用性质，特别是性质“若 m n p q，则 aman apaq”，可以减少运算量，提高解题速度.2.等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形；二是等比中项的变形，三是前 n项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.跟踪训练 (1)(2018海口调研)在各项均为正数的等比数列 an中，若amam2 2 am1 (mN )，数列 an的前 n 项积为 Tn，且 T2m1 128，则 m 的值为( )A3 B4C5 D6(2)(2018合肥二检)等比数列 an满足 an0，且 a2a84，则log2a1log 2a2log 2a3log 2a9_.(1)A (2)9 (1)因为 amam2 2 am1 ，所以 a 2 am1 ，即 am1 2，即 an2m 1为常数列又 T2m1 ( am1 )2m1 ，由 22m1 128，得 m3，故选 A.(2)由题意可得 a2a8 a 4， a50，所以 a52，则原式log 2(a1a2a9)259log 2a59.
