1、一、等可能概型,二、典型例题,三、几何概率,四、小结,第四节 等可能概型(古典概型),1.定 义,一、等可能概型(古典概型),具有以上两个特点的试验称为等可能概型或古典概型.,(2)试验中每个基本事件发生的可能性相同.,(1)试验的样本空间只包含有限个元素;,设试验 E 的样本空间由n 个样本点构成, A 为 E 的任意一个事件,且包含 m 个样本点, 则事 件 A 出现的概率记为:,2. 古典概型中事件概率的计算公式,称此为概率的古典定义.,3. 古典概型的基本模型:摸球模型,(1) 无放回地摸球,问题1 设袋中有4 只白球和 2只黑球, 现从袋中无 放回地依次摸出2只球,求这2只球都是白球
2、的概率?,解,基本事件总数为,A 所包含基本事件的个数为,(2) 有放回地摸球,问题2 设袋中有4只红球和6只黑球,现从袋中有放 回地摸球3次,求前2 次摸到黑球、第3 次摸到红球 的概率.,解,第1次摸球,6种,第1次摸到黑球,4种,第3次摸到红球,基本事件总数为,A 所包含基本事件的个数为,课堂练习,骰子问题 掷3颗均匀骰子,求点数之和为4的 概率.,4.古典概型的基本模型:球放入杯子模型,(1)杯子容量无限,问题1 把 4 个球放到 3个杯子中去,求第1、2个 杯子中各有两个球的概率, 其中假设每个杯子可 放任意多个球.,4个球放到3个杯子的所有放法,因此第1、2个杯子中各有两个球的概率
3、为,(2) 每个杯子只能放一个球,问题2 把4个球放到10个杯子中去,每个杯子只能 放一个球, 求第1 至第4个杯子各放一个球的概率.,解,第1至第4个杯子各放一个球的概率为,2o 生日问题 某班有20个学生都 是同一年出生的,求有10个学生生 日是1月1日,另外10个学生生日是 12月31日的概率.,课堂练习,1o 分房问题 将张三、李四、王五3人等可能地 分配到3 间房中去,试求每个房间恰有1人的概率.,解,二、典型例题,在 N 件产品中抽取n件,其中恰有k 件次品的取法 共有,于是所求的概率为,解,在N件产品中抽取n件的所有可能取法共有,思考：有放回情形？,例3 在12000的整数中随机
4、地取一个数,问取到的整数既不能被6整除, 又不能被8整除的概率是多少 ?,设 A 为事件“取到的数能被6整除”,B为事件 “取到的数能被8整除”则所求概率为,解,于是所求概率为,例4 （随机分组）将 15 名新生随机地平均分配到三个班级中去,这15名新生中有3名是优秀生.问 每一个班级各分配到一名优秀生的概率是多少? (2) 3 名优秀生分配在同一个班级的概率是多少?,解,15名新生平均分配到三个班级中的分法总数:,(1) 每一个班级各分配到一名优秀生的分法共有,因此所求概率为,(2)将3名优秀生分配在同一个班级的分法共有3种,对于每一种分法,其余12名新生的分法有,因此3名优秀生分配在同一个
5、班级的分法共有,因此所求概率为,例5 某接待站在某一周曾接待过 12次来访,已知 所有这 12 次接待都是在周二和周四进行的,问是 否可以推断接待时间是有规定的.,先假设：接待站的接待时间没有 规定,且各来访者在一周的任一天 中去接待站是等可能的.,解,故一周内接待 12 次来访共有,12 次接待都是在周二和周四进行的共有,故12 次接待都是在周二和周四进行的概率为,实际推断原理：小概率事件在一次试验中实际上几乎是不可能发生的 。,从而可知接待时间是有规定的.,例6 假设每人的生日在一年 365 天中的任一天 是等可能的 , 即都等于 1/365 ,求 64 个人中至少 有2人生日相同的概率.
6、,64 个人生日各不相同的概率为,故64 个人中至少有2人生日相同的概率为,解,我们利用软件包进行数值计算.,解：,（1）作放回抽样，显然有p(B)=a/(a+b),（2）作不放回抽样，将同色小球编号，可辨问题。每一种排列都为一个基本事件，摸球的任意性保证了各个基本事件的等可能性。,例7 (公平抽签问题）袋中有a只白球，b只红球，k个人依次在袋中取出一只球，（1）作放回抽样；（2）作不放回抽样，求第i(i=1,2,k)人取到白球（记为事件B)的概率?(ka+b）,（与次序无关）,例 8(匹配问题)某人一次写了n封信，又写了n个信封，如果他任意地将n张信纸装入n个信封，问至少有一封信的信纸和信封
7、是一致的概率是多少？,则所求概率为,解,同理可得,.,由概率的一般加法公式；,显然，当n充分大时，它近似于1-e-1,例9 50只铆钉随机地取来用在10个部件上,其中有3个铆钉强度太弱,每个部件用3个铆钉. 若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上,则这个部件强度就太弱.问发生一个部件强度太弱的概率是多少？,解,记,第 个部件强度太弱,因只有 个铆钉强度太弱, 故 互不相容,故发生一个部件强度太弱的概率是,问,按古典概型公式怎样计算,？,任选 个铆钉装在一个部件上作为基本事件,故样本点总数为,而有利场合数为,故所求概率为,先从10个部件选出一个, 再将3个强度太弱的铆钉全装上,例10：从n双不同
8、的鞋子中任取2r（2rn)只，问 (1) 没有成对鞋子；（2）只有1对鞋子；（3）有r对鞋子的概率？,解：,用A,B,C分别表示上述事件：,则样本空间总数为：,则有利事件数分别为：,定义 当随机试验的样本空间是某个区域,并且任 意一点落在度量 (长度, 面积, 体积) 相同的子区域 是等可能的,则事件 A 的概率可定义为,说明 当古典概型的试验结果为连续无穷多个时, 就归结为几何概率.,三、几何概型,那末,两人会面的充要条件为,例11 甲、乙两人相约在 0 到 T 这段时间内, 在预 定地点会面. 先到的人等候另一个人, 经过时间 t ( tT ) 后离去.设每人在0 到T 这段时间内各时刻
9、到达该地是等可能的 , 且两人到达的时刻互不牵 连.求甲、乙两人能会面的概率.,会面问题,解,故所求的概率为,若以 x, y 表示平面 上点的坐标 ,则有,例12 甲、乙两人约定在下午1 时到2 时之间到某 站乘公共汽车 , 又这段时间内有四班公共汽车它 们的开车时刻分别为 1:15、1:30、1:45、2:00.如 果它们约定 (1) 见车就乘; (2) 最多等一辆 车,求甲、乙同乘一车的概率.（假定甲、乙两人到达车站的时刻是互相不牵连的,且每人在1时到2 时的任何时刻到达车站是等可能的.）,见车就乘 的概率为,设 x, y 分别为 甲、乙两人到达的时刻,则有,解,蒲丰投针试验,例9 177
10、7年,法国科学家蒲丰(Buffon)提出了投针 试验问题.平面上画有等距离为a(0)的一些平行直 线,现向此平面任意投掷一根长为b( a )的针,试求 针与任一平行直线相交的概率.,解,蒲丰资料,由投掷的任意性可知, 这是一个几何概型问题.,蒲丰投针试验的应用及意义,历史上一些学者的计算结果(直线距离a=1),利用计算机模拟所设计的随机试验蒙特卡罗方法（MC),利用蒙特卡罗(Monte-Carlo)法进行计算机模拟,课堂练习：将一根长度为L的直棒折成三段，求折成的三段可以构成一个三角形的概率？,最简单的随机现象,古典概型,古典概率,几何概型,试验结果 连续无穷,四、小结,蒲丰资料,Born:
11、7 Sept 1707 in Montbard, Cte dOr, France Died: 16 April 1788 in Paris, France,Georges Louis Leclerc Comte de Buffon,例1 在房间里有10个人,分别佩戴从1号到10号的 纪念章,任选3个记录其纪念章的号码.,(1)求最小号码为5的概率;(2)求最大号码为5的概 率.,解,(1)总的选法种数为,最小号码为5的选法种数为,备份题,(2)最大号码为5的选法种数为,故最大号码为5的概率为,故小号码为5的概率为,例2 将 4 只球随机地放入 6 个盒子中去 ,试求每 个盒子至多有一只球的概率.,解,将4只球随机地放入6个盒子中去 , 共有64 种 放法.,每个盒子中至多放一只球共有 种不同放 法.,因而所求的概率为,
