1、P01: 01背包问题题目有 N件物品和一个容量为 V的背包。第 i件物品的费用是 ci，价值是 wi。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。基本思路这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。用子问题定义状态：即 fiv表示前 i件物品恰放入一个容量为 v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是：fiv=maxfi-1v,fi-1v-ci+wi这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它详细解释一下：“将前 i件物品放入容量为 v的背包中”这个子问题，若只考虑第 i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前 i
2、-1件物品的问题。如果不放第 i件物品，那么问题就转化为“前 i-1件物品放入容量为 v的背包中”，价值为 fi-1v；如果放第 i件物品，那么问题就转化为“前 i-1件物品放入剩下的容量为 v-ci的背包中”，此时能获得的最大价值就是 fi-1v-ci再加上通过放入第 i件物品获得的价值wi。优化空间复杂度以上方法的时间和空间复杂度均为 O(N*V)，其中时间复杂度基本已经不能再优化了，但空间复杂度却可以优化到 O(V)。先考虑上面讲的基本思路如何实现，肯定是有一个主循环 i=1N，每次算出来二维数组 fi0V的所有值。那么，如果只用一个数组 f0V，能不能保证第 i次循环结束后 fv中表示
3、的就是我们定义的状态 fiv呢？fiv是由 fi-1v和 fi-1v-ci两个子问题递推而来，能否保证在推 fiv时（也即在第 i次主循环中推 fv时）能够得到 fi-1v和 fi-1v-ci的值呢？事实上，这要求在每次主循环中我们以 v=V0的顺序推 fv，这样才能保证推 fv时 fv-ci保存的是状态 fi-1v-ci的值。伪代码如下：for i=1Nfor v=V0fv=maxfv,fv-ci+wi;其中的 fv=maxfv,fv-ci一句恰就相当于我们的转移方程 fiv=maxfi-1v,fi-1v-ci，因为现在的 fv-ci就相当于原来的fi-1v-ci。如果将 v的循环顺序从上面
4、的逆序改成顺序的话，那么则成了 fiv由 fiv-ci推知，与本题意不符，但它却是另一个重要的背包问题 P02最简捷的解决方案，故学习只用一维数组解 01背包问题是十分必要的。事实上，使用一维数组解 01背包的程序在后面会被多次用到，所以这里抽象出一个处理一件 01背包中的物品过程，以后的代码中直接调用不加说明。过程 ZeroOnePack，表示处理一件 01背包中的物品，两个参数 cost、weight分别表明这件物品的费用和价值。procedure ZeroOnePack(cost,weight)for v=Vcostfv=maxfv,fv-cost+weight注意这个过程里的处理与前面
5、给出的伪代码有所不同。前面的示例程序写成v=V0是为了在程序中体现每个状态都按照方程求解了，避免不必要的思维复杂度。而这里既然已经抽象成看作黑箱的过程了，就可以加入优化。费用为cost的物品不会影响状态 f0cost-1，这是显然的。有了这个过程以后，01 背包问题的伪代码就可以这样写：for i=1NZeroOnePack(ci,wi);初始化的细节问题我们看到的求最优解的背包问题题目中，事实上有两种不太相同的问法。有的题目要求“恰好装满背包”时的最优解，有的题目则并没有要求必须把背包装满。一种区别这两种问法的实现方法是在初始化的时候有所不同。如果是第一种问法，要求恰好装满背包，那么在初始化
6、时除了 f0为 0其它f1V均设为-，这样就可以保证最终得到的 fN是一种恰好装满背包的最优解。如果并没有要求必须把背包装满，而是只希望价格尽量大，初始化时应该将f0V全部设为 0。为什么呢？可以这样理解：初始化的 f数组事实上就是在没有任何物品可以放入背包时的合法状态。如果要求背包恰好装满，那么此时只有容量为 0的背包可能被价值为 0的 nothing“恰好装满”，其它容量的背包均没有合法的解，属于未定义的状态，它们的值就都应该是-了。如果背包并非必须被装满，那么任何容量的背包都有一个合法解“什么都不装”，这个解的价值为 0，所以初始时状态的值也就全部为 0了。这个小技巧完全可以推广到其它类
7、型的背包问题，后面也就不再对进行状态转移之前的初始化进行讲解。小结01背包问题是最基本的背包问题，它包含了背包问题中设计状态、方程的最基本思想，另外，别的类型的背包问题往往也可以转换成 01背包问题求解。故一定要仔细体会上面基本思路的得出方法，状态转移方程的意义，以及最后怎样优化的空间复杂度。首页P02: 完全背包问题题目有 N种物品和一个容量为 V的背包，每种物品都有无限件可用。第 i种物品的费用是 ci，价值是 wi。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。基本思路这个问题非常类似于 01背包问题，所不同的是每种物品有无限件。也就是从每种物品的角度考虑，
8、与它相关的策略已并非取或不取两种，而是有取 0件、取1件、取 2件等很多种。如果仍然按照解 01背包时的思路，令 fiv表示前 i种物品恰放入一个容量为 v的背包的最大权值。仍然可以按照每种物品不同的策略写出状态转移方程，像这样：fiv=maxfi-1v-k*ci+k*wi|0=wj，则将物品 j去掉，不用考虑。这个优化的正确性显然：任何情况下都可将价值小费用高得 j换成物美价廉的 i，得到至少不会更差的方案。对于随机生成的数据，这个方法往往会大大减少物品的件数，从而加快速度。然而这个并不能改善最坏情况的复杂度，因为有可能特别设计的数据可以一件物品也去不掉。这个优化可以简单的 O(N2)地实现
9、，一般都可以承受。另外，针对背包问题而言，比较不错的一种方法是：首先将费用大于 V的物品去掉，然后使用类似计数排序的做法，计算出费用相同的物品中价值最高的是哪个，可以 O(V+N)地完成这个优化。这个不太重要的过程就不给出伪代码了，希望你能独立思考写出伪代码或程序。转化为 01背包问题求解既然 01背包问题是最基本的背包问题，那么我们可以考虑把完全背包问题转化为 01背包问题来解。最简单的想法是，考虑到第 i种物品最多选 V/ci件，于是可以把第 i种物品转化为 V/ci件费用及价值均不变的物品，然后求解这个 01背包问题。这样完全没有改进基本思路的时间复杂度，但这毕竟给了我们将完全背包问题转
10、化为 01背包问题的思路：将一种物品拆成多件物品。更高效的转化方法是：把第 i种物品拆成费用为 ci*2k、价值为 wi*2k的若干件物品，其中 k满足 ci*2k0的最大整数。例如，如果 ni为 13，就将这种物品分成系数分别为 1,2,4,6的四件物品。分成的这几件物品的系数和为 ni，表明不可能取多于 ni件的第 i种物品。另外这种方法也能保证对于 0ni间的每一个整数，均可以用若干个系数的和表示，这个证明可以分 02k-1和 2kni两段来分别讨论得出，并不难，希望你自己思考尝试一下。这样就将第 i种物品分成了 O(log ni)种物品，将原问题转化为了复杂度为O(V*log ni)的
11、 01背包问题，是很大的改进。下面给出 O(log amount)时间处理一件多重背包中物品的过程，其中 amount表示物品的数量：procedure MultiplePack(cost,weight,amount)if cost*amount=VCompletePack(cost,weight)returninteger k=1while k0)if(giv=0)print “未选第 i项物品“else if(giv=1)print “选了第 i项物品“v=v-ci另外，采用方程的前一项或后一项也可以在输出方案的过程中根据 fiv的值实时地求出来，也即不须纪录 g数组，将上述代码中的 gi
12、v=0改成 fiv=fi-1v，giv=1 改成 fiv=fi-1v-ci+wi也可。输出字典序最小的最优方案这里“字典序最小”的意思是 1N号物品的选择方案排列出来以后字典序最小。以输出 01背包最小字典序的方案为例。一般而言，求一个字典序最小的最优方案，只需要在转移时注意策略。首先，子问题的定义要略改一些。我们注意到，如果存在一个选了物品 1的最优方案，那么答案一定包含物品 1，原问题转化为一个背包容量为 v-c1，物品为 2N的子问题。反之，如果答案不包含物品 1，则转化成背包容量仍为 V，物品为2N的子问题。不管答案怎样，子问题的物品都是以 iN而非前所述的 1i的形式来定义的，所以状
13、态的定义和转移方程都需要改一下。但也许更简易的方法是先把物品逆序排列一下，以下按物品已被逆序排列来叙述。在这种情况下，可以按照前面经典的状态转移方程来求值，只是输出方案的时候要注意：从 N到 1输入时，如果 fiv=fi-v及 fiv=fi-1f-ci+wi同时成立，应该按照后者（即选择了物品 i）来输出方案。求方案总数对于一个给定了背包容量、物品费用、物品间相互关系（分组、依赖等）的背包问题，除了再给定每个物品的价值后求可得到的最大价值外，还可以得到装满背包或将背包装至某一指定容量的方案总数。对于这类改变问法的问题，一般只需将状态转移方程中的 max改成 sum即可。例如若每件物品均是完全背
14、包中的物品，转移方程即为fiv=sumfi-1v,fiv-ci初始条件 f00=1。事实上，这样做可行的原因在于状态转移方程已经考察了所有可能的背包组成方案。最优方案的总数这里的最优方案是指物品总价值最大的方案。以 01背包为例。结合求最大总价值和方案总数两个问题的思路，最优方案的总数可以这样求：fiv意义同前述，giv表示这个子问题的最优方案的总数，则在求 fiv的同时求 giv的伪代码如下：for i=1Nfor v=0Vfiv=maxfi-1v,fi-1v-ci+wigiv=0if(fiv=fi-1v)inc(giv,gi-1vif(fiv=fi-1v-ci+wi)inc(giv,gi-
15、1v-ci)如果你是第一次看到这样的问题，请仔细体会上面的伪代码。求次优解、第 K优解对于求次优解、第 K优解类的问题，如果相应的最优解问题能写出状态转移方程、用动态规划解决，那么求次优解往往可以相同的复杂度解决，第 K优解则比求最优解的复杂度上多一个系数 K。其基本思想是将每个状态都表示成有序队列，将状态转移方程中的 max/min转化成有序队列的合并。这里仍然以 01背包为例讲解一下。首先看 01背包求最优解的状态转移方程：fiv=maxfi-1v,fi-1v-ci+wi。如果要求第 K优解，那么状态 fiv就应该是一个大小为 K的数组 fiv1K。其中 fivk表示前 i个物品、背包大小
16、为 v时，第k优解的值。“fiv是一个大小为 K的数组”这一句，熟悉 C语言的同学可能比较好理解，或者也可以简单地理解为在原来的方程中加了一维。显然 fiv1K这 K个数是由大到小排列的，所以我们把它认为是一个有序队列。然后原方程就可以解释为：fiv这个有序队列是由 fi-1v和 fi-1v-ci+wi这两个有序队列合并得到的。有序队列 fi-1v即 fi-1v1K，fi-1v-ci+wi则理解为在 fi-1v-ci1K的每个数上加上 wi后得到的有序队列。合并这两个有序队列并将结果（的前 K项）储存到 fiv1K中的复杂度是 O(K)。最后的答案是 fNVK。总的复杂度是 O(NVK)。为什
17、么这个方法正确呢？实际上，一个正确的状态转移方程的求解过程遍历了所有可用的策略，也就覆盖了问题的所有方案。只不过由于是求最优解，所以其它在任何一个策略上达不到最优的方案都被忽略了。如果把每个状态表示成一个大小为 K的数组，并在这个数组中有序的保存该状态可取到的前 K个最优值。那么，对于任两个状态的 max运算等价于两个由大到小的有序队列的合并。另外还要注意题目对于“第 K优解”的定义，将策略不同但权值相同的两个方案是看作同一个解还是不同的解。如果是前者，则维护有序队列时要保证队列里的数没有重复的。小结显然，这里不可能穷尽背包类动态规划问题所有的问法。甚至还存在一类将背包类动态规划问题与其它领域（例如数论、图论）结合起来的问题，在这篇论背包问题的专文中也不会论及。但只要深刻领会前述所有类别的背包问题的思路和状态转移方程，遇到其它的变形问法，只要题目难度还属于 NOIP，应该也不难想出算法。触类旁通、举一反三，应该也是一个 OIer应有的品质吧。
