1、高三数学（理科）试卷第 1 页（共 8 页）2011 首师大二附中高三开学年级统一测试（理科）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 是虚数单位，计算 （ ）i 23iA B 1 C1 D i2已知平面向量 , , 且 , 则 的值为（ ）()a()mbabA 1 B-1 C4 D-43已知 是实数，则“ 且 ”是“ 且 ”的 ( ),b00aA充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件4一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的的体积为（ ）A B238C D32345在等比数列
2、中， 表示前 n 项和，若 ，则公比 q 为（ nans 12,3423sas）A3 B-3 C1 D-16. 如果执行右面的框图，输入 ，5N则输出的数等于( ) A B C D 5464222侧（左）视图222正（主）视图 D俯视图高三数学（理科）试卷第 2 页（共 8 页）7锅中煮有芝麻馅汤圆 6 个，花生馅汤圆 5 个，豆沙馅汤圆 4 个，这三种汤圆的外部特征完全相同。从中任意舀取 4 个汤圆，则每种汤圆都至少取到 1 个的概率为（ ）A B C D8918291608设直线 xt与函数 (),()lnfxgx的图像分别交于点 ,MN，则当 |达到最小时 的值为（ ）A2B1C52D
3、1第卷（非选择题 共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分把答案填在题中横线上9.二项式 的展开式中的常数项为_，展开式中各项系数和为 523)x（。 （用数字作答）10. 如图， 是O 的直径， 切O 于点 ，CDAEB连接 ，若 ，则 的大小为 。 B20D11. 已知曲线 的参数方程为 ，则曲线 的普通方程是 cos,2inxy()q为 参 数 C；点 在曲线 上，点 在平面区域 上，则 的最小值是 AC(,)M012yxAM。12. 某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图是根据抽样检测后的 产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范
4、围是96，106 ，样本数据分组为96，98） ，98，100),100，102)，102， 104),104，106,96 98 100 102 104 106 0.150 0.125 0.100 0.075 0.050 克 频率/组距 第 12 题图 AEBOD高三数学（理科）试卷第 3 页（共 8 页）已知样本中产品净重小于 100 克的个数是 36，则样本中净重大于或等于 98 克并且小于 104 克的产品的个数是 。13 已知直线 1:4360lxy和直线 2:1lx，抛物线 24yx上一动点 P到直线1l和直线 2的距离之和的最小值是 。14已知数列 满足： （m 为正整数） ，
5、若na1 1,23nna当 为 偶 数 时 ，当 为 奇 数 时 。，则 m 所有可能的取值为_。6a 1三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤15(本题满分 13 分) 已知函数 2sinifxx(1)求函数 的最小正周期。()(2)求函数 的最大值及 取最大值时 x 的集合。fx()fx(3)若 x ,求值域。4，高三数学（理科）试卷第 4 页（共 8 页）16 （本题满分 13 分）从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛.设随机变量 表示所选 3 人中女生的人数.求：（1） 的分布列；（2） 的数学期望；（3） “所选 3 人
6、中女生人数 1”的概率.高三数学（理科）试卷第 5 页（共 8 页）17 （本题满分 14 分）如图，已知直三棱柱 ， ， 是棱 上动点， 是 中1ABC90ABE1CFAB点 ， ， .24（）求证： 平面 ；F1（）当 是棱 中点时，求证： 平面 ；E1CCF1AEB（）在棱 上是否存在点 ，使得二面角E的大小是 ，若存在，求 的长，若不存在，请45说明理由.高三数学（理科）试卷第 6 页（共 8 页）18 （本题满分 13 分）在数列 中， ， .na1312na*()nN， 且 （）求 ， 的值；2（）证明：数列 是等比数列，并求 的通项公式；n na（）求数列 的前 项和 .anS高
7、三数学（理科）试卷第 7 页（共 8 页）19 （本题满分 14 分）在直角坐标系 xOy 中,点 P 到两点(0, )、(0, )的距离之和等于 4,设点 P 的轨迹为3C,直线 y=kx+1 与 C 交于 A、B 两点.(1)写出 C 的方程;(2)若 ,求 k 的值;OA(3)若点 A 在第一象限 ,证明当 k0 时,恒有 .|OBA高三数学（理科）试卷第 8 页（共 8 页）20 （本题满分 13 分）已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c,满足 f(0)=f(1)=0,且 f(x)的最小值是 .41(1)求 f(x)的解析式;(2)设 g(x)=lnx-f(x)f(x),求 g(x
8、)的最大值及相应的 x 值;(3)对任意正数 x,恒有 ,求实数 m 的取值范围.xfln)1()(高三数学（理科）试卷第 9 页（共 8 页）1b 2d 3c 4 c 5a 6d 7b 8a9、-80, -112、90 13、2 14.4、5、3215 解（I）因为 =)2cos1(sin)(xxf1)4in(x所以函数 的最小正周期为 T（II）由（I）知，当 ，即 （ ）时， 取最大242kx8kxZ)(xf值。因此函数 取最大值时 x 的集合为1)(xf .,kx16 解：（1） 的可能取值为 0,1,2.P（k） ,k0,1,2.3642Ck 的分布列为 0 1 2P 515351（
9、2）由（1）,可知 E .23（3） “所选 3 人中女生人数 1”的概率为高三数学（理科）试卷第 10 页（共 8 页）P（1）P（0）P（1） .5419 解:(1) 设 P(x,y),由椭圆定义可知,点 P 的轨迹 C 是以(0, ),(0, )为焦点,长半轴为32 的椭圆,它的短半轴 ,1)3(22b故曲线 C 的方程为 .4yx(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足 消去 y 并整理 ,得(k 2+4)x2+2kx-3=0,.1,42kxy故 .3,42121 xkx若 ,即 x1x2+y1y2=0.OBA而 y1y2=k2x1x2+k(x1+x2)+1,于是 ,化简,得-4k 2+1=0,所以 .0143422kk 21k(3)证明: =x12+y12-(x22+y22)2|BA=(x12-x22)+4(1-x12-1+x22)=-3(x1-x2)(x1+x2) d.4(61kx因为 A 在第一象限,故 x10.由 知 x20.321x又 k0,故 ,0| OB
