1、6.5 合情推理与演绎推理,基础梳理 1. 归纳推理 根据一类事物中_具有某种属性, 推断该类事物中_都具有这种属性的推理, 叫作归纳推理.,部分事物,每一个,归纳推理是由部分到_, 由个别到_的推理. 归纳推理的一般步骤: (1)通过观察个别情况发现某些_; (2)从已知的相同属性中推出一个明确表述的_.,整体,一般,相同属性,一般性命题,2. 类比推理 (1)根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性质, 推测其中一类事物具有另一类事物_的性质的推理, 叫作类比推 理(简称类比). 类比推理的一般步骤: 找出两类事物之间的_;,类似(或相同),相似性或一致性,用一类事物的性质去推测另一类
2、事物的性质, 得出一个明确的命题. (2)前提为真时, 结论可能为真的推理, 叫作合情推理. 归纳推理和类比推理是数学中常用的合情推理.,思考探究 1. 归纳推理与类比推理的相同点与区别是什么？ 提示: 两种推理的相同点与区别: 类比推理和归纳推理的结论都是有待于证明的. 归纳推理是由特殊到一般的推理, 类比推理是由特殊到特殊的推理.,3. 演绎推理 (1)演绎推理: 根据已知的_和_, 按照严格的_ 得到新结论的推理过程. (2)演绎推理的一般模式“三段论”: _已知的一般原理;,事实,正确的结论,逻辑法则,大前提,_所研究的特殊情况; 结论根据一般原理, 对特殊情况作 出的判断. (3)合
3、情推理与演绎推理的区别,小前提,不确定,三段论,真,思考探究 2. 演绎推理所获得的结论一定可靠吗？ 提示: 演绎推理是由一般性的命题推出特殊性命题的一种推理模式, 是一种必然性推理. 演绎推理的前提与结论之间有蕴含关系, 因而, 只要前提是真实的, 推理的形式是正确的, 那么结论必定是真实的, 但是错误的前提可能导致错误的结论,课前热身 1. 观察(x2)2x, (x4)4x3, (cosx) sinx, 由归纳推理可得: 若定义在R上的函 数f(x)满足f(x)f(x), 记g(x)为f(x)的导函数, 则g(x)( ) A. f(x) B. f(x) C. g(x D. g(x),解析:
4、 选D.通过观察所给的结论可知, 若f(x) 是偶函数, 则导函数g(x)是奇函数, 故选D. 2. 三段论: “所有的中国人都坚强不屈, 玉树人是中国人, 玉树人一定坚强不屈” 中, 其中“大前提”和“小前提”分别是( ) A. B. C. D. ,解析: 选A.解本题的关键是透彻理解三段论推理的形式和实质: 大前提是一个“一般性的命题”, 即所有的中国人都坚强不屈; 小前提是“这个特殊事例是否满足一般性命题的条件”, 即玉树人是中国人, 结论是“这个特殊事例是否具有一般性命题的结论”, 即玉树人一定坚强不屈. 故选A.,3. 对于平面几何中的命题“夹在两平行线之间的平行线段相等”, 在立体
5、几何中, 类比上述命题, 可以得到命题_. 解析: 利用类比推理可知, 平面中的直线应类比空间中的平面. 答案: 夹在两平行平面间的平行线段相等,4. (2010高考陕西卷)观察下列等式: 132332,13233362,13233343102, , 根据上述规律, 第五个等式为_. 解析: 由所给等式可得: 等式两边的幂式指数规律明显, 底数关系如下:,123,1236,123410, 即左边底数的和等于右边的底数. 故第五个等式为: 132333435363(123456)2212. 答案: 132333435363212,考点1 归纳推理,(2011高考山东卷)设函数,【规律小结】 归纳
6、推理分为完全归纳推理和不完全归纳推理, 由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的, 但它由特殊到一般, 由具体到抽象的认识功能, 对科学的发现是十分有用的.,备选例题 (教师用书独具),变式训练 1. (2011高考陕西卷)观察下列等式 11 2349 3456725 4567891049 照此规律, 第n个等式为_.,解析: 观察等式左侧: 第一行有1个数是1; 第二行是3个连续自然数的和, 第一个数为2, 第三行是5个连续自然数的和, 第一个数为3, 第四行是7个连续自然数的和, 第一个数为4.依此规律, 第n行是2n1个连续自然数的和, 其中第一个数为n,第n行左侧为: n(n1)(n2)n
7、(2n2)n(n1)(n2)(3n2); 等式右侧; 第一行112, 第二行932, 第三行2552, 第四行4972.依此规律, 第n行是(2n1)2, 第n个等式为n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2. 答案: n(n1)(n2)(3n2) (2n1)2,考点2 类比推理设V是全体平面向量构成的集合. 若映射f: VR满足: 对任意向量a(x1, y1)V, b(x2, y2)V, 以及任意R, 均有fa(1)bf(a)(1)f(b), 则称映射f具有性质P.,现给出如下映射: f1: VR, f1(m)xy, m(x, y)V; f2: VR, f2(m)x2y, m(x, y)V;
8、 f3: VR, f3(m)xy1, m(x, y)V. 其中, 具有性质P的映射的序号为_. (写出所有具有性质P的映射的序号),【解析】a(x1, y1), b(x2, y2), a(1)b(x1(1)x2, y1(1)y2). 对于, f1(m)xy, f(a(1)b)x1(1)x2y1(1)y2(x1y1)(1)(x2y2). 而f(a)(1)f(b)(x1y1)(1)(x2y2),f(a(1)b)f(a)(1)f(b). 具有性质P. 对于, f2(m)x2y, 设a(0,0), b(1,2), a(1)b(1, 2(1), f(a(1)b) (1)22(1)243, 而f(a)(1
9、)f(b)(020)(1)(122)3(1),又是任意实数, f(a(1)b)f(a) (1)f(b), 故不具有性质P. 对于, f3(m)xy1, f(a(1)b)x1(1)x2y1(1)y21 (x1y1)(1)(x2y2)1,又f(a)(1)f(b)(x1y11)(1) (x2y21)(x1y1)(1)(x2y2) (1)(x1y1)(1)(x2y2)1, f(a(1)b)f(a)(1)f(b). 具有性质P. 综上, 具有性质P的映射的序号为. 【答案】 ,【名师点评】 类比推理是由特殊到特殊的推理, 推理的结果不一定正确, 但是可以通过严格的逻辑证明来解决这类问题, 在类比时要注意
10、已知问题与类比问题的共性与区别. 通常情况下, 平面图形中的点、线、面可类比为空间图形中的线、面、体. 另外常见的类比还有代数中的加减运算可类比为乘除运算, 等差与等比的类比, 0与1的类比, 平面几何与空间几何的类比等.,备选例题(教师用书独具)在ABC中, ABAC, ADBC于点D.,变式训练,考点3 演绎推理,【名师点评】 演绎推理是由一般到特殊的推理, 数学的证明过程主要是通过演绎推理进行的, 只要采用的演绎推理的大前提、小前提和推理形式是正确的, 其结论一定是正确的, 一定要注意推理过程的正确性与完备性.,备选例题(教师用书独具)函数yf(x)的定义域为M, 对于任意的x1, x2
11、M, 若|f(x1)f(x2)|x1x2|,【解】 函数f(x)的定义域MR.设任意x1, x2R,变式训练 3. 设S是至少含有两个元素的集合. 在S上定义了一个二元运算“*”(即对任意的a, bS, 对于有序元素对(a, b), 在S中有唯一确定的 元素a*b与之对应). 若对任意的a, bS, 有 a*(b*a)b, 则对任意的a, bS, 下列等式中 不恒成立的是( ),A. (a*b)*aa B. a*(b*a)*(a*b)a C. b*(b*b)b D. (a*b)*b*(a*b)b 解析: 选A.由定义a*(b*a)b, 可得a*(b*a)*(a*b)b*(a*b)a, 即B成立
12、;,再将a*(b*a)b中的a换成b, 即得b*(b*b)b, 即C成立; 再将a*(b*a)b中的a换成a*b, 即得(a*b)*b*(a*b)b, 即D成立; 而(a*b)*aa是由定义无法推得的. 故选A.,方法技巧 1. 合情推理主要包括归纳推理和类比推理. 数学研究中, 在得到一个新结论前, 合情推理能帮助猜测和发现结论, 在证明一个数学结论之前, 合情推理常常能为证明提供思路与方向.,2. 合情推理仅是“合乎情理”的推理, 它得到的结论不一定正确. 而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下).,失误防范 1. 合情推理是从已知的结论推测未知的结论, 发现与猜想的结
13、论都要经过进一步严格证明. 2. 合情推理中运用猜想时不能凭空想象, 要有猜想或拓展依据.,命题预测 从近两年的高考试题来看, 归纳推理、类比推理等问题是高考的热点, 归纳推理、类比推理大部分在填空题中出现, 为中、低档题, 突出“小而巧”, 主要考查类比推理、归纳推理的能力.,演绎推理大多出现在解答题中, 为中、高档题目, 在知识交汇点处命题, 考查学生的逻辑推理能力, 以及分析问题、解决问题的能力. 预测2013年高考仍将以归纳推理、类比推理为主要考查点, 重点考查学生的逻辑推理能力.,典例透析,(2010高考福建卷)观察下列等式: cos 22cos21; cos 48cos48cos2
14、1; cos 632cos648cos418cos21; cos 8128cos8256cos6160cos432cos21;,cos 10mcos101280cos81120cos6ncos4pcos21. 可以推测, mnp_. 【解析】 观察等式可知, cos的最高次的系数2,8,32,128, 构成了公比为4的等比数列, 故m1284512;取0, 则cos 1, cos 101, 代入等式, 得1m12801120np1, 即np350 (1);,【答案】 962,【得分技巧】 归纳推理的难点是由部分结果得到一般结论, 破解的方法是充分考虑这部分结果提供的信息, 从中发现一般规律; 类比推理的难点是发现两类对象的相似特征, 由其中一类对象的特征得出另一类对象的特征, 破解的方法是利用已经掌握的数学知识, 分析两类对象之间的关系, 通过两类对象的已知的相似特征得出所需要的相似特征.,【失分溯源】 本题易失误的是: (1)归纳时找不准确前几项的规律, 胡乱猜; (2)不知道从何处入手, 归纳不出结论.,本部分内容讲解结束,按ESC键退出全屏播放,
