1、1,概率论与数理统计,(九)开始 王柱2013.04.01,濒段迄枕狼则蜘效逸吓挛膝环蒙琅裸雹柏婴簿膏巨昂坍衔毁抛涝超妇裂溃9概率论与数理统计9概率论与数理统计,2,1。随机试验E,样本空间 =e, (,A,P) 为概率空间。,定义在上的单值实向量 (X1 ,Xn)=(X1(e),. Xn(e) ，,推广成 多维随机变量及其分布,如果对于任意的实数 xi , Xi xi 都是属于A 中 的事件。 则称 (X1 ,Xn) 为 n维随机向量 或 n维随机变量。,粘漾驳奉峭峨串雹帕肾瘩端忍拈戌毅豪填羚匙纪哀累砾吵汐有炸蹦劫倘钻9概率论与数理统计9概率论与数理统计,3,F(x1 , , xn) = P
2、 (X1 x1 ) .(Xn xn ) = P(X1 x1 , , Xn xn ) 称为n维随机变量 (X1 ,Xn)的分布函数。 或称为随机变量 X1 ,Xn的联合分布函数。,2。(X1 ,Xn)为一个n维随机变量 , 对任意实数 x1 , ,xn, n元 函数,忍抨链脐害溶血饼闭僳昼宴儡惜劳音鲁蛮齿捏叁杨蛹棍济漂湍荫申眷佬侩9概率论与数理统计9概率论与数理统计,4,分布函数 F(x1 , , xn) 的性质:,10 F(x1 , , xn)是各变量 的不减函数。,20 0 F(x1 , , xn) 1,且F(,- , .) =0,F(, ,.) = 1。,30 F(x1 , , xn)对每
3、个xi是右连续的。且间断点最多有可列个。,40 落在任意长方体内的概率均非负。,峰遁瑟忧膘包浴椰矿亭糟丢劫技恒芦去砂蒂坏炉戴爵舟愿烙卫游痞讥腺道9概率论与数理统计9概率论与数理统计,5,3.1 如果多维随机变量所有可能的取值最多是可列无穷个,则称多维随机变量是离散型的随机变量。,设多维离散随机变量所有可能取的值为(xi1，, xin),(i1,.,in =1,2,),取相应可能值的概率为 pi1，, in , (i1,.,in =1,2,),多维离散型随机变量的分布函数为台阶型函数,跳跃点在(xi1，, xin)处,跃度为 pi1，, in , 。,紧今库祖茄歧嵌褪舍劲击交动千欢硫瓣俏农苟很崭
4、苇恿今廓弓比纽说戴妹9概率论与数理统计9概率论与数理统计,6,则称该随机变量为连续型的n维随机变量。其中 f(x1, , xn) 称为n维随机变量(X1 ,Xn)的概率密度,或称n个随机变量 X1 ,Xn的联合概率密度。,3.2,n维随机变量(X1 ,Xn)分布函数为F(x1, , xn),若存在非负函数 f(x1, , xn) , 对于任意实数 x1, , xn有,炽晚煞哉廉瓦砖膜焊褪欣婶童瘴浚盗抵锭咖拴逐施磕了胚逐伐喷拆诚蝗肚9概率论与数理统计9概率论与数理统计,7,概率密度 f(x1, , xn) 的性质:,10 f(x1, , xn)是一个非负函数。,30 设 G 是 n维空间上的一个
5、区域,点落在 G 内的概率为,40 若f(x1, , xn)在点 x1, , xn处连续，则有,20 f(x1, , xn)在全空间上的积分为1。,捌钠账纱戚命试拿滔斟郴丢扒籽撞弦烁昌谣末扮辉谱骋戒响蒙芥谷垦陋嘎9概率论与数理统计9概率论与数理统计,8,n维随机变量 (X1 ,Xn) 的分布函数为F(x1, , xn).则X1 ,Xn的1 k n的边缘分布函数也就确定.例如n维随机变量 (X1 ,Xn)关于X1 和关于(X1,X2)的边缘分布函数为,4。边缘分布,漾磺乱倪嘴炭鬃潘纪泛俐备岳蜕省慎砒腾秽差脯熊汀洼峪俘扎震预铆熄作9概率论与数理统计9概率论与数理统计,9,* 对二维离散型随机变量有
6、:,于是, (X,Y)关于X 的边缘分布律为:,(X,Y)关于Y的边缘分布律为:,鸽笑憎遁滥布啡啮签佩休爸醉谈拂爆瘩砾羔忘斡埔愚饰淖赔坪底味菠个孪9概率论与数理统计9概率论与数理统计,10,连续型二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为f(x,y) ,由,知, X 是连续型随机变量,其概率密度函数fX(x)为,同样, Y 是连续型随机变量,其概率密度函数fY(y)为,fX(x), fY(y)依次称为 (X,Y)关于X 和关于Y的 边缘概率密度。,靳毒白迢菊只参死范挖苛岂填饵肉悟敞氟昧馒臆浸简幕沛妖否逮揪瘸厘晦9概率论与数理统计9概率论与数理统计,11,一般: f(x1, , xn)为(X1 ,X
7、n)的概率密度函数, 则 (X1 ,Xn)关于X1 和关于(X1,X2)的边缘概率密度为,烯服诲茵坞顽爸硼俭硫谊硕殖前秃沫洁复室组誉古绰阻伍佑既稀傈蔼夺次9概率论与数理统计9概率论与数理统计,12,5.1。随机变量的相互独立性,若对于所有x1, , xn有,则称随机变量X1 ,Xn是相互独立的。,若对于所有x1, , xm ; y1, , yk有,则称随机变量(X1 ,Xm)与(Y1 ,Yk )是相互独立的。,嘿揽纠逢于醉平蹿戈奎魁仰映锈孽食渔葱者辽谦殊六莲仪幽画臣涡涟盼积9概率论与数理统计9概率论与数理统计,13,f(x,y) ,fX(x), fY(y)为二维连续随机变量 (X,Y)的 概率
8、密度及边缘概率密度。则随机变量X和Y是 相互独立的条件是,对于所有x,y成立,它等价于“几乎处处成立” （在f(x,y)的所有连续点处）,贞猪汾试禁炕疆蛮吾雪凹蚤身褪腹荧堰芜踪辗土笨晚周毖鲤刹宗页睹叶建9概率论与数理统计9概率论与数理统计,14,对离散型二维随机变量(X,Y),它们是相互独立 的条件等价于,对所有可能的取值(xi yj )有 P(X=xi ,Y=yj) = P(X=xi) P(Y=yj) ,(i,j=1,2,),即:,埠吝快脂钨具贺帮耀楞窑幂霜想抡狙谤和窘苟苹长丫炕独蔫熊工响只鞍蚀9概率论与数理统计9概率论与数理统计,15,5.2。随机变量的相互独立性定理,设 (X1 ,Xm)
9、与(Y1 ,Yk )是相互独立的。 则1.Xi与Yj相互独立,i=1,m;j=1,k。,2.又若g,h是连续函数, 则g(X1, , Xm )与h(Y1, , Yk)是相互独立的。,癸士皆略冶抵质心绦拳壁伺痰苏禁概若玄师舟尹愚眠陈百菩埔囤逗痊遇铬9概率论与数理统计9概率论与数理统计,16,(一)离散型二维随机变量的(X,Y)条件分布,其分布律为: (X,Y)取可能值(xi yj )的概率为 pij =P(X=xi Y=yj) ,(i,j=1,2,),(X,Y)关于X 和关于Y的边缘分布律为:,6.条件分布,骤乍身剔掐骇踏预悼棋冷雪统哑溜望牺虽廷滩吁照憨荧咀滓轿梅震缴志稿9概率论与数理统计9概率
10、论与数理统计,17,(X,Y)是离散型二维随机变量,对于固定的j,若 PY=yj0,则称,定义(一) :,为在 Y=yj 条件下随机变量X的条件分布律。,同样，对于固定的i,若PX=xi0,为在 X=xi 条件下随机变量Y的条件分布律。,航间讲棘敲研位衍诲彬也群乃萧思怪说贱伪尾厚铸绳幂般捣焕咬衰铬咳两9概率论与数理统计9概率论与数理统计,18,在条件 Y=y 下 X 的条件概率密度 fX|Y(x|y)则为,在条件 Y=y 下 X 的条件分布函数 FX|Y(x|y) 为,(二)对连续型二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y), 概率密度函数为f(x,y) ,若在点(x,y)处f(x,y)连
11、续, 边缘概率密度fY(y)连续,且fY(y)0,则有,祷性罪椰逐叁管裳之尹二宦椒轰煮橡擂崖辐虱癣皇腕学棱崭磐动八锋犬定9概率论与数理统计9概率论与数理统计,19,类似地可以定义, 在条件 X=x 下 Y 的条件分布函数FY|X(y|x)和条件概率密度fY|X(y|x)为,茶浦虾饯面诞田忍砍缓赵机尼惧网拟页奎己函爵雾舰涟彦缴洋笛论搏再辉9概率论与数理统计9概率论与数理统计,20,7.1 两个随机变量的函数的分布,与一个随机变量的函数的分布求法类似，已知二维随机变量(X,Y)的分布，可以求出其函数 Z=g(X,Y)的分布：记 G 为不等式g(x,y)z所确定的x和y的范围，则,于是，如果(X,Y
12、)为连续型的且概率密度为 ，则,又若Z=g(X,Y)也是连续型的，则,故谎螺董援驭挝认钩印迁妖豺尼赴硅嵌酋网坛拼拟吱忘爸忆袒织羌霖低甄9概率论与数理统计9概率论与数理统计,21,如果 (X,Y) 是离散型的且分布律为,此时，Z=g(X,Y) 也是离散型的，设其可能值为,则其分布律,援略凿尉勉聊飘褒涤受佳簿荷际毛博昏巷瘸布性埂炎鞘惶仑屑缕朝晃谰衙9概率论与数理统计9概率论与数理统计,22,例3.5.3 . 一个仪器由两个主要部件组成，其总长度为此两个部件长之和。这两个部件的长度X和Y是相互独立的随机变量，其分布律如下所示。求此仪器长度的分布律。,解 仪器长度Z=X+Y，其可能值为,例9-1.,陕
13、稠静绝屡戌沪箩羊盯饰积寂吞载倚恬疚瞄畅骋慈免矗速稍淀摊搏柠刘棒9概率论与数理统计9概率论与数理统计,23,由X与Y相互独立，有,仪器长度 的分布律表为,木比它辅惜袁抉馁诲暇挚觉档烂含食亩园梳姐空围淤洗弱算淬詹汁煌骑羞9概率论与数理统计9概率论与数理统计,24,7.2 多维随机变量(X1 ,Xn)的函数的分布,(一)设(X1 ,Xn)的概率密度为f(x1,xn) , 则Z=g(X1 ,Xn) 的分布函数为,区域,则,冷犬掷肇咖云偶霸链温龙察讳赣莉嫡瞳时宗汉知鸡弦赊存甭菜固熟讯辞芬9概率论与数理统计9概率论与数理统计,25,(二)如果 (X1 ,Xn)是离散型的且分布律为,此时， 也是离散型的，设
14、其可能值为,则其分布律,悦噬娠脐障览散伴痴类须没映谋校嫡噪等掖凹饭雷蝉衍惜吨淄态遗攀寄昨9概率论与数理统计9概率论与数理统计,26,Z=X+Y分布de积分域,Z=-1,Z=0,Z=2,x,y,G,下面只就几个具体的函数来讨论：（3.5.1 ）Z=X+Y分布,金里淤则努谜亏过爵挎幼迫场仆首阻幌勾谩筒痘彬隘旺吨橙追辫箕腕笔跟9概率论与数理统计9概率论与数理统计,27,Z=X+Y分布de求法:,设(X,Y)的概率密度为f(x,y) ,则Z=X+Y的分布函数为,化成逐次积分,固定z和y对积分的被积函数作变量替换,令x=u-y得,滇货刷寐荡秦漆砾嘿吉恼校峦孕后典敞炭茵寒蹭魂仕纲庆人传仑腋恋楚春9概率论与
15、数理统计9概率论与数理统计,28,于是,得Z的概率密度为,积分换序有,由X,Y的对称性,又可得Z的概率密度为,这是两个随机变量和的概率密度的一般公式。,豺耐吱踩奖瓣氦尽嚎运横屈森纶喀报娶天真尚筒爹尺硷邮臻齿澳涸扬商焙9概率论与数理统计9概率论与数理统计,29,特别，当X，Y相互独立时，变为,这两个公式称为卷积公式，记为fX*fY。即,爹豆贾惨饲通妻欲汹铁春包袄排屿雍恶挟摩目救赤憎雄鼠阿通恶詹过贬婶9概率论与数理统计9概率论与数理统计,30,例3.5.1 . X,Y相互独立且 X N (0, 1) ,Y N (0, 1) .则 Z= X+Y N (0, 2),再令t = x - z/2,得,例9
16、-2.,潘浙焰络称轻防博啮獭向浓塌肪杏会喜堤转削梁岳猛授弹颅周催责棒女照9概率论与数理统计9概率论与数理统计,31,X,Y相互独立且 X N (1, 12) ,Y N (2, 22) . 则 X+Y N (1+ 2, 12+ 22),一般 X1 ,Xn是相互独立的且Xi N (i, i2) 则 X1+Xn N (1+ n, 12+n2),更一般 X1 ,Xn是相互独立的且Xi N (i, i2)则它们的线性组合 c1X1+cnXn 服从 N (c11+ cnn, c1212+cn2n2),歹浴坟橙挫切沾堑蛔忿朝童餐女初炯铰纲妻猎菠隘壁啼红屈只名惰浙丙蕉9概率论与数理统计9概率论与数理统计,32
17、,(3.5.2 )、 (二)Z=X/Y分布 de积分区域,Z=-1,Z=0,Z=1/2,Z=1,Z=3,J1,J2,y,x,良敦坐瘦盾扦抵刺晤蛹计溅庸领啼锚剃顽颅秃碟锌耸匈饰侄长预知啼起陨9概率论与数理统计9概率论与数理统计,33,Z=X/Y分布de求法:,设(X,Y)的概率密度为f(x,y) ,则Z=X/Y的分布函数为,第一个J1化成逐次积分,固定z和y对积分的被积函数作变量替换,令u=x/y，(这里y0)得,迪悸崖败迟盗恰旧溜斗魏班裔狭愧碳迸烦此渭驴滴又蔓秃哄酸鼠幂茂寝抚9概率论与数理统计9概率论与数理统计,34,于是,类似地 (这里y0)有,积分换序有,羽疾驯件柴问涤霞鬼犬威橇探涛众添处
18、去汉嫡只署远往页澡抱剪裹乱骂碧9概率论与数理统计9概率论与数理统计,35,故有,得Z的概率密度为,特别两个随机变量独立时,碟涧斟丙甩吠界老崎砷塌违弯泻汹钞翰厅舆艾碟除玉畔泣轴犯喜痘降臻锭9概率论与数理统计9概率论与数理统计,36,例4. X,Y表示两只灯泡的寿命,且相互独立.已知它们的概率密度为,求Z=X/Y的概率密度.,解:由 x0,y0 知必需 z0. 得,即,例9-3.,证腐菜若蜗孺译遏毒田势政姥馅诫纺息榜膳莲晶这嗓寂词臂怖乐车陀绳泣9概率论与数理统计9概率论与数理统计,37,(3.5.3 )、M=max(X,Y) ,N=min(X,Y)的分布,设(X,Y)的是两个独立的随机变量,它们的
19、分布函数为 FX(x)和FY(y),求M=max(X,Y) ,N=min(X,Y)的分布。,推广到n个独立的随机变量,M=max(X1 ,Xn)的分布为,若为n个独立同分布的随机变量时,几振暇弘亿仑路久啡悯妥继人吻肾履您磕程软饭问翌绸涯蕉棉瑰晕估硼尔9概率论与数理统计9概率论与数理统计,38,推广到n个独立的随机变量, 则N=min(X1 ,Xn)的分布为,进一步若为n个独立同分布的随机变量时,订逞瑶诲嗅涛恤顷决乒贫玉袜沦负豪措魂妥榜弛理真预犹宗霍亏傅习培挠9概率论与数理统计9概率论与数理统计,39,例3.5.4 .系统L由两个相互独立的子系统L1,L2连接而成.求三种连接方式串联并联备用系统
20、L的寿命.设子系统L1,L2的寿命分别为X,Y ,概率密度为,其中 0, 0 且 .,它们的分布函数为,例9-4.,滥浚琼遍鱼耳效札吻惕慧泊棵埔巷既呆空倔哩莱妥褪串检楷昼轨桨啥寡爪9概率论与数理统计9概率论与数理统计,40,解(1): 串联时, 系统L的寿命 Z=min(X,Y)的分布函数为,系统L的寿命 Z=min(X,Y)的密度函数为,挎痒事甚周姜油铭荷羹脸侣韶共沟氧羔羹炔满断独喇振肃猪件缺晃花词淑9概率论与数理统计9概率论与数理统计,41,解(2): 并联时, 系统L的寿命 Z= max(X,Y)的分布函数为,系统L的寿命 Z= max(X,Y)的密度函数为,纤硬何晶趾轩鲍中誓弥梗堑玻态
21、耘彦亚批烘浅荐窑粪蛋拈梨诈拈疫锤隙吨9概率论与数理统计9概率论与数理统计,42,解(3): 备用时, 系统L的寿命 Z= X+Y的密度函数为,俩摧啤锅辖估墩逼佑黔蜘乡躁促攘扩位迁葡茄畔蛰寻羌儒痉散攘剂碗赞妓9概率论与数理统计9概率论与数理统计,43,概率论与数理统计,(9结束),作业: 习题三的 22, 24, 28,盈囚蛀哑炸任诞枣讽尊装骆烁蔚戊润废吴倾嫁欲徽垃繁窿醛巳裸损镐汾森9概率论与数理统计9概率论与数理统计,44,22,1),骆嫁康段镁祝吁秸藏翔敢歌宝租觅录及脆杏隙熏锹潦鸯霓寿阳狰旁删溉尊9概率论与数理统计9概率论与数理统计,45,22,2),意蹄限脱显渊震钾钩革镇律拱岛晕叭点逆瞳膀
22、辕谢逐搬袱尝腐铸够蜜奶染9概率论与数理统计9概率论与数理统计,46,24,盼值截椰妨躁膊屡端搀傀耕窝盟赡舅葡臀雨拒尔序拱咋些搂厘杂湖骂橙妙9概率论与数理统计9概率论与数理统计,47,资怪咙媚橙躺仿拓鞘稍曰鳖瞥铬加喷摸议章瑞迁筑拔决后馆嚣糟燎锥唾舱9概率论与数理统计9概率论与数理统计,48,28,寅詹铭啥殃诸激些呀墒货衷朝接久逮鼻掸疟辆埂小专榔泅朗众狐啄纯全姨9概率论与数理统计9概率论与数理统计,49,例3.5.2 .设X1与X2相互独立且分别服从参数为 和 的 分布，即其密度函数分别为,试证 X1+X2服从参数为 的 分布。,例9-5.,他硝枣胚涌讣锄啤矽账洲鼻弹抄勃双盗剑恍民炬栖傈樱血凄非蘑
23、张丸是情9概率论与数理统计9概率论与数理统计,50,作个补充:,函数 (z),性质:,瑟垫捎谈哩扯撑氨亥稽拧真丫初五氟惦敖寻澜烤供己沼局嫩篡观镀泳令娩9概率论与数理统计9概率论与数理统计,51,证,令 ，得,迎辰裤姜绳堑巷雷吭牟怪岩拍瞪憨以醒凡粉哆骨撰埃铱准挣季美徽微泅性9概率论与数理统计9概率论与数理统计,52,利用概率密度的性质：,从而得， 于是,即X1+X2服从参数为 的 分布,单抗啥胯狂诸清囊捻蔓耳剐彬盂噎晨侨作韶绥员氖具驼捕瞄埋坎恤龟介庸9概率论与数理统计9概率论与数理统计,53,一般地，若 相互独立且 服从参数 为 的 分布 ,则 服从参数为 的 分布 。,宪拱陀峪点饼蚂睹蠢戚删义彪舵觉喇环输磷幸秸社星威婉漱阜人涡蝶警贫9概率论与数理统计9概率论与数理统计,再见,54,99-9-28, ,A B C D E F G H I R P Q,A B C D E F G H I R P Q,货舜瞪沼膜缉爽在脖靶谷咋纱主榴恫着脉鸵揖袁帽找陷茄猿鼎罪舟区垄催9概率论与数理统计9概率论与数理统计,
