1、第五章 线性系统的频域分析法,建模分析系统性能时域分析法 （第三章）根轨迹法 （第四章）频域分析法 （第五章）校正,5-1 频率特性,根轨迹法,特点,物理意义明确,图解方法,易于用实验法测定频率特性,时域分析法,闭环传递函数,分析系统闭环响应,频率法,数学公式,开环传递函数,分析系统闭环响应,开环传递函数,分析系统闭环响应,图解法,图解法,不仅适用于线性定常系统，还可以推广到某些非线性系统,闭环传递函数,定义,幅相特性曲线,对数频率特性曲线,绘制,Nyquist稳定判据判断稳定性,绘制,对数频率稳定判据判断稳定性,相对稳定性,三频段概念分析系统动态性能,尼科尔斯曲线,系统,R(t),C(t),
2、阶跃信号,脉冲信号,斜坡信号,加速度信号,正弦(余弦)信号,第三、四章,第五章,频率特性,幅频特性,相频特性,1定义,系统对不同频率的正弦信号的稳态响应特性,一.基本概念,系统,R(t),C(t),固定Ar,问题：,频率特性跟系统传递函数有什么关系？,二.数学本质及定义,输入,r(t),c(t),输出,故,系统传递函数(s)，则频率特性和传递函数之间的关系有,其中幅频特性：,相频特性：,r(t),c(t),频率特性,幅频特性,相频特性,总结,解：,输入信号,求系统的稳态输出和稳态误差,（1）判断系统稳定性,单位负反馈系统的开环传递函数为,在正弦信号作用下，稳定的线性定常系统的稳态输出和稳态误差
3、也是正弦信号，可以利用频率特性的概念来求解。,系统稳定,（2）系统的稳态输出,r(t),c(t),w=2,（3）系统的稳态误差,r(t),e(t),w=2,r(t),c(t),频率特性,幅频特性,相频特性,上节课回顾,三. 说明,1频率特性不只是对系统而言，其概念对控制元件、部件、控制装置也都可以用,2对于不稳定系统，频率特性只能从理论上获得，无法从实 验上获得,3频率特性(jw) 是由系统本身结构参数决定的,线性系统,微分方程,频率特性,传递函数,物理意义(实验法),安装低频信号发生器，使输入信号ur做正弦变化观察系统输出电压uc的变化 在此刻频率下的幅值比和相位差获得一系列 A(w) 和(
4、w),uc1,uc2,uc3,四.频率特性的图解法,数学表达式,绘制(jw)的轨线,1. 幅频特性A(w)和相频特性(w)曲线,横坐标： 纵坐标：,图解法,横坐标： 纵坐标：,w,A(w),(w),w,2. 幅相特性曲线,3. 对数幅频特性和相频特性,Re(jw),(w),如何绘制幅相曲线,如何绘制对数 频率特性曲线,横坐标： 纵坐标：,横坐标： 纵坐标：,lgw,lgw,L(w)=20lgA(w),横坐标： 纵坐标：,Im(jw),（Nyquist曲线,，奈氏曲线）,（Bode图）,4. 对数幅相特性曲线,（尼氏曲线）,横坐标： 纵坐标：,L(w)=20lgA(w),(w),幅频、相频特性曲
5、线,幅相特性曲线,对数频率特性曲线,对数幅相曲线,一.定义,横坐标：,幅值：,相角：,G(jw)的轨迹,5-2 幅相特性曲线,幅相特性：,纵坐标：,ReG(jw),ImG(jw),ReG(jw),ImG(jw),典型环节,比例环节,微分环节,一阶微分环节,二阶微分环节,积分环节,一阶惯性环节,二阶振荡环节,频率特性,二.典型环节的幅相特性,1比例环节,传递函数,频率特性,幅频特性,相频特性,一个点,2积分环节,3微分环节,负虚轴,正虚轴,传递函数,频率特性,幅频特性,相频特性,传递函数,频率特性,幅频特性,相频特性,单调增0,单调减0,4惯性环节,传递函数,频率特性,幅频特性,相频特性,0,1
6、,1/T,2/T,3/T,4/T,5/T,0.707,0.45,0.32,0.24,0.20,0,以(0.5,0)为圆心， 0.5为半径的半圆,幅频特性,相频特性,1,Re,Im,0,单调减10,单调减0 -/2,5.一阶微分环节,传递函数,频率特性,幅频特性,相频特性,1,Re,Im,0,单调增1,单调增0 /2,6.二阶振荡环节,传递函数,频率特性,幅频特性,相频特性,以 （无因次频率）为横坐标,谐振峰值,谐振频率,如何求？,谐振频率,谐振峰值,求解谐振峰值和谐振频率,适用于,没有峰值,越小,超调量,越大,越大,表征系统的平稳性,A(w)单调减,(w)单调减0 -,A(w)非单调,(w)单
7、调减0 -,幅相特性,7.二阶微分环节,传递函数,频率特性,幅频特性,相频特性,幅频特性,相频特性,Re,Im,A(w)单调增,(w)单调增0 ,A(w)非单调,(w)单调增0 ,8.不稳定环节（非最小相位环节）,一阶微分环节,惯性环节,不稳定二阶微分环节,振荡环节,不稳定振荡环节,二阶微分环节,不稳定惯性环节,不稳定一阶微分环节,非最小相位系统,系统的零点或极点位于S右半平面,最小相位系统,非最小相位系统,非最小相位系统,不稳定一阶微分环节,传递函数,频率特性,幅频特性,相频特性,相角实际根据位于哪个象限,A(w)单调增,(w)单调减0 -/2,(w)单调减- -3/2,不稳定惯性环节,传递
8、函数,频率特性,幅频特性,相频特性,相角实际根据位于哪个象限,A(w)单调减,(w)单调增0 /2,(w)单调增- -/2,频率特性,轨迹,幅相特性曲线,（Nyquist曲线,，奈氏曲线）,横坐标：,纵坐标：,ReG(jw),ImG(jw),频率特性,上节课回顾,上节课回顾,(w)=0,(w)单调增0 /2,(w)单调减0 -/2,比例环节,微分环节,一阶微分环节,积分环节,一阶惯性环节,不稳定一阶惯性环节,(w)单调增0 /2,不稳定一阶微分环节,(w)单调减0 -/2,(w)单调增- -/2,(w)单调减- -3/2,(w)单调增0 ,(w)单调减0 -,A(w)单调减,A(w)非单调,A
9、(w)单调增,A(w)非单调,谐振频率,谐振峰值,上节课回顾,不稳定振荡环节的幅频特性和其对应的振荡环节的幅频特性相同；而相频特性曲线则对称于-180线。,不稳定振荡环节与振荡环节,传递函数,不稳定二阶微分环节的幅频特性和其对应的二阶微分环节的幅频特性相同；而相频特性曲线则对称于180线。,不稳定二阶微分环节与二阶微分环节,传递函数,9.延迟环节,延迟环节的输入输出方程,传递函数,频率特性,幅频特性,相频特性,1,若把延迟环节的传递函数展开为,由于含有延迟环节的传递函数含有位于右半S平面的零点。所以，延迟环节是非最小相位环节,延迟环节是小时间常数的惯性环节,1.幅相曲线的起点,起点由K 和决定
10、,三.幅相曲线的绘制,传递函数,频率特性,说明:,型系统起点处的渐近线平行于虚轴，横坐标为:,时，说明系统包含开环零点，开环幅相曲线起始于原点并与某一坐标轴相切。,上面给出的幅相曲线起点规律仅适用于最小相位系统对于非最小相位系统，具体问题具体对待,注意:,起点w=0,2.幅相曲线的终点,传递函数,频率特性,终点由n 和m决定,n-m=0,n-m0,当 时，曲线收敛于原点，并与某一坐标轴相切。,当n-m=1时，幅相曲线以 -90方向终止于原点， 当n-m=2时，幅相曲线以-180方向终止于原点， 当n-m=3时，幅相曲线以-270方向终止于原点， 当n-m=4时，幅相曲线则以-360(即0)方向
11、终止于原点。,当 时，曲线终止于实轴上的有限,n-m=0,n-m0,3.幅相曲线的中间段,幅相曲线中间段的形状由各环节的种类和时间常数决定 最小相位系统开环传递函数中不包含零点时，曲线相角连续减小；否则，相频曲线会出现凹凸。,4.幅相曲线与负实轴的交点,令 ，解出 ，代入 ，求得幅相曲线与负实轴的交点坐标。,主要关注相角的变化,已知系统的传递函数为,绘制其幅相特性曲线,解：,1. 起点,2. 终点,3. 中间段,单调减,单调减,已知系统的传递函数为,试绘制其幅相特性,解：,1. 起点,2. 终点,3. 中间段,单调减,4. 与实轴交点,单调减,单调减,已知系统的传递函数为,试绘制其幅相特性,解
12、：,1. 起点,2. 终点,4. 与实轴交点,3. 中间段,单调减,单调减,单调减,已知系统的传递函数为,绘制其幅相特性,解：,1. 起点,2.终点,3. 中间段,T1 T2,T1 T2,1. 起点,2.终点,已知系统的传递函数为,绘制其幅相特性,解：,1. 起点,2.终点,3. 中间段,(1),起点,终点,单调减,T1大，,某个wl,(2),起点,终点,(3),起点,终点,书上例题有详细的讲解,情况(1),情况(2),情况(3),绘制含有延迟环节的开环幅相曲线,解：,1.幅相曲线的起点,幅相曲线的绘制,2.幅相曲线的终点,3.幅相曲线的中间段,4.幅相曲线与负实轴的交点,注意对于非最小相位系
13、统，具体问题具体对待,上节课回顾,绘制有开环极点位于虚轴上的幅相曲线,位于虚轴上的开环极点：,解：,1. 起点,2.终点,Re,Im,0,的相角将改变,3. 特殊点,Re,Im,0,5-3 奈奎斯特稳定判据,根据系统的开环频率特性G(jw)H(jw) 幅相特性曲线 判断闭环系统的稳定性 求出位于s右半闭平面的极点个数,幅相特性曲线,Nyquist判据,判断系统稳定性,绘制曲线,一. 幅角原理,F(s)平面：,s平面：,沿封闭s曲线变化，且s不通过F(s)的奇点,沿F曲线变化,F(s)的零点、极点,当s沿s顺时针变换时，F(s)的幅角变化为多少？,问题,F(s)的幅角变化,zi、pi在s包围外,
14、zi、pi在s包围内,幅角原理(映射定理),如果封闭曲线s内有Z个F(s)的零点和P个F(s)的极点，,即绕原点逆时针转R=P-Z圈。,若s沿顺时针绕一圈，则F(s)曲线绕原点,问题,幅角原理有什么作用？,封闭曲线s如何选取？,函数F(s)如何选取？,Nyquist稳定判据,二. 辅助函数F(s),选择,系统闭环极点,系统开环极点,给出了系统开环特征和闭环特征式（稳定性）的关系,闭环极点,开环极点,幅角原理(映射定理),如果封闭曲线s内有Z个F(s)的零点和P个F(s)的极点，,即绕原点逆时针转R=P-Z圈。,若s沿顺时针绕一圈，则F(s)曲线绕原点,F(s)的零点,F(s)的极点,系统的闭环
15、极点,系统的开环极点,引理1,如果封闭曲线s内有P个F(s)的极点,且F(s)曲线绕原点逆时针转P圈,则封闭曲线s内有F(s)的零点数,为零,（系统的闭环极点数）,（系统的开环极点数）,引理1,如果封闭曲线s内有P个F(s)的极点,且F(s)曲线绕原点逆时针转P圈,则封闭曲线s内有F(s)的零点数,为零,（系统的闭环极点数）,（系统的开环极点数）,引理2,如果封闭曲线s内有P个系统的开环极点,且G(s)H(s)曲线绕(-1, j0)逆时针转P圈,则封闭曲线s内系统的闭环极点数,为零,三.封闭曲线s的选取,选取规则：,封闭曲线s包围s平面的右半平面,G(s)H(s)虚轴上无极点,G(s)H(s)
16、虚轴上有极点,G(s)H(s)虚轴上无极点,G(s)H(s)虚轴上有极点,四.G(s)H(s)曲线的绘制,1. G(s)H(s)虚轴上无极点,(1) 正虚轴,s = jw, w: 0,对应于开环幅相曲线,(2) 圆，,若n=m,G(s)H(s)是某点,若nm,G(s)H(s)是原点,(3) 圆，,关于实轴对称(2),(4) 负虚轴,s = jw, w: 0-,关于实轴对称(1),2. G(s)H(s)在原点处有极点,(1) 正虚轴,s = jw, w: 0+ ,对应于开环幅相曲线,(2) 圆，,若n=m,G(s)H(s)是某点,若nm,G(s)H(s)是原点,(3) 圆，,关于实轴对称(2),
17、(4) 负虚轴,s = jw, w: 0- -,关于实轴对称(1),(5) 圆,w: 0+ 0-,G(s)H(s)曲线为半径为无穷大的圆弧,从*(/2)转到*(-/2),注意：,含有积分环节，需要补画曲线,含有个积分环节，,从起点开始逆时针补画个半径为的1/4的圆,3. G(s)H(s)在虚轴上有极点,(1) 正虚轴,s = jw,对应于开环幅相曲线,(2) 圆，,若n=m,G(s)H(s)是某点,若nm,G(s)H(s)是原点,(3) 圆，,关于实轴对称(2),(4) 负虚轴,s = jw,关于实轴对称(1),(5) 圆,(6) 圆,关于实轴对称(5),G(s)H(s)曲线为半径为无穷大的圆
18、弧,从,转到,注意：,虚轴上有极点，需要补画曲线,含有个,从,环节，,开始顺时针补画个半径为的1/2的圆,五. Nyquist稳定判据,根据G(jw)H(jw)幅相曲线判断闭环系统稳定性,乃氏稳定判据,R,P,闭环系统稳定的充要条件：,N,w: - +时，G(jw)H(jw)闭合曲线逆时针包围(-1, j0)点的圈数,w: 0+时，G(jw)H(jw)曲线逆时针包围(-1, j0)点的圈数,s右半平面上的开环极点数,引理3,如果右半平面内有P个系统的开环极点,且G(s)H(s)曲线绕(-1, j0)逆时针转P圈,则在右半平面内系统的闭环极点数,为零,即系统是稳定的,或,说明,若PR,当G(s)
19、H(s)含有个积分环节，应在曲线起点逆时针方向补画个半径为的1/4圆,G(s)H(s)在虚轴上的极点视为稳定的开环极点，不记为P,并且不稳定的闭环极点数P-R,则闭环系统不稳定,若G(s)H(s)通过(-1, j0)点，说明存在一个w1，使G(jw1)H(jw1)=-1，系统临界稳定（不稳定）,含有个,从,环节，,开始顺时针补画个半径为的1/2的圆,当G(s)H(s),稳定,不稳定,不稳定极点数：,稳定,稳定,2,N=0,N = -1,N = 0,N = -1,稳定,不稳定,稳定,不稳定,不稳定极点数：2,不稳定极点数：2,P = 0,上节课回顾,幅角原理(映射定理),如果封闭曲线s内有Z个F
20、(s)的零点和P个F(s)的极点，,即绕原点逆时针转R=P-Z圈,若s沿顺时针绕一圈，则F(s)曲线绕原点,引理1,如果封闭曲线s内有P个F(s)的极点,且F(s)曲线绕原点逆时针转P圈,则封闭曲线s内有F(s)的零点数,为零,（系统的闭环极点数）,（系统的开环极点数）,引理1,如果封闭曲线s内有P个F(s)的极点,且F(s)曲线绕原点逆时针转P圈,则封闭曲线s内有F(s)的零点数,为零,（系统的闭环极点数）,（系统的开环极点数）,引理2,如果封闭曲线s内有P个系统的开环极点,且G(s)H(s)曲线绕(-1, j0)逆时针转P圈,则封闭曲线s内系统的闭环极点数,为零,F(s)曲线与G(s)H(
21、s)曲线的关系,上节课回顾,引理2,如果封闭曲线s内有P个系统的开环极点,且G(s)H(s)曲线绕(-1, j0)逆时针转P圈,则封闭曲线s内系统的闭环极点数,为零,封闭曲线s包含整个右半平面,引理3,如果右半平面内有P个系统的开环极点,且G(s)H(s)曲线绕(-1, j0)逆时针转P圈,则在右半平面内系统的闭环极点数,为零,即系统是稳定的,G(s)H(s)曲线如何画？,上节课回顾,G(s)H(s)虚轴上无极点,G(s)H(s)虚轴上有极点,上节课回顾,注意：,含有积分环节，需要补画曲线,含有个积分环节，,从起点开始逆时针补画个半径为的1/4的圆,1. G(s)H(s)虚轴上无极点,2. G
22、(s)H(s)在原点处有极点,上节课回顾,上节课回顾,3. G(s)H(s)在虚轴上有极点,注意：,虚轴上有极点，需要补画曲线,含有个,从,环节，,开始顺时针补画个半径为的1/2的圆,上节课回顾,乃氏稳定判据,R,P,闭环系统稳定的充要条件：,N,w: - +时，G(jw)H(jw)闭合曲线逆时针包围(-1, j0)点的圈数,w: 0+时，G(jw)H(jw)曲线逆时针包围(-1, j0)点的圈数,s右半平面上的开环极点数,或,设系统的开环传递函数为,利用Nyquist稳定判据判断闭环系统的稳定性,解：,1. 起点,2. 终点,3. 中间段,单调减,单调减,4. 补画曲线,从起点开始逆时针补画
23、曲线,补画1个半径为的1/4圆,稳定,5. 判断系统稳定性,单位负反馈系统的开环传递函数为,用乃氏判据判断闭环系统的稳定性。,解：,1. 起点,2. 终点,3.中间段,4. 与负实轴交点,6. 判断闭环系统的稳定性,P = 0,N = 0,系统稳定,5. 补画曲线,开环传递函数为：,绘制系统的幅相曲线，并判断系统的稳定性。,解：,P=1,单调增,单调增,Re,Im,0,N = -1/2,R = -1,系统不稳定,不稳定极点数：2,解：,1. 起点,2.终点,Re,Im,0,设系统的开环传递函数为,利用Nyquist稳定判据判断闭环系统的稳定性,的相角将改变,3. 特殊点,Re,Im,0,4.
24、补画曲线,5. 判断系统稳定性,P = 0,系统不稳定,N = -1,不稳定极点数：2,设系统的闭环特征方程,试判断闭环系统的稳定性。,解：,改写成,劳斯判据？,根轨迹法？,Nyquist稳定判据,开环传递函数,系统不稳定,P = 0,N 0,系统的结构如图：,用乃氏判据判断系统的稳定性,解：,系统稳定？,系统不稳定！,注意：在开环传递函数中出现零极相消时，P应按照相消之前计算。消去的开环零极点实际上仍然是闭环极点，不能遗漏。,系统不稳定,P = 0,N = 0,P = 1,N = 0,(w)单调增0 ,(w)单调减0 -,(w)单调减0 -,(w)单调增0 ,A(w)单调减,A(w)非单调,A(w)单调增,A(w)非单调,谐振频率,谐振峰值,上节课回顾,
