1、1第八节 解三角形实际应用举例考纲传真 (教师用书独具)能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题(对应学生用书第 64 页)基础知识填充1仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角(如图 381(1)(1) (2)图 3812方位角和方向角(1)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为 (如图 381(2)(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东 30等3坡度坡面与水平面所成二面角的正切值基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错
2、误的打“”)(1)从 A 处望 B 处的仰角为 ，从 B 处望 A 处的俯角为 ，则 ， 的关系为 180.( )(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为 .( )0， 2(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系( )(4)方位角大小的范围是0,2)，方向角大小的范围一般是 .( )0， 2)答案 (1) (2) (3) (4)2(教材改编)海面上有 A， B， C 三个灯塔， AB10 n mile，从 A 望 C 和 B 成 60视角，从 B 望 C 和 A 成 75视角，则 BC 等于( )A10 n mile B n mile310632C5 n mi
3、le D5 n mile2 6D 如图，在 ABC 中，AB10， A60， B75， C45， ，BCsin 60 10sin 45 BC5 .63若点 A 在点 C 的北偏东 30，点 B 在点 C 的南偏东 60，且 AC BC，则点 A 在点 B 的( )A北偏东 15 B北偏西 15C北偏东 10 D北偏西 10B 如图所示， ACB90，又 AC BC， CBA45，而 30， 90453015，点 A 在点 B 的北偏西 15.4如图 382，已知 A， B 两点分别在河的两岸，某测量者在点 A 所在的河岸边另选定一点 C，测得 AC50 m， ACB45， CAB105，则 A
4、， B 两点的距离为( )图 382A50 m3B25 m3C25 m2D50 m23D 因为 ACB45， CAB105，所以 B30.由正弦定理可知 ，即 ，解得 AB50 mACsin B ABsin C 50sin 30 ABsin 45 25轮船 A 和轮船 B 在中午 12 时同时离开海港 C，两船航行方向的夹角为 120，两船的航行速度分别为 25 n mile/h,15 n mile/h，则下午 2 时两船之间的距离是_ n mile.70 设两船之间的距离为 d，则 d250 230 225030cos 1204 900，所以 d70，即两船相距 70 n mile.(对应学
5、生用书第 64 页)测量距离问题如图 383，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B， C 的俯角分别为 67，30，此时气球的高是 46 m，则河流的宽度 BC 约等于_m (用四舍五入法将结果精确到个位参考数据：sin 670.92，cos 670.39 ，sin 370.60，cos 370.80， 1.73) 3【导学号：79140136】图 38360 如图所示，过 A 作 AD CB 且交 CB 的延长线于 D在 Rt ADC 中，由 AD46 m， ACB30得 AC92 m.在 ABC 中， BAC673037， ABC18067113， AC92 m，由正弦定理 ，得ACs
6、in ABC BCsin BAC ，即 ，92sin 113 BCsin 37 92sin 67 BCsin 374解得 BC 60(m)92sin 37sin 67规律方法 求解距离问题的一般步骤1 画出示意图，将实际问题转化成三角形问题；2 明确所求的距离在哪个三角形中，有几个已知元素；3 使用正弦定理、余弦定理解三角形 对于解答题，应作答.跟踪训练 如图 384 所示，要测量一水塘两侧 A， B 两点间的距离，其方法先选定适当的位置 C，用经纬仪测出角 ，再分别测出 AC， BC 的长 b， a，则可求出 A， B 两点间的距离，即 AB .若测得 CA400 m， CB600 m， A
7、CB60，a2 b2 2abcos 试计算 AB 的长图 384解 在 ABC 中，由余弦定理得AB2 AC2 BC22 ACBCcos ACB， AB2400 2600 22400600cos 60280 000， AB200 (m)，即 A， B 两点间的距离为 200 m.7 7测量高度问题如图 385，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30的方向上，行驶 600 m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北 75的方向上，仰角为 30，则此山的高度 CD_m.图 385100 由题意，在 ABC 中， BAC30， ABC18075105，故
8、6 ACB45.又 AB600 m，故由正弦定理得 ，600sin 45 BCsin 30解得 BC300 m.25在 Rt BCD 中， CD BCtan 30300 233100 (m)6规律方法 解决高度问题的注意事项1 在测量高度时，要准确理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角.2 在实际问题中，可能会遇到空间与平面 地面 同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错.3 注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题.跟踪训练 如图 386，从某电视塔 CO 的正东方向的 A 处，测得塔顶的仰角
9、为 60，在电视塔的南偏西 60的 B 处测得塔顶的仰角为 45， AB 间的距离为 35 米，则这个电视塔的高度为_米图 3865 如图，21可知 CAO60， AOB150， OBC45， AB35 米设 OC x 米，则 OA x 米， OB x 米33在 ABO 中，由余弦定理，得 AB2 OA2 OB22 OAOBcos AOB，即 352 x2 x2cos 150，x23 233整理得 x5 ，21所以此电视塔的高度是 5 米21测量角度问题6某渔船在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在 A 处获悉后，立即测出该渔船在方位角为 45，距离 A 为 10 海里的 C 处，并测得
10、渔船正沿方位角为 105的方向，以 10 海里/时的速度向小岛 B 靠拢，我海军舰艇立即以 10 海里/时的速度前去营3救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间解 如图所示，设所需时间为 t 小时，则 AB10 t， CB10 t，3在 ABC 中，根据余弦定理，则有 AB2 AC2 BC22 ACBCcos 120，可得(10 t)210 2(10 t)221010 tcos 120.3整理得 2t2 t10，解得 t1 或 t (舍去)，12舰艇需 1 小时靠近渔船，此时 AB10 ， BC10.3在 ABC 中，由正弦定理得 ，BCsin CAB ABsin 120sin CAB .BCsi
11、n 120AB 1032103 12 CAB30.所以舰艇航向为北偏东 75.规律方法 解决测量角度问题的注意事项1 应明确方位角或方向角的含义.2 分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步.3 将实际问题转化为解三角形的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用.跟踪训练 如图 387，位于 A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距 40 海里的 B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西 30、相距 20海里的 C 处的乙船，现乙船朝北偏东 的方向沿直线 CB 前往 B 处救援，求 cos 的值. 【导学号：79140137】7图 387解 在 ABC 中， AB40， AC20， BAC120，由余弦定理得，BC2 AB2 AC22 ABACcos 1202 800 BC20 .7由正弦定理，得 sin ACB sin BAC .ABsin ACB BCsin BAC ABBC 217由 BAC120，知 ACB 为锐角，则 cos ACB .277由 ACB30，得 cos cos( ACB30)cos ACB cos 30sin ACB sin 30 .2114
