1、第五节 控制系统的奈氏图分析 一.奈氏判据的基本原理奈氏判据频域分析中最重要的稳定性判据。叙述见后两节。 先讨论三个重要概念：1. 特征函数的零点和极点2. 幅角原理3. 奈氏轨迹及其映射,1. 特征函数的零点和极点 特征函数 对应的闭环系统,推论： Fs的极点是开环传函极点； Fs的零点是闭环传函极点，若要闭环稳定，则Fs的全部零点必须位于s左半平面。,即为闭环系统的特征方程。,2. 幅角原理奈氏判据的理论基础是复变函数的幅角原理。应用幅角原理可导出奈氏判据的重要公式：式中 Zs平面上被封闭曲线C包围的Fs的零点数 Ps平面上被封闭曲线C包围的Fs的极点数 N F平面中封闭曲线C包围原点的次
2、数,s平面,F平面,j,jIm,Re,C,C,-PiI,-PiII,-ZiI,-ZiII,s,(s+ZiI),F(s),(s+ZiII),证：设封闭曲线C不通过s平面上任一零极点，且包围Z个零点P个极点，记为,未被包围的零极点记为,对于任一点s有F平面映射,当变点s沿C顺时针移动一圈，则有,3. 奈氏轨迹及其映射 若选取适当的封闭曲线将s平面右半平面包围起来，则变点s顺时针方向沿虚轴和半径为的右半圈绕一周形成的封闭曲线称为Nyquist轨迹 ，简称奈氏轨迹。,奈氏轨迹在平面的映射也为一个封闭曲线， 称为奈氏曲线, 例如：上半虚轴映射为：下半虚轴映射为右半圈映射为,，因为当,回忆幅角原理 N=P
3、Z，F的零点即闭环极点。,若考虑 平面，则相当于 曲线左移一个单位的奈氏图，即开环幅相频率特性，原F平面原点对应于GH平面, j0点若要系统稳定，则Z=PN=0，N为GH 映射曲线绕,j0点次数,若要稳定，闭环极点应不在s右半平面。若以奈氏轨迹为封闭曲线C，则它所包围的s右半平面零点数Z=0，才有系统稳定，据幅角原理有Z=PN=0 （N为奈氏曲线包围坐标原点的次数， P为奈氏轨迹包围的开环极点数）,二. 奈氏稳定性判据一若奈氏曲线 逆时针包围, j0点的次数N等于位于右半平面上开环极点数P。则闭环系统稳定，否则闭环系统不稳定。 约束条件：在原点和虚轴上无零极点。奈氏轨迹不能穿过零极点。 讨论：
4、当奈氏曲线通过,j0点，则表示闭环系统临界稳定，也归为不稳定。,应用奈氏稳定性判据一的步骤： 绘 的奈氏图，可先绘 :一段，再以实轴对称的方法添上:的一段； 计算奈氏曲线包围,j0点的次数N 由给定的Gss确定右半平面上开环极点数 P 计算 PN ，若 PN =0 则闭环稳定,例： 解：作奈氏轨迹如下图示: N=1， P=1 有Z=NP=0 故系统稳定,三. 奈氏稳定性判据二若增补奈氏曲线 当:逆时针包围, j0点的次数N等于位于右半平面上开环极点数P。则闭环系统稳定，否则闭环系统不稳定。所谓增补就是使奈氏轨迹绕开位于原点和虚轴上的开环零极点。 增补奈氏轨迹：,增补奈氏轨迹映射出的奈氏轨迹分析
5、：,可见增补奈氏轨迹映射为半径的圆曲线变点相角变化从M90 M90 如 M=1，-M：90090M=2时， -M：180 0 180,一型系统的奈氏曲线 二型系统的奈氏曲线,（-M：1800 -180）,（-M：900 -90）,例：设开环传函 试用奈氏判据判定系统稳定性 解：作奈氏曲线考虑增补 当:顺时针 包围,j0点2次， N=2 P=0 Z=2 不稳定,=,=,=-,GH平面,(-1,j0),试判定闭环系统稳定性 解：作增补奈氏曲线 N=0，不包围, j0点 P=0，Z=N-P=0 闭环稳定,例：,补充：实用奈氏判据若开环系统有q个 极点位于s右半平面，则当:0时，穿越段的次数 ，则闭环
6、稳定，否则不稳定。（化数包围圈数为穿越次数） 穿越次数的计算按下定义：半穿越 正穿越 负穿越记法： 统计：,GH平面,例：,解：,稳定,四.奈氏判据的应用问题 1.最小相位系统的稳定性判别 最小相位系统右半s平面无开环极点。最小相位系统又称开环稳定系统。 奈氏判据应用于最小相位系统时P=0 Z 才有稳定 只需判断奈氏曲线是否包围, j0点，包围则不稳定，不包围则稳定。,因奈氏曲线包围(-1, j0)点可判定系统不稳。,=,=,GH平面,(-1, j0),例6-5：,2. 利用奈氏判据确定稳定系统的可变参数取值范围 （象劳斯判据一样）利用奈氏曲线穿过, j0点来确定。 例5-7：,求Kp的取值范
7、围（Kp ）,解：,据奈氏判据，稳定的p：,3. 具有迟延环节的系统稳定性分析 设：,模相等, 的相角等于 的相角减去 或者说顺时针转动 。可先作出 的奈氏曲线，再选若干点 ，顺时针转动 得到,注： 值越大则转动角度 越大。,解：绘制时的奈氏曲线。 分析：当，奈氏曲线不包围, j0点，稳定；当2，奈氏曲线穿过, j0点，临界稳定；当4，奈氏曲线包围, j0点，不稳定。 可见越大，系统变化越不易稳定。,例5-8：,求：时的奈氏曲线。,jIm,Re,=0,=2,=4,(-1, j0),GH平面,五.广义频率特性及其应用奈氏轨迹包围了整个s右半平面，所以可用奈氏曲线判系统的绝对稳定性，若将奈氏轨迹包
8、围的区域扩大，则可用来判别系统的相对稳定性。 广义奈氏轨迹：BOA折线及半径的右半圆弧 广义奈氏曲线：广义奈氏轨迹在GH平面的映射,B,0,A,广义奈氏轨迹,-m,衰减指数,广义频率特性：,广义奈氏判据：若Gss 有P个极点位于s平面上具有给定的m值的射线右侧，而对应的GH平面上的广义频率特性曲线Gm,jHm,j在从变化时，逆时针包围, j0点的次数为N，则当N=P时，闭环任一点衰减指数都大于给定的m值，如果P=0，而曲线GjHj恰好通过, j0点，则闭环系统有一对复极点的衰减指数mk恰好等于给定的m值。,例：,解：,令通过（-1, j0）点，有,第六节 控制系统的伯德图分析. 控制系统相对稳
9、定性及其判别劳斯判别，奈氏判据只能判别系统的绝对稳定性，实际中需要知道稳定的深 度 相对稳定性。一般要求系统不但绝对稳定而且有一定的稳定裕量。稳定裕量常用 表达用奈氏图和伯德图均可看出两种裕量，Bode图更直观。,增益稳定裕量,相位稳定裕量,相位裕量Phase Margin (PM),c 剪切频率，截止频率，增益穿越频率。,奈氏图中与单位圆G的交点伯德图中与L的交点增益裕量Gain Margin(GM),奈氏图,伯德图,稳定闭环系统的GM和PM,c,PM,PM0,c,GMb0,PM,g,jIm,Re,L(),(),0,-180,0,Kg1,1,奈氏图,伯德图,不稳定闭环系统的GM和PM,c,P
10、M,PM0,c,GMb0,PM,g,jIm,Re,L(),(),0,-180,0,Kg1,1,GM，PM常作为控制系统的频域设计指标。GM，PM大表明相对稳定性好,但响应速度低。GM，PM小表明相对稳定性差,但响应速度高。过大或过小都不好，较好的经验值为：,GM和PM分别定义，所以两者间无固定的比例关系 ，PM大未必GM大 ，PM小未必 GM小 ，有时恒有GM= ，如有些惯性环节 ；有时没有PM值，如迟延环节。,二。相位裕量与时域指标的关系用Bode图分析控制系统时，常利用和c。c 大，系统频带宽，惯性小，响应快，调整时间短。 和 有一一对应关系，故也与超调量Mp成反比关系。： ： 分析标准二
11、阶系统：,推导：,成反比关系。参见图示。,可见 关系成正比。参见图示。,，所以与,由于,ts与间的关系见图。可见当c 不变时ts与成反比。,tsc,三.伯德图与系统稳态误差的关系如前所述，系统稳态误差和系统稳态误差系数与系统类型和开环增益有关。这里将说明，由伯德图幅频特性中的低频渐近线特征可直接看出系统类型和稳态误差系数。参见表5-2。 表5-2 系统类型和低频渐近线特征系统类型 斜率 L(=1) 与L=0的交点0 0 无交点1 -20 2 -40,斜率=0， 与实轴无交点。,20lgKp,L (),验证：,(1) N=0 (0型系统),0时有低频渐近线方程,(2) N=1 (1型系统),0时
12、有低频渐近线方程,斜率=-20 db/dec，交点: =Kv,(2) N=2 (2型系统),0时有低频渐近线方程,斜率=-20 db/dec，交点: =Ka,关于伯德图低频渐近线的小结：,第七节 闭环系统频率特性分析,一. 闭环频率特性与时域响应特性的关系 二. 闭环频率特性的求取 三. 等M圆 四. 等N圆(等圆) 五. 利用等M圆和等N圆求闭环频率特性 六. 对数幅相图 七. 尼科尔斯(Nichols)图,一. 闭环频率特性与时域响应特性的关系 1. 闭环频率特性的性能指标 (1) 谐振频率r和谐振峰值Mr (2) 截止频率和频带宽度b,Mr,r,b,M(0),0.707M(0),M(),
13、和频带宽度b,的值定义为截止频率,一般，Mr不希望大，大则不稳，振荡剧烈。 b希望大，大则响应快。,2. 闭环频率特性指标与时域性能指标的关系 (1)Mr和Mp 据第四节有,又知,Mr：1.21.5Mp；20%30%,所以,Mr和Mp的关系成正比，见下页图。,(2) Mr和ts的关系 已知,根据,得,b与成反比，频带越宽，阻尼越小。,(3) 频带宽度b和 的关系对于标准二阶系统，据,二. 闭环频率特性的求取 1、已知闭环传函 W(s)，则 W(j)=W(s)|s=j 2、已知开环传函 G(s)H(s)，则先求W(s)，再求W(j),限于单位反馈系统,W(j)=W(s)|s=j,3、已知 G(j
14、)H(j) 的奈氏图和伯德图，则可利用等M圆和等N圆图线推算出W(j)。,4、已知 G(j)H(j) 的对数幅相图，则可利用尼科尔斯图线推算出W(j)。,法1、2适用于系统数学模型已知的情况，法3、4适用于开环频率特性已知的情况， 法4比法3更常用。,三. 等M圆设单位反馈系统的开环传函为G(s), 则闭环传函,有闭环频率特性函数,此式说明等M轨迹在G(s)平面形成圆簇。由图可见等M圆簇有两个，以R=-0.5为界，与实轴对称。从G(j)曲线与等M圆簇线的交点可确定W(j)的M()。,R(),jI(),M=1,M=0.8,M=0.6,M=1.4,M=1.6,M=2,M=3,M=0.4,M=5,1
15、,-2,-3,-4,M1,M1,M时，收敛于（-1，j0）,M0时，收敛于原点,四. 等N圆（等圆）闭环相频特性函数。,(利用正切函数的差角公式),此式说明等N轨迹在G(s)平面形成圆簇。由图可见等N圆均通过(-1, j0)和原点，其圆心在 ，半径为 。从G(j)曲线与等N圆簇线的交点可确定W(j)的tg()，=主值k180，是多值函数。,jI(),R(),=20,=30,=40,=60,=-20,=-30,=-40,=-60,=80,=120,=-80,=-120,-2,0,-1,五. 利用等M圆和等N圆求闭环频率特性,对于单位反馈系统，可直接利用等M圆和等N圆由奈氏图G(j)求闭环频率特性
16、W(j)。具体作法为： 1. 将G(j)曲线叠加在等M圆线图上, 读取G(j)与等M圆的交点数据i, M(i), 1,2,3,L 2. 将G(j)曲线叠加在等N圆线图上, 读取G(j)与等N圆的交点数据i, (i), 1,2,3,L,3. 据交点数据i, M(i), 1,2,3,L，可做M曲线；据交点数据i, (i), 1,2,3,L，可做曲线。 进而可综合为M曲线。,举例：,-45,1.0,0,-90,M(), (),0,对于非单位反馈系统, 可转化为单位反馈系统后再处理。转换后，先求,六. 对数幅相图,1) 以上等M圆和等N圆是做在奈氏图上，而用伯德图比用奈氏图更方便。显然将等M圆和等N圆
17、做在伯德图上更好。但是实际常用的是对数幅相图。 2) 开环系统的对数幅相图可以看成是由伯德图的L-图和-图合并而成的L-图.,3) 在对数幅相图上增益裕量和相位裕量被表示的更简单明了.增益裕量的大小就是对数幅相曲线与 = -180 垂线的交点至L=0 水平线的距离,此交点低于L=0 则增益裕量为正;相位裕量的大小就是对数幅相曲线与L=0 水平线的交点至 = -180垂线的距离,此交点在 = -180垂线右侧则相位裕量为正.,七. 尼科尔斯(Nichols)图,1、 尼科尔斯(Nichols)图的概念 将奈氏图中的等M图和等N图变换到对数幅相图则得到尼科尔斯图 等M圆的变换：,最后得M圆在对数幅
18、相图上的规迹方程,求解得：,以M为参变量，令=0-180可得等M圆在对数幅相的曲线簇。,等N圆的变换：类似等M圆的变换可推得,以 为参变量，令=0-180可得等N圆在对数相的曲线簇。,2、尼氏图的应用 将对数幅相图叠在尼氏图上，通过相交点容易求出闭环系统频率特性的幅值和相角，通过相切点可求得谐振峰值和谐振频率。 举例：求单位反馈系统的闭环频率特性。,.1 .2 .5 1 2 5 10,-90,-20,-10,0,0,-180,20lgW(j) (db),W(j),.1 .2 .5 1 2 5 10,Mr=5(db),r=0.8,对数幅相图图示法： 作法：可先作伯德图 得L，再作对 数幅相图。,
