1、,第一章 静电场,相对于观察者静止的电荷产生的电场称为静电场,本章主要讨论静止电荷间的相互作用,从库侖定律出发,引入场强E和电势v概念,从而导出高斯定理和环路定理,並应用这些概念和规律耒处理一些典型问题。,1 静电基本现象.基本规律,1.1 静电基本现象电荷,1电荷定义： 物体经摩擦后能吸引轻小物体的现象,就称它带了电荷,这物体叫带电体。,电荷的性质：经絲绸摩擦过的两根玻琍棒相互排斥; 经毛皮摩擦过的两硬橡胶棒也相互排斥；各取其中的一根, 即玻琍与硬橡胶棒间则相互吸引。实验发现：电荷只有正.負电两种。,最早是富兰克林提出的:上述的玻琍棒带正电,橡胶棒带的是负电.故电荷的性质：同电相斥,异电相吸
2、.,电量：物体所带电荷的数量的多少,叫电量。单位：库仑。实验室用验电器下端金属箔张开角度大小耒测量电量的多少。,2. 电荷量子化,电子带电内-e,质子带电为e(= 1.6 x10-19库) ,它们是电荷的基本单元。一中性物体失去电子带正电,得到电子带负电,它们的带电过.程的电量改变,只能取一系列不连读的值,这种特性称电荷量子化。,故任何带电体的带电量只能是e或-e的整倍,ne(n=1,2,3, )但,实际带电的n数值非常巨大,电量可以认为是连续变化的。,上述基本电荷並不基本。如中子不带有电荷,但它有磁性,这是因为它和其它基本粒子都有一共同属性自旋, 这说明中子内部有电结构。六十代物理学家提出一
3、个设想,认为电子.质子.中子等粒子由更基本粒子夸克(层子)组成,不同夸克带不同的分数电荷,即e/3,2e/3,3. 电荷的对称性,实验发現：一类带负电-e的粒子如电子、子、负介子、负k介子、反质子等,另一类带正电e的粒子有正电子、反子、正介子、正k介子、质子等,象这样正反粒子之间所带正、负电荷是对称的。这一点可从正电子、电子湮没为不带电的光子可证明正子与电子的电荷是严格地等量而异号。除此之外,正反粒子的质量、寿命等都是相同的。,4.电荷守恒定律,从宏观上讲,不带电物体与带电体接触而带上了电,此时两带体带电总和等于原带电体的电量；摩擦起电是两不带电物体相互摩擦而使两物体带上等量异号电荷；而感应起
4、电则是不带电导体近远端出现等量异号的感应电荷.,-e/3,-2e/3,虽还没被实验证实但物理学家们相信电荷存在,不管如何,夸克带电荷仍是量子化的。,5 电荷不变性,在原子,分子中,原子核中的质子与饶原子核运转的电子运动状态大不相同,但原子.分子始终保持电中性,也就是说质子.电子的运动速率不等,而它们电量严格相等.这个事实证明了一个带电体的电量与参照系选择无关,这称之为电荷不变性.例如,静止时电子的质量.电量为m0. e.当它以速度v运动时质量变为m0/(1-v2/c2)1/2但电量仍为e保持不变.,6 物质的电结构,事实证明,在一个与外界无电荷交換的孤立系中电荷量始终保持不变。即电荷守恒定律。
5、,从微观上讲,如衰变过程,重核裂变过程,轻核聚变过程；正负电子对的产生和湮没；还有化学反应中的物质过程。总而言之,变化前后的电荷代数和保持不变。,物质由分子.原子组成,而原子是由原子核(质子中子)和电子构成.按电阻率不同可分绝缘体,导体和半导体.,1.2 库仑定律,1. 点电荷,带电体的形状和大小可以忽略不计时,此带电体可以看作点电荷.点电荷是个理想化的模型,是个物理抽象.但实际中的具体问题,只要它的线度远远小于到考察点距离情况下,此带电体可看作点电荷,2. 库仑定律,1785年,库仑从实验结果总结出点电荷之间相互的作用规律： 真空中,两静止点电荷的相互作用力大小与电量q1和q2的乘积成正比,
6、与它们之间的距离r12平方成反比,方向在两电荷的联线上,同电相斥,异电相吸.其数学矢量式如下：,说明:,（2）平方反比律的精度可用式1/r2（3x10-16）表示.,（3）库仑定律中r在10-15107米数量级都是正确的.,（1）库侖定律仅适合点电荷 ,q1. q2为代数量.,3. MKSA有理化单位制,电磁学SI制是以长度米M、质量千克K、时间秒S、电流安培A这四个基本物理量作为基本单位,其它物理量的单位可由这些导出,称导出单位,例如电量的单位库仑C等于电流单位安培A乘以时间T.,真空电容率 0=8.85415x10-12 库仑2/牛頓.米2 则 k=8.988x1099.0x109 牛頓.
7、米2/库仑2,4 .例子,计算处于基态的氢原子中的库侖力和万有引力.,解 : 已知玻尔半径 r=0.529x10-10米 , 电子质量 m= 9.11x10-31公斤,质子质量 M=1.67x10-27公斤丶电子带电量-e=-1.60x10-19库侖,无理数,这里引进4 因子,以后以此导出的公式不会再出现4 ,这样就变成“有理化”了.,氢原子原子核与电子库仑力、万有引力分别为：,(牛頓),(牛頓),(倍),从本例可以看出：,1任何带电体质量不为零,但万有引力远远小于电力,可忽略.目前认为自然界存在四种相互作用大小排序为：强相互作用.电磁相互作用、弱相互作用、万有引力.,2维系原子稳定性主要靠库
8、仑力.,2 电场 电场强度,2.1. 电场,力学中物体间的相互作用力是直接接触中才会出现作用力.如桌子上一本书,书对桌面的压力与桌面对书的支承力,构成一对作用力反作用力.这一点比较直观.,那么, 地球表面附近空间中的物体的引力, 应当归于地球产生的重力场, 是通过重力场耒传递对物体的作用的. 是一非接触作用力. 对此问题, 乃至天体间的万有引力、电荷间的相互作用,历史上有过错误认识：,一种是超距作用观点, 认为电荷间的作用是超越空间 ,瞬时发生的；另一种是“以太”观点,认为电荷间的作用是由一种特殊媒质以太耒传递的,这两观点认为两电荷间的作用是直接作用：,法拉笫首先提出电磁近距作用的“力线”图象
9、, 麦克斯韦在法拉第近距作用观点的基础上提出了电磁场概念.,实验事实说明,这两种观都不符合客观实际。,这样,人们认识到了电荷与电荷之间的相互作用实际上是电荷周围存在着电场,此电场对另一电荷施于作用力：,这种作用需要中间媒介(电场)且以有限速度,(若点电荷q突然作加速运动,它是以光速发出的场扰动)耒传递作用,要有一定的时间,这在电磁现像中称推迟效应,这就是近距作用观点.,由此看耒,有电荷地方周围必存在电场的观点.有人认为先有电荷,后才有电场,电荷电场同时存在.以后,我们会逐步地认识到电磁场的物质性,场是物质存在的另一形式, 它与实物一样具有质量、动量、能量这种共同属性.,电荷相对观察者静止的电场
10、称静电场, 与参照系选择有关,它 的特点是场不随时间变化,是电磁场的特殊情况,实践中我们还发现电场有两方面的重要特性：,(1) 处在电场中的电荷要受到电场力的作用, 说明电场具有力的性质.,(2) 电荷在电场中受电场力作用而发生移动, 此时电场对电荷要做出一定的功,说明电场有能量.,2.2. 电场强度,1. 检验电荷q0,这样的点电荷：(1)带电量充分小,不致于改变原场分布.(2)几何线度充分小,能体现点的概念.为方便计,设q0为正电荷.,2.比值F/q0的确定,(1) 在电场的某处依次置上带电量不等的检验电q01.q02、q0n、q0 ,测得电场力分别为F01、F02、F0n 、F, 结果发
11、现 电场力虽大小不等,但方向相同. 各电场力与相应检验电荷的电量的比值则是相同的,即有,上式表明,静电场中某点确定,则比值F/q0有确定的量值和方向.,(2) 同一检验电荷q0分别放置在电场中的不同的点上,测得电场力分别为F 1 、F2、Fn、 F, 一般大小、方向不相同, 故F/q0的比值和方向一般随场点的不同而变化.,其物理意义:是单位正电荷在该点所受的电场力,E的方向即此力的方向.实际上电场强度E是与q0无关的物理量.,如果电场中各点的电场强度矢量不相同, 之为 不均匀电场. 若各点的场强大小和方向都相同,称它为均匀电场.,3. 电场强度,(1)电场强度的定义. 通过2中(1)(2)的分
12、析可知,电场中某一比值F/q0有确定的量值和方向, F/q0是个矢量. 它反映了电场的特性. 为了表征电场具有力的性质,引入电场强度概念,简称为场强,比值F/q0有确定的量值和方向, F/q0是个矢量. 它反映了电场的特性. 为了表征电场具有力的性质,引入电场强度概念,简称为场强,用E表示.故电场强度的定义式为：,4. 电场强度的叠加原理,在点电荷组q1 ,q2, qn的电场中, 检验电荷q0所受的电场力为每个点电荷对q0的库仑电力F1, F2 , ,Fn的矢量和,即,F= F1 + F2 + +Fn,上式两边除以q0 :,(2) 电场强度的单位 由定义式E=F/q0 确定场强的单位为：牛顿/
13、库仑,以后还有另一单位,即伏特/米.,E = E1 + E2+ + En = Ei,上式表明,点电荷组场强是每个点电荷场强的矢量和, 此结论称为电场叠加原理.在电场的叠加中彼此互不影响.,则有上式由场强定义可得E=F/q0 ,E1= F1 /q0 , ,En = Fn /q0 ,故有：,求总场强在不引入坐标系的情况下,可以这样作,将各场强矢量逐一地依次头尾相连,第一个的头与最末一个的尾连接所得到矢量即总场强,方向从第一个指向最后一个.如下图所示.,在直角坐标系下求总场强,应先求各点电荷的场强的三个分量代数和,即Eix、Eiy、Eiz.于是可得总场强的大小为,E=( (Eix )2 +(Eiy)
14、2 + (Eiz)2 )1/2,总场强E的方向由方向余弦cos ,cos ,cos 决定,其中. 分别是总场强E与x.y.z轴的爽角,故方向余弦的数学表示式为：, ,5.电场强度的计算,(1).点电荷的场强,在点电荷q的电场中,r处的电场强度由定义式E=F/q0求得,其中F是q对检验电荷q0的库仑力, 即F=qq0 r0/40r2 , r0为单位矢量,故点电荷的电场强度矢量式为,上式中q为代数量,正电荷时为正数,负电荷时为负量.,(2).点电荷组的场强,在点电荷组q 1.q 2. ,qn 的电场中, 某点A的电场强度可由场强叠加原理E=Ei和点电荷的场强公式Ei=qiri /40ri2, ri
15、为qi到A点位矢,于是求得点电荷组的总场强为,1) 线电荷的场强 已知线电荷密度函数为=(x,y,z), 若把线电荷分成许许多多的电荷元,看作特殊的点电荷组,其中ll+dl电荷元dq= dl看作点电荷,利用点电荷的场强公式求出dq的场强为 dE=dqr0/40 r2,最后由场强的叠加原理求出线电荷一总场强的积分式,(3).连续分布电荷的场强,2) 面电荷的场强 面电荷密度为=(x,y,z).这里也把整个曲面上电荷看作由众多电荷元组成特殊点电荷组,面元ds带电量dq=ds,它的场强dE=dsr0/40r2, 由叠加原理求出面电荷总场强,3) 体电荷的场强 体电荷密度= (x,y,z).把整体电荷
16、看作许多体电荷元组成的点电荷组,其中某丶体电荷元dq= dv的电场dE= dvr0/40r2,这样,可由场强的叠加原理求体电荷总场强的积分式,x,y,z,o,dv,r,6.例子,例1 电偶极子电场中的电场强度.,解 一对等量异号.间距为l的带电系统,称电偶极子,如图所示. l的方向由-q指向+q,pe=ql称为电偶极矩,简称电矩,它是一个矢量.,(1)延长线上p处电场强度,(2)垂直平分线上的电场强度,E=E+cos+ E-cos=2 E+cos,(r=yl),(3).在极坐标系下远场区(rl)的电场强度.,把pe分解正交两分量per =pecos,pe=pesin ,参照(1)求per延长线
17、力上的电场(径向分量)为,同样,参照(2)求得,pe的垂直平分线上的电场(横向量)为,于是,极坐标系下场强(rl)大小为:,例2 电荷均匀分布长直导线电场中的电场强度,线电荷密度为.,解 长带电直线与y轴重合,在yy+dy的电荷元 dq= dy, 它在x轴上的电场强度dE= dq/40r2= dy /40(y2+a2),场强的两个分量dEx= dEcos, dEy= dE sin .由于对称性,Ey= dEy =0,而,因为dycos=rd,而r=a/cos,故上式可写成,于是,电荷均匀分布长直导线电场中的电场强度大小为,方向平行于x轴.,例3.无穷大均匀带电平面的电场.面电荷密度为.,解:
18、把带电平面分刈成许多平行于z轴细狭条,其中y-y+dy榨条单位长度带电量d= .1.dy利用长直带电导线的电场,E= /20a求得细榨条的电场为dE= d/ 20r,分量dEx=dE.cos,电dEy=dEsin , 由于对称性,Ey=dEy=0,而Ex为:,故板外电场大小为:,从此看出板外为一均匀电场,方向垂直板面.,由此可得到平板电容器,正负板面电荷密度分别为 ,则由叠加原理求得两扳间的场强E=/0 ,两板之外E=0 .,例4. 半径为R带电量为q均匀带电园环中心轴线上的电场.,解: 依题意求得线电荷密度=q/2R,取一段弧子dl,带电量dq= .dl=q.dl/2R,它在中心轴线上场强d
19、E=dq/40r2,平行于 x轴分量dE/=dEcos垂直于x轴分室dE =dEsin ,由于对称性E= dE=0,而,故中心轴线上的总场强为:,方向沿x轴.由上式还可以得到: (1)当x=0,即园环中心处E=0. (2)当x R时,E q/40x2 .园环近似为点电荷. (3)借用上式可以计算半径为R的均匀带电(面电荷密度)园盘中心轴线上x的场强.在r-r+dr取一小园环,带电量dq= 2rdr,它在轴线上电场利用上式得dE=dqx/ 40 (x2+r2)3/2,对r从0到R积分得E= (1-x/(R2+x2)1/2)/20 ,当R,园盘变为无穷大平板,场强可写为E / 20 .,例5.半径
20、为R,面电荷密度为的均匀带电上半球面的球心处场强,解:两平面z,z+dz所爽的球面看作半径为r的小园环,面积ds=2r.dl= 2Rsin.Rd,带电量dq=.ds,此园环在球心o处的场强为:,故球心o处总场强为:,3 电力线.电通量.,3.1. 电力线,1.定义 电场中有这样一族曲线,曲线上的任一点的切线方向为该点的场强E的方向,这曲线族称电力线.,2.电力线方程 由于dl /E ,dl =dx,dy,dz E=Ex, Ey ,Ez,而方向余弦 cos=dx/dl= Ex /E, cos=dy/dl= Ey/E, cos=dz/dl= Ez/E,因而可得电力线方程为:,3.电力线的性质,(1
21、)电力线始于正电荷,终止于负电荷,(2)电力线不中断.不相交,若相交, 交点处不止一个电场方向,这与实验事实不符.,4. 电力线数密度与场强量值的关系 过并垂直电力线取一小面元ds, 通过它的电力线数为de,定义de/ds为该点的电力线数密度.若规定电力线数密度与场强大小建立关系,即,其物理意义:场强的大小等于该点单位面积上的电力线数.由此可知,电力线密处场强大,疏处场强小.场强的方向即电力线方向.,5 . 两点说明: (1)为了形象直观地描述电场而引入电力线,电场是客观存在,电力线并不客观存在; (2)电力线一般不是电荷的运动轨迹,只有电荷初速为零,电力线为直线时才是.,3.2 电通量,电场
22、中,通过任一曲面S的电力线数,称作通过S的电通量.用e表示,1. S垂直均匀电场E 此种情形的通量为:,e= E . S=ES,2. S与均匀电场E爽角 此种情形的电通量e为:,e= E. S=EScos,把s分刈成许多小面元, 其中小面元ds的电通量de=E.ds =Ecosds,这样求得所有小面元电通量总和由积分式求出:,e= s E.ds = s Ecosds,从上面讨论可知:电力穿出耒时,0/2, de0;电力线穿进去时, /2, de0.,面向量S=s n. n为垂直于S单位矢量,即法向量.,3. 任一曲面S在不均匀电场中的电通量,4. 电通量叠加原理,在多个带电体的电场中,场强由电
23、场叠加原理得,此电场中曲面S的电通量：,e= s E.ds = s (E1+E2+En ).ds = s E1.ds+ s E2.ds + s En.ds = e1+ e2+ en=ei,通量为各电荷单独存在时通量的代数和,此结论称电通量叠加原理,E=E1+E2+En,1.点电荷q在球面球心处的电通量,2.点电荷q位于闭曲面s内的电通量,首先介绍立体角知识.半径为r的球面上有一小面元面积ds它对球心所张的立体角定义为d=ds/r2,故整个球面对球心的立体角=(球面面积/r2)= 4r2/r2= 4 ,立体角的单位:球面度.,任一小面元ds的立体角,应把ds投影到相应的球面上,如图所示ds=ds
24、.cos ,它的立体角,4 高斯定理,高斯定理是研究闭合面S的电通量,闭合面S称为高斯面.,4.1 高斯定理的证明,从上分析可知,一闭合曲面对其内某一定点所张立体角为4球面度;其外某一定点所张立体角为零.,下面接着讨论任一闭曲面s包围点电荷q的电通量:,d=ds/r2= ds.cos/r2=ds r/r3 (面向量元ds= ds.n), 由此可知 0/2,d为正; /2 ,d为负.于是曲面s对某定点所张的立体角为,3.点电荷q位于闭曲面s外的电通量,由此可看出:q位于高斯面s外,通量为零,即穿进的电力线数(为负)等于穿出耒的(为正),净余通量为零.,由此可知:只要闭曲面(高斯面)s包围了点一电
25、荷q, 通量一定为q/0 .,4. 点电荷组电场中的闭曲面s的通量,设有q1.q2, qn n个点电荷在高斯面s内, qn+1, ,qn+k k个点电荷在高斯面s之外,这(n+k)个点电荷总电场E=E1+En+En+1+En+k,曲面s的通量可由电通量的叠加原理求得:,(1).s内n个点电荷的电通量:,(2).s外k个点电荷的电通量,由上讨论可得:闭曲面s内外同时存在多个点电荷的通量为:,即s内点电荷电量代数和除以0。,4.2 高斯定理,综上所述得知:通过任意闭合面的电通量等于此曲面包围所有电荷电量的代数和除以0, 与闭合面外有否电荷无关, 此结论称高斯定理.此曲面称高斯面.定理数学式为:,上
26、式括号为高斯面包围连续体电荷分布的情形.,4.3 高斯定理的应用,例1.均匀带电.线电荷密度为的长直导线的电场.,解: 由于电场是正园柱面对称, 故选择有上、下底、侧面(半径为a)组成的闭合面高斯面.这种场的电力线不会从上下底穿出, 只垂直侧面穿出或穿入, 且电力线密度是均匀的,即E的大小是相同的,设柱高为L, 高斯面包围的电荷电量为L.依高斯定理可得:,由上式末等号两旁的关系式求得均匀带电长直导线的场强为:,例2. 半径为R、电荷体密度为的均匀带电球体内外的场强.一,解: (1) 在rR取半径r1的高斯面s1(球面), 包围的电荷量4 r13/3,S1上的电通量,依高斯定理,即,求得球内的场
27、强,(2) 在rR取半径为r2高斯面s2,依高斯定理求得:E4r22=4R3/30 =q/0,于是求得球外电场为:,例3. 面电荷密度的均匀带电无限大平面的场强.一,解: 依题意可推知E垂直板面,由此选择高斯面如图所示,包围电量为S,电力线只从两底穿进或穿出,故由高斯定理得:,这样求出均匀带电大平面周围为一均匀电场为:,4.4. 高斯定理的几点思考一,高斯定理是电磁场重要性质之一,具有重要的理论价值.但应用它耒解题,象上面这样的正柱面.球面和平面高度对称的三大类型的电场,作为数学问题是转化为代数方程耒解决.所以在解题的思路上应由电荷分布特点去推知电场的分布,再去选择高斯面:要吗垂直电力线.要吗
28、平行于电力线,最后简化高斯定理的数学式为代数式,进而写出场强分布式.,5.1 静电场的保守性,1. 静电场力的功,当电荷在电场中移动时,电场力对电荷要做功.设想一检验电荷q0沿着电场中任一曲线L从a点移到b点电场力所作的功为:,q,(1).在点电荷q场中的功,上式表明,q0在点电荷q的电场中移动,电场力的功只与始末位置有关,与路径无关.,5 电势,(2).在点电荷组场中的功,点电荷组q1, q2 ,qn的场强分别为E1, E2, , En.总场强由叠加原理求得 E=E1+E2 + +En,检验电荷q0在场中移动电场力的功,上述的结论是: 功只与初末位置有关,与路径无关. 连续分布的电荷可以看作
29、特殊的点电荷组,q0在这样的场中移动的功,仍有上述的结论.,2 静电场的环路定理,设q0在静电场中选择L1,L2两条不同路径从a移到b,由于静电场力对q作的功与路径无关,则有:,由上式整理得,第二项积分上下限对调后为,最后写成环路积分形式,上式表明静电场E沿着闭合路径L积分为零.此结论称静电场的环路定理.它与静电场力的功与始末位置有关,与路径无关的结论是等价的,都可说明静电力是保守力,静电场是保守场.它与高斯定理一起,反映静电场两方面的重要特性.,5.2 电势能,功是过程量,是能量改变的量度. 静电场能做功,说明静电场有能量. 静电场的功只与位置有关, 在重力场中与位置有关的能量称重力势能,
30、仿此,引入电势能概念, 用w表示静电场中某点所具有的电势能.这样可把静电场力的功A看作始末两点电势能wa , wb之差:,电势能和重力势能一样都是一个相对性的量,需选择某点的电势能作为参考值(零值). 若场源电荷分布在有限空间内,可选 于是,上式表明, 某一点的电势能等于将q0从a处沿任意路径移到无限远,电场力对q0所作的功.实际上电势能属于包括场源在内的电荷系统所共有,但习惯上只说q0的电势能.,电场对q0做正功时,电势能减少; 做负功时,电势能增加.,5.3 电势.电势差,电势能不仅与E有关,还与q0有关.而比值wa/q0只与E有关,它能表征静电场中给定点的性质, 故用比值wa/q0耒定义
31、一个新的电学量电势,或称电位,用V表示.于是可得:,1. 电势的定义,其物理意义:某点电势等于单位正电荷在该点的电势能.或理解为单位正电荷从该点沿任意路径移到无限远处静电场力的功.,电势也是个相对的量,故应选某点电势作为参考值: (1).场源电荷分布在有限区域内,应选 ; ( 2).场源电荷分布至无限区域,应选有限空间内某点电势作为参考,也可为零; 3.通常仪器外壳接地电势为零,实际是选地球为零电势做参考点, 若“1”中场源电荷离地面较“远”这时无限远的零电势与地球零电势可以等同起耒.,电场强度,电势都是为了描述同一个静电场而引进两个物理量.但侧重面不同:电场强度E从场具有力的性质引入的,是个
32、向量:电势U反映静电场具有做功本能,从功能角度引入的,是个标量.,2. 电势差,在静电场中,a.b两点电势之差称电势差.在电路中常称电压.即:,已知两点电势差,电场力的功为:,在SI有理化单位制中,电势.电势差的单位为伏特,简称伏,用V表示.它是利用电势定义公式U=wa/q0导出的:,1伏特=1焦耳/1库仑,5.4 电势的计算.电势的叠加原理,1. 点电荷的电势,由电势的定义式求得距点电荷为r的电势为:,上式可看出,正电荷的电势为正,负电荷的电势为负.是个代数量.,也可这样理解:正电荷的电势为正,实际上是单位正电荷从r移到无穷远处静电力的功为正;负电荷的电势为负, 实际上是单位正电荷从r移到无
33、穷远处静电力的功为负.,以上的讨论可知:场强E的方向总是指向电势降低的方向,故在静电场中作用下,正电荷总是向低电位方向运动,负电荷则相反.,2. 点电荷组的电势,设n个点电荷组q1, q2 , ,qn到a点处的间距分别为r1,r2, ,rn,场强分别为E1,E2, ,En ,由叠加原理求得总场强 E= E1+E2+En由定义求a点的电势为:,上式可以看出:点电荷组的电势等于各点电荷单独存在时电势的代数和,此结论称电势叠加原理.叠加原理(场强的向量叠加原理和电势的标量叠加原理)与库仑定律一起构成静电场整个基础.,3. 连续分布电荷的电势,连续分布的电荷可以看特殊的点电荷组,对线电荷.面电荷.体电
34、体的电荷元分别为dq=dl, dq=ds, dq=dv,利用点电荷电势公式求出电荷元dq的元电势,dU=dq/40r,r为dq到场点的距离,之后由电势叠加原理求得整体电荷的电势:,(1)线电荷(电荷密度为)分布的电势为,(2)面电荷(电荷密度为)分布的电势为,(3)体电荷(电荷密度为)分布的电势为,5.5 例子,1. 由叠加原理求电势,例1. 极坐标系下电偶极子远场区的电势(电矩大小pe = qL),解:依题意作如图所示,由电势叠加原理求极坐标系下远场区电势为:,例2. 半为R均匀带电量为q的园环中心轴线上电势,解:如图所示,园环上电荷元dq在中心轴上x处的电势dU=dq/40r,整个园环的电
35、势由积分叠加得,从上式可得到: (1). x=0即园环中心处的电势U=q/40R. (2).当xR时 U=q/40x,带电园环近似看作点电荷.,2. 由定义式求电势,例3. 半为R带电量为q均匀带电球面内.外的电势.,解: 由高斯定理求场强分布如下:,由定义式求得电势分布:,rR,rR,上面电势分布可以看出:电荷均匀分布在球面上,球内的电势等于球面处的电势;球外的电势相当于把电荷集中在球心上,数值上等于点电荷的电势.,6 场强与电势梯度的关系,6.1 等势面,1.定义: 在静电场中,相同电势点的包络面称等势面. 通常用电势式 U(x,y,z)=C耒表示,C可以取一系列不同值表示不同电势值. 例
36、如点电荷q的电势为 q/40r=c,若c取c1时可求得对应半径r1,可见点电荷的等势面为同心球面. 同理, 均匀带电无限长导线等势面为共轴的正园柱面,充电平板电容器的等势面为平行于板面的平面.,2. 等势面的性质:为了形象地描述电场,引进了与场强E直接相联系的电力线,在这里又引进与电势U直接相联系的等势面,这样电势与场强一样,有了鲜明的几何图象,概念更加直观明朗. 等势面与电力线处处正交，这是等势面的重要性质.,如图等势面S上q0从a至b功为零:,说明任一点处有电力线与该点等势面的切线方向垂直，既正交.所以等势面与电力线处处正交，电荷在等势面上移动时，电场力做功为0。,设相邻两电势1，2电势分
37、别为V，V+dV。电势面1的A点出发到电势面2有各个方向，我们沿l（单位向量）方向上电势差为dV，等势面1的A到等势面2之间长度为dl，则定义El=dv/dl为电势在l方向的方向导数。有特殊方向n，即垂直等势面 ,电势在n方向的方向导数，称电势梯度，记为,梯度.方向导数的关系为：,由q0，Edl都不为0，故cos=0 = /2.,6.2电势的方向导数，梯度,现有l1、l2、l3为单位矢量,两俩正交，它与n的夹角分别为 , , 它的方向导数与梯度的关系：,故梯度与这两个正交的方向导数关系是：,6.3电场强度与电势梯度的关系,电势差是一个连续函数，电场E不一定是连续函数。,6.4坐标法： 1. 直坐标系中,2.极坐标系中,例:求均匀带电圆盘轴线上任一点的电场强度.解：应场强和电势梯度关系求解,用圆环的电势公式：,3.球坐标系中,
