1、1第 2 课时 导数与函数的极值、最值(对应学生用书第 38 页)利用导数解决函数的极值问题角度 1 根据函数图像判断函数极值的情况设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f( x)，且函数 y(1 x)f( x)的图像如图 2113 所示，则下列结论中一定成立的是( )图 2113A函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1)B函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1)C函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(2)D函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(2)D 由题图可知，当 x2 时， f( x)0；当2 x1 时， f( x)0；当1 x2 时， f( x
2、)0；当 x2 时， f( x)0.由此可以得到函数 f(x)在 x2 处取得极大值，在 x2 处取得极小值角度 2 求已知函数的极值(2017 全国卷)若 x2 是函数 f(x)( x2 ax1)e x1 的极值点，则 f(x)的极小值为( )A1 B2e 3C5e 3 D1A 函数 f(x)( x2 ax1)e x1 ，则 f( x)(2 x a)ex1 ( x2 ax1)e x1e x1 x2( a2) x a1由 x2 是函数 f(x)的极值点得f(2)e 3 (42 a4 a1)( a1)e 3 0，所以 a1.所以 f(x)( x2 x1)e x1 ， f( x)e x1 (x2
3、x2)由 ex1 0 恒成立，得 x2 或 x1 时， f( x)0，且 x0；21 时， f( x)0.所以 x1 是函数 f(x)的极小值点所以函数 f(x)的极小值为 f(1)1.故选 A角度 3 已知函数极值求参数的值或范围(1)已知 f(x) x33 ax2 bx a2在 x1 时有极值 0，则 a b_.(2)(2018湖北调考)已知函数 f(x) x24 x3ln x 在( t， t1)上存在极值12点，则实数 t 的取值范围为_(1)7 (2)(0,1)(2,3) (1)由题意得 f( x)3 x26 ax b，则Error!解得Error! 或Error!经检验当 a1， b
4、3 时，函数 f(x)在 x1 处无法取得极值，而 a2， b9 满足题意，故 a b7.(2)由题意得 f( x) x4 (x0)由3x x2 4x 3x (x 3)(x 1)xf( x)0 得 x1 或 x3，所以要使函数 f(x)在( t， t1)上存在极值点，则t1 t1 或 t3 t1，即 0 t1 或 2 t3，所以实数 t 的取值范围为(0,1)(2,3)规律方法 1.利用导数研究函数极值问题的一般流程2已知函数极值点和极值求参数的两个要领(1)列式：根据极值点处导数为 0 和极值列方程组，利用待定系数法求解(2)验证：因为一点处的导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用
5、待定系数法求解后必须验证根的合理性跟踪训练 (1)已知函数 f(x) x3 ax2 bx a27 a 在 x1 处取得极大值 10，则 的值ab为( )【导学号：79140081】3A B223C2 或 D不存在23(2)函数 y2 x 的极大值是_1x2(1)C (2)3 (1) f(x) x3 ax2 bx a27 a， f( x)3 x22 ax b，由题意知 f(1)32 a b0， b32 a，又 f(1)1 a b a27 a10，将代入整理得 a28 a120，解得 a2 或 a6.当 a2 时， b1；当 a6时， b9. 2 或 ，故选 Cab ab 23(2)y2 ，令 y
6、0，得 x1.2x3当 x1 时， y0；当1 x0 时， y0；当 x0 时， y0，所以当 x1 时， y 取极大值3.利用导数解决函数的最值问题(2017北京高考)已知函数 f(x)e xcos x x.(1)求曲线 y f(x)在点(0， f(0)处的切线方程；(2)求函数 f(x)在区间 上的最大值和最小值0， 2解 (1)因为 f(x)e xcos x x，所以 f( x)e x(cos xsin x)1， f(0)0.又因为 f(0)1，所以曲线 y f(x)在点(0， f(0)处的切线方程为 y1.(2)设 h(x)e x(cos xsin x)1，则 h( x)e x(cos
7、 xsin xsin xcos x)2e xsin x.当 x 时， h( x)0，(0， 2)所以 h(x)在区间 上单调递减0， 2所以对任意 x 有 h(x)h(0)0，即 f( x)0.(0， 2所以函数 f(x)在区间 上单调递减0， 24因此 f(x)在区间 上的最大值为 f(0)1，最小值为 f .0， 2 ( 2) 2规律方法 求函数 f x 在 a， b上的最大值、最小值的步骤1 求函数在 a， b 内的极值.2 求函数在区间端点的函数值 f a ， f b.3 将函数 f x 的极值与 f a ， f b 比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值.跟踪训练 设函数 f(x)
8、 aln x bx2(x0)，若函数 f(x)在 x1 处与直线 y 相12切(1)求实数 a， b 的值；(2)求函数 f(x)在 上的最大值1e， e解 (1) f( x) 2 bx，ax因为函数 f(x)在 x1 处与直线 y 相切，12所以Error! 解得Error!(2)由(1)知， f(x)ln x x2， f( x) x ，12 1x 1 x2x因为当 xe 时，令 f( x)0，得 x1；1e 1e令 f( x)0，得 1 xe，所以 f(x)在 上单调递增，在(1，e上单调递减，1e， 1)所以 f(x)max f(1) .12函数极值与最值的综合问题已知常数 a0， f(
9、x) aln x2 x.(1)当 a4 时，求 f(x)的极值；(2)当 f(x)的最小值不小于 a 时，求实数 a 的取值范围. 【导学号：79140082】解 (1)由已知得 f(x)的定义域为(0，)， f( x) 2 .ax a 2xx5当 a4 时， f( x) .2x 4x所以当 0 x2 时， f( x)0，即 f(x)单调递减；当 x2 时， f( x)0，即 f(x)单调递增所以 f(x)只有极小值，且在 x2 时， f(x)取得极小值 f(2)44ln 2.所以当 a4 时， f(x)只有极小值 44ln 2.(2)因为 f( x) ，a 2xx所以当 a0， x(0，)时
10、， f( x)0，即 f(x)在 x(0，)上单调递增，没有最小值；当 a0 时，由 f( x)0 得， x ，所以 f(x)在 上单调递增；a2 ( a2， )由 f( x)0 得， x ，所以 f(x)在 上单调递减a2 (0， a2)所以当 a0 时， f(x)的最小值为 f(a2) aln 2 .(a2) ( a2)根据题意得 f aln 2 a，(a2) ( a2) ( a2)即 aln( a)ln 20.因为 a0，所以 ln( a)ln 20，解得 a2，所以实数 a 的取值范围是2,0)规律方法 解决函数极值、最值问题的策略1 求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数
11、的大小.2 求函数最值时，不可想当然地认为极值就是最值，要通过比较才能下结论，即函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值.跟踪训练 已知函数 f(x)Error!(1)求 f(x)在区间(，1)上的极小值和极大值点；(2)求 f(x)在区间1，e(e 为自然对数的底数)上的最大值解 (1)当 x1 时， f( x)3 x22 x x(3x2)，令 f( x)0，解得x0 或 x ，23当 x 变化时， f( x)， f(x)的变化情况如下表：x (，0) 0 (0， 23) 23 (23， 1)6f( x) 0 0 f(x) 极小值 极大值 所以当 x0 时，函数 f(x)取得极小值 f(0)0，函数 f(x)的极大值点为 x .23(2)当1 x1 时，由(1)知，函数 f(x)在1,0)和 上单调递减，在(23， 1)上单调递增(0，23)因为 f(1)2， f ， f(0)0，所以 f(x)在1,1)上的最大值为 2.(23) 427当 1 xe 时， f(x) aln x，当 a0 时， f(x)0；当 a0 时， f(x)在1，e上单调递增所以 f(x)在1，e上的最大值为 f(e) a.所以当 a2 时， f(x)在1，e上的最大值为 a；当 a2 时， f(x)在1，e上的最大值为 2.
