1、例析反函数的几种题型及解法反函数是高中数学中的重要概念之一，也是学生学习的难点之一。在历年高考中也占有一定的比例。为了更好地掌握反函数相关的内容，本文重点分析关于反函数的几种题型及其解法。一. 反函数存在的充要条件类型例 1. （ 2004 年北京高考）函数 在区间 上存在反函数的充fxax()2312，要条件是（ ）A. B. a， 1 ，C. D. ， ，2a12，解析：因为二次函数 不是定义域内的单调函数，但在其定义域的fxx()23子区间 或 上是单调函数。， a，而已知函数 在区间1，2上存在反函数f()所以 或者， ，2， ，a即 或a故选（C）评注：函数 在某一区间上存在反函数的
2、充要条件是该函数在这一区间上是yfx()一一映射。特别地：如果二次函数 在定义域内的单调函数，那么函数 f（x）必存yfx()在反函数；如果函数 f（x ）不是定义域内的单调函数，但在其定义域的某个子区间上是单调函数，那么函数 f（x ）在这个子区间上必存在反函数。二. 反函数的求法类型例 2. （2005 年全国卷）函数 的反函数是（ ）yx2310()A. yx()13B. (C. yx()03D. ()1解析：由 可得 ，故x0x23y1从 解得y231()3因所以 x()3即其反函数是 yx()13故选（B） 。评注：这种类型题目在历年高考中比较常见。在求反函数的过程中必须注意三个问题
3、：（1）反函数存在的充要条件是该函数在某一区间上是一一映射；（2）求反函数的步骤：求原函数的值域，反表示，即把 x 用 y 来表示，改写，即把 x 与 y 交换，并标上定义域。其中例 3 在反表示后存在正负两种情况，由反函数存在的充要条件可知，只能根据函数的定义域（ ）来确定 ，再结合原函x0()13数的值域即可得出正确结论。另外，根据反函数的定义域即为原函数的值域，所以求反函数时应先求出原函数的值域，不应该直接求反函数的定义域。例如：求的反函数。yx231()由 可得 y|0反表示解出 x4由 应取1即 y所以 为其反函数。x40()（3）f（x）与 互为反函数，对于函数 来说，其反函数不是
4、f1 yfx()1，而是 。同理 的反函数也不是 ，y1()y()1yfx()1而是 。三. 求反函数定义域、值域类型例 3. （2004 年北京春季）若 为函数 的反函数，则 f1 （x）fx1()fx()lg)1的值域为_。解析：通法是先求出 f（x ）的反函数 ，可求得 f1 （x）的值域为fx10，而利用反函数的值域就是原函数的定义域这条性质，立即得 f1 （x）的值域()1，为 。，评注：这种类型题目可直接利用原函数的定义域、值域分别是反函数的值域和定义域这一性质求解。四. 反函数的奇偶性、单调性类型例 4. 函数 的反函数是（ ）yex2A. 奇函数，在（ ）上是减函数0， B.
5、偶函数，在（ ）上是减函数，C. 奇函数，在（ ）上是增函数，D. 偶函数，在（ ）上是增函数0， 解析：因为 在（ ）上是增函数， 在（ ）上是减函数ex， ex0， 所以 在（ ）上是增函数y2，易知 为奇函数ex利用函数 与 f1 （x）具有相同的单调性，奇函数的反函数也为奇函数这两yf()条性质，立即选（C） 。五. 反函数求值类型例 5. （2005 年湖南省高考）设函数 f（x ）的图象关于点（1，2）对称，且存在反函数 ，则 _。fxf140()， f14()解析：由 ，可知函数 f（x）的图象过点（4，0） 。而点（4，0）关于点()（1，2）的对称点为（-2，4 ） 。由题意
6、知点（-2 ，4）也在函数 f（x）的图象上，即有，所以 。f()f12评注：此题是关于反函数求值的问题，但又综合了函数图象关于点的对称问题。在反函数求值时经常要用到这条性质：当函数 f（x ）存在反函数时，若 ，则afb()。bfa1()如（2004 年湖南省高考）设 f1 （x ）是函数 的反函数，若fx()log()21，则 的值为（ ）811ffb()()ab()A. 1 B. 2 C. 3 D. l23分析：直接利用：若 ，则 。f()f1()选（B） 。六. 反函数方程类型例 6. （2004 年上海市高考）已知函数 ，则方程 f1 （x）=4 的fx()log342解 x=_。解
7、析：当函数 f（x ）存在反函数时，若 ，则 。所以只需求出afb()fa1()的值即为 f1 （x）=4 中的 x 的值。易知 ，所以 即为所求的值。f()4 4x评注：此题除了这种方法外，也可以用常规方法去求。即先求出反函数 f1 （x）的解析式，再解方程 f1 （x ）=4，也可得 。1七. 反函数不等式类型例 7. （2005 年天津市高考）设 f1 （x）是函数 的反函数，fxax()()21则 f1 （x）1 成立时 x 的取值范围是（ ）A. B. a2， ， a21C. D. 21， ()， 解析：由 ，知函数 f（x）在 R 上为增函数，所以 f1 （x）在 R 上也为增函数
8、。a故由 f1 （x）1，有 ()1而 a()22可得 x1故选（A） 。评注：此题除了这种方法外，也可以用常规方法去求，但比较繁琐。而下面的题目选用常规方法解则更为简便。如（2004 年湖南省高考）设 f1 （x ）是函数 的反函数，则下列不等式中fx()恒成立的是（ ）A. B. fx12() f12C. D. x()分析：依题意知 。画出略图，故选（ A） 。fx120()八. 反函数的图象类型例 8. （ 2004 年福建省高考）已知函数 的反函数是 ，则yxlog2yfx1()的图象是（ ）yfx1()解析：由题意知 fx12()则 fx 111()()所以 的图象可由 的图象向右平
9、移 1 个单位而得到。yfx1()yx2故选（C） 。评注：解反函数的图象问题，通常方法有：平移法，对称法等。对称法是指根据原、反函数的图象关于直线 对称来求解；特殊地，若一个函数的反函数是它本身，则它yx的图象关于直线 y=x 对称，这种函数称为自反函数。九. 与反函数有关的综合性类型例 9. （2003 年黄冈市模考）设 ，f（x ）是奇函数，且 。Rfxax()2412（1）试求 f（x ）的反函数 f1 （x）的解析式及 f1 （x）的定义域；（2）设 ，若 时， 恒成立，求实数 kgk()lo223， gx()的取值范围。解析：（1）因为 f（x ）是奇函数，且 xR所以 fa()0102， 即得 a所以 fx()21可求得 )，令 ，反解出yx212x y， log从而 fx121()l()， ，（2）因为 ，所以x3， k0由 得fg1()lollog22221xxkxk所以 1x即 对 恒成立k22123，令 hx()其在 上为单调递减函数123，则 hx()min59所以 k2in又 ，故实数 k 的取值范围是0053k评注：本题综合了反函数与函数的奇偶性，换元法求函数的解析式，对数不等式的解法以及含参不等式在定区间上恒成立等知识，是一道综合性较强的好题。
