1、直角三角形斜边上的中线的应用知识储备：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.根据这个性质可知，直角三角形被分割成两个顶角互补、底角互余的等腰三角形.灵活运用此性质在解答一些与中点或中线有关的问题时，常能收到事半功倍之效.例 1 如图 1，已知ABC 中，ACB=90，OA =OC,求证：OB=OC OCA B基本结论：若 OA=OB，则 OA=OB=OC, 若 OA=OC，则 OB=OC，若 OB=OC，则 OA=OC.例 2（1）如图 1，已知ABC 和ABD 中 ， ACB =ADB=90，点 O 是 AB 的中点，求证：OC=OD（2）在上述条件下，如图 2， （1）中结论还成立吗？为什
2、么？ OCA BDOCA BD基本结论：若 OA=OB，则 OA=OB=OC=OD例 3 如图，DBC=BCE=90，M 为 DE 的中点，求证：MB=MC CMDBE例 4 如图,在ABC 中，AB= AC，ABC=90 ，点 E，F 分别在 AB，AC 上，且 AE=EF，点 O，M 分别为 AF，CE 的中点，求证：（1）OM= CE；（2 ）OB= OM12OFMABCE例 5 如图，ABC 中，AB =AC，ABD=CBD. DEBD,DE 交 BC 于 E.求证：CD= BE.12EDCAB例 6 如图，在ABC 中，BDAC 于 D,CEAB 于 E,点 M,N 分别是 BC，D
3、E 的中点，（1）求证：MNDE；（2）连 ME，MD，若A= 60，求 的值.DNDEMAB C例 7 BCD 和BCE 中，BD C=BEC=90 ，O 为 BC 的中点，BD，CE 交于 A，（1）如图 1，若BAC=120，求证：DE=OE. （2）如图 2，若BAC=135，求证：DE = OE.2（3 ）若BAC=，则EOD 的度数为 .（用 表示）DEOAB CODEACB图 1 图 2图 1 图 2构造三角形中位线知识储备：三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.这个定理的特点是：同一题设下，有两个结论，一个结论表明位置关系，另一个结论表明数
4、量关系.应用这一定理时，不一定同时用到两个结论，有时用到平行关系，有时用到倍分关系.常用构造三角形中位线的方法处理中点问题.题型一 利用角平分线和垂直构造中位线例 1 如图，在ABC 中，AB=BC，ABC =90，F 为 BC 上一点，M 为 AF 的中点，BE 平分ABC，且EFBE，求证：CF=2 ME. EMABCF题型二 倍长构造三角形中位线例 2 如图，在ABC 中，ABC=90，BA=BC ，BEF 为等腰直角三角形，BEF=90，M 为 AF 的中点，求证：ME= CF1 EMABCF题型三 取中点构造三角形中位线例 3 如图，在ABC 中，C=90，CA= CB，E，F 分别
5、为 CA，CB 上的一点，CE =CF，M，N 分别为AF，BE 的中点，求证：AE= MN.2 NEMFBCA题型四 连接两点构造三角形中位线例 4 如图，在ABC 中，B=2 A ，CD AB 于 D, 点 E，F 分别为 AB，BC 的中点.求证：DE=DF EDFCB A例 5 已知ACB=BCD= 90，AC=BC ，CD=CE .（1）如图 1，AE 与 BD 的大小关系为 ，位置关系为 .（2）如图 2，点 P，M,N 分别为 AB，AD，BE 的中点，试探究： PM 与 PN 之间的数量关系和位置关系；（3）将图 2 中的CDE 绕点 C 旋转至如图 3 所示的位置，其余条件不变，则 MN 与 PN 的数量关系为 .ECDABMPNCABEDMPNCEABD图 1 图 3图 2例 7 如图，在ABC 中，B=2 C ， ADBC 于 D，M 是 BC 的中点.求证：AB=2DM.DMAB C例 5 如图，在 RtABC 中，C=90.AD BC，ABE=2CBE.求证：DE=2AB.（提示：取 DE 的中点 F，连接 AF）FEC DBA
