1、第一讲 高考数学选择题的解题策略（理）一、知识整合高考数学试题中，选择题注重多个知识点的小型综合，渗透各种数学思想和方法，体现以考查“三基”为重点的导向，能否在选择题上获取高分，对高考数学成绩影响重大.解答选择题的基本要求是四个字准确、迅速. 答题时间应该控制在不超过 40 分钟左右，速度越快越好，高考要求每道选择题在13 分钟内解完，要避免“超时失分”现象的发生。二、方法技巧1、直接法：直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密的推理和准确的运算，从而得出正确的结论，然后对照题目所给出的选择支“对号入座”作出相应的选择.涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用
2、直接法.例 1若 sin xcos x，则 x 的取值范围是（ ）2（A）x|2k x2k ，k Z （B） x|2k x2k ，k Z344454（C） x|k x k ，k Z （D） x|k xk ，k Z3解：由 sin xcos x 得 cos xsin x0，即 cos2x0，所以： k2x k ，选 D.22另外有范围的也可用特殊值排除筛选例 2椭圆的焦点为 F1、 F2，过点 F1 作直线与椭圆相交, 被椭圆截得的最短的线段 MN 长为 ， 532的周长为 20, 则椭圆的离心率为 （ B ）NMFA B C D 553457例 3七人并排站成一行，如果甲、乙两人必需不相邻，那
3、么不同的排法的种数是（ ）（A） 1440 （B） 3600 （C ） 4320 （D） 4800解一：七人并排站成一行，总的排法有 种，其中甲、乙两人相邻的排法有 2 种.因此，甲、乙7A6A两人必需不相邻的排法种数有： 2 3600，对照后应选 B；解二： 3600.765直接法是解答选择题最常用的基本方法，低档选择题可用此法迅速求解.直接法适用的范围很广，只要运算正确必能得出正确的答案.提高直接法解选择题的能力，准确地把握中档题目的“个性” ，用简便方法巧解选择题，是建在扎实掌握“三基”的基础上，否则一味求快则会快中出错.2、特例法：用特殊值(特殊图形、特殊位置)代替题设普遍条件，得出特
4、殊结论，对各个选项进行检验，从而作出正确的判断.常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等. (涉及到范围、解析式、抽象函数、图像、动点、平移、对称及与 n 有关的均可用)（1）特殊值例 4、若 sintancot( )，则 （ ）24A( ， ) B （ ，0） C （0， ） D （ ， ）2 442解析：因 ，取 = 代入 sintancot，满足条件式，则排除 A、C、D，故选 B。246例 5、一个等差数列的前 n 项和为 48，前 2n 项和为 60，则它的前 3n 项和为（ ）A24 B84 C72 D36解析：结论中不含 n，故本题结论的正确性与 n
5、 取值无关，可对 n 取特殊值，如 n=1，此时a1=48,a2=S2S 1=12，a 3=a1+2d= 24，所以前 3n 项和为 36，故选 D。（2）特殊函数例 6、定义在 R 上的奇函数 f(x)为减函数，设 a+b0，给出下列不等式：f(a)f( a)0；f(b) f(b)0；f(a)+f(b)f(a)+f( b) ；f(a)+f(b) f(a)+f(b)。其中正确的不等式序号是（ ）A B C D解析：取 f(x)= x，逐项检查可知 正确。故选 B。（3）特殊数列例 7、已知等差数列 满足 ，则有 （ ）na1210aA、 B、 C、 D、10039051a解析：取满足题意的特殊
6、数列 ，则 ，故选 C。n39（4）特殊位置例 8、过 的焦点 作直线交抛物线与 两点，若 与 的长分别是 ，则)0(2axyFQ、PFq、pqp1A、 B、 C、 D、 a214a4解析：考虑特殊位置 PQOP 时， ，所以 ，故选 C。1|2PF24apq例9、向高为 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量 与水深 的函数关系的图象如右图所示，那么HVh水瓶的形状是 ( )解析：取 ，由图象可知，此时注水量 大于容器容积的 ，故选B。2HhV12（5）特殊点例 10、设函数 ，则其反函数 的图像是 （ ）()(0)fx)(1xfA、 B、 C、 D、解析：由函数 ，可令 x=0，得 y=2；令
7、 x=4，得 y=4，则特殊点(2,0)及(4,4) 都应在反函()2(0)fx数 f1 (x)的图像上，观察得 A、C。又因反函数 f1 (x)的定义域为 ，故选 C。|2x当正确的选择对象，在题设普遍条件下都成立的情况下，用特殊值（取得越简单越好）进行探求，从而清晰、快捷地得到正确的答案，即通过对特殊情况的研究来判断一般规律，是解答本类选择题的最佳策略.近几年高考选择题中可用或结合特例法解答的约占 30左右.3、筛选法:（排除法）从题设条件出发，运用定理、性质、公式推演，根据“四选一”的指令，逐步剔除干扰项，从而得出正确的判断.例 11、若 x 为三角形中的最小内角，则函数 y=sinx+
8、cosx 的值域是（ ）A （1， B （0， C ， D （ ，2232121解析：因 为三角形中的最小内角，故 ，由此可得 y=sinx+cosx1，排除 B,C,D，故应选 A。(0,x例 12已知 ylog (2ax )在0，1 上是 x 的减函数，则 a 的取值范围是（ ）a（A）(0，1) （B）(1，2) （C）(0，2) （D） 2，+ )解： 2ax 是在0，1上是减函数，所以 a1，排除答案 A、C ；若 a2，由 2ax0 得 x1，这与x0， 1不符合，排除答案 D.所以选 B.例 13过抛物线 y 4x 的焦点，作直线与此抛物线相交于两点 P 和 Q，那么线段 PQ
9、中点的轨迹方程（ 2）（A）y 2x1 （B）y 2x2 （C）y 2x1 （D）y 2x 2解：（筛选法）由已知可知轨迹曲线的顶点为(1，0) ，开口向右，由此排除答案 A、C 、D ，所以选 B；另解：（直接法）若斜率存在，设过焦点的直线 yk(x1)，则 ，消 y 得：xyk412）（k x 2( k 2)xk 0，中点坐标有 ，消 k 得 y 2x2，若斜率不存在，也符合222yk12()筛选法适应于定性型或不易直接求解的选择题.当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选择支中找出明显与之矛盾的，予以否定，再根据另一些条件在缩小的选择支的范围那找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的选
10、择.它与特例法、图解法等结合使用是解选择题的常用方法，近几年高考选择题中约占 40.4、代入法：将各个选择项逐一代入题设进行检验，从而获得正确的判断.即将各选择支分别作为条件，去验证命题，能使命题成立的选择支就是应选的答案.例 14函数 ysin（2x ）的图象的一条对称轴的方程是（ ）5（A）x （B）x （C）x （D）x 4845解：（代入法）把选择支逐次代入，当 x 时，y1，可见 x 是对称轴，又因为统一前提规22定“只有一项是符合要求的” ，故选 A.代入法适应于题设复杂，结论简单的选择题。若能据题意确定代入顺序，则能较大提高解题速度。5、图解法：据题设条件作出所研究问题的曲线或有
11、关图形，借助几何图形的直观性作出正确的判断.习惯上也叫数形结合法.例 15在 内，使 成立的 的取值范围是 （ ）)2,0(xcosin（A） （B） （C ） （D）45),()45,()23,45(),解：（图解法）在同一直角坐标系中分别作出 ysin x 与 ycosx 的图象，便可观察选 C.严格地说，图解法并非属于选择题解题思路范畴，而是一种数形结合的解题策略.但它在解有关选择题时非常简便有效.不过运用图解法解题一定要对有关函数图象、方程曲线、几何图形较熟悉，否则错误的图象反而会导致错误的选择如：例 16函数 y=|x21|+1 的图象与函数 y=2 x的图象交点的个数为（ ）（A）
12、1 （B）2 （C ）3 （D）4本题如果图象画得不准确，很容易误选（B） ；答案为（C） 。数形结合，借助几何图形的直观性，迅速作正确的判断是高考考查的重点之一；历年高考选择题直接与图形有关或可以用数形结合思想求解的题目约占 50左右.6、割补法“能割善补”是解决几何问题常用的方法，巧妙地利用割补法，可以将不规则的图形转化为规则的图形，这样可以使问题得到简化，从而缩短解题长度.例 17一个四面体的所有棱长都为 ，四个项点在同一球面上，则此球的表面积为2（A）3 （B）4 （C）3 （D ）6解：如图，将正四面体 ABCD 补形成正方体，则正四面体、正方体的中心与其外接球-1 11Oyx的球心
13、共一点.因为正四面体棱长为 ，所以正方体棱长为 1，从而外接球半径 R .故 S 球 3 .2 2我们在初中学习平面几何时，经常用到“割补法” ，在立体几何推导锥体的体积公式时又一次用到了“割补法” ，这些蕴涵在课本上的方法当然是各类考试的重点内容.因此，当我们遇到不规则的几何图形或几何体时，自然要想到“割补法”.7、极限法:从有限到无限，从近似到精确，从量变到质变.应用极限思想解决某些问题，可以避开抽象、复杂的运算，降低解题难度，优化解题过程.例 18在正 n 棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是（ ）（A） （ ，） （B） （ ，） 2n1（C） （0， ） （D） （ ， ）2解
14、：当正n棱锥的顶点无限趋近于底面正多边形中心时，则底面正多边形便为极限状态，此时棱锥相邻两侧面所成二面角，且小于；当棱锥高无限大时，正n棱柱便又是另一极限状态，此时 ，且大于 ，故选（A）.2n2用极限法是解选择题的一种有效方法.它根据题干及选择支的特征，考虑极端情形，有助于缩小选择面，迅速找到答案。8、分析法：例 20、 的三边 满足等式 ，则此三角形必是（ ）ABC,abccoscosabBCA、以 为斜边的直角三角形 B、以 为斜边的直角三角形C、等边三角形 D、其它三角形解析：在题设条件中的等式是关于 与 的对称式，因此选项在 A、B 为等价命题都被淘汰，若选项,aAbC 正确，则有
15、，即 ，从而 C 被淘汰，故选 D。1212例 21关于 x 的不等式 axb0 的解集为(1,+)，则关于 x 的不等式 0 的解集为( B )2baxA(1,2) B(,1)(2,+) C(1,2) D( ,2)(1,+)9、估值法由于选择题提供了唯一正确的选择支，解答又无需过程.因此可以猜测、合情推理、估算而获得.这样往往可以减少运算量，当然自然加强了思维的层次.例 22已知过球面上 A、B、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且 AB=BC=CA=2，则球面面积是（ ）（A ） （B） （C ）4 （D） 91638 964DCBA解球的半径 R 不小于ABC 的外接圆半径 r
16、 ，32则 S 球 4R 24r 2 5，故选（D ）.163估算，省去了很多推导过程和比较复杂的计算，节省了时间，从而显得快捷.其应用广泛，它是人们发现问题、研究问题、解决问题的一种重要的运算方法.三、总结提炼从考试的角度来看，解选择题只要选对就行，至于用什么“策略” ， “手段”都是无关紧要的.但平时做题时要尽量弄清每一个选择支正确的理由与错误的原因，另外，在解答一道选择题时，往往需要同时采用几种方法进行分析、推理，只有这样，才会在高考时充分利用题目自身提供的信息，化常规为特殊，避免小题大作，真正做到准确和快速，总之，充分挖掘题目的“个性” ，寻求简便解法，充分利用选择支的暗示作用，迅速地
17、作出正确的选择，提高解题速度，为后续解题节省时间.配套练习1. （天津）从 10 名大学生毕业生中选 3 个人担任村长助理，则甲、乙至少有 1 人入选，而丙没有入选的不同选法的种数位（ C ） A 85 B 56 C 49 D 28 2.（天津）已知 D 是由不等式组 ，所确定的平面区域，则圆 在区域 D 内20xy24xy的弧长为（ B ） A B C D43433.（四川）已知函数 连续，则常数 的值是（ B ）2log()() 2axfxx当 时 在 点 处当 时 ） a. . . . 4.（四川）已知双曲线 的左右焦点分别为 ，其一条渐近线方程为 ，点21(0)xyb12,Fyx在该双
18、曲线上，则 =（ C ） A. B. C .0 D. 4 0(3,)Py2PF5.（四川）如图，在半径为 3 的球面上有 三点， ，球心 到平面 的,AB90,BAOAB距离是 ，则 两点的球面距离是（ B ）2BC、A. B. C. D. 34326.（天津）若 a0， 1，则 ( D )2log()bAa1,b0 B a 1,b0 C. 0a1, b0 D. 0a1, b07.（江西）函数 y= 的定义域为（ D ）24xA, B C D 4,1,1(,14,)-8.（重庆）设 是公差不为 0 的等差数列, 且 成等比数列,则 的前 项和 （ na12a136ananSA）A B C D2
19、74253n4n29.（辽宁）已知偶函数 在区间 单调增加，则满足 的 x 取值范围是（ A ）()fx0,)(1)fx(3f（A） （ ， ） (B) ， ） (C)（ ， ） (D) ， ） 131123211 （重庆）不等式 对任意实数 恒成立，则实数 的取值范围为（ A ）23aaA B C D(,4,)(,5,)1,(,12,)12. （陕西）函数 的反函数为（ B ）(4)fxx（A） (B) （C） (D) 12()0)f12()fx12()4(0)fx12()4()fx13(北京) 为了得到函数 的图像，只需把函数 的图像上所有的点（ C ）3lgylgyA向左平移 3 个单位
20、长度，再向上平移 1 个单位长度B向右平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度C向左平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度D向右平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度14 （陕西）定义在 R 上的偶函数 满足：对任意的 ，有()fx1212,(,0)xx.则当 时,有（ C ）2121()()0xfx*nN(A) (B) (nf()fnffn(C) (D) ()15 （陕西）若 x，y 满足约束条件 ，目标函数 仅在点（1，0）处取得最小值，则 a12xy2zaxy的取值范围是（ B ） (A) （ ，2 ） (B) （ ，2 ） (C) (D) 4(4,(2,4)
21、16 （陕西）设曲线 在点（1，1）处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 ,则 的1*()nyxNnx1nx值为（ B ） (A) (B) (C) (D) 1n1n17 （重庆）已知 ，其中 ，则 的值为（ D ）2lim()1xab,abRbA 6 B C D618.（全国）函数 的图像（ A ）2logy（A） 关于原点对称 （B）关于直线 对称 （C） 关于 轴对称 （D）关于直线 对称yxyyx19.（全国）已知正四棱柱 中， = ， 为 中点，则异面直线 与 所112BE1ABE1CD形成角的余弦值为（ C ）（A） (B) (C) (D) 105303520.（全国）双曲线 的渐近线
22、与圆 相切，则 r=（ A ）1362yx )0()(22ryx（A） （B）2 （C）3 （D）6321 （山东）已知向量 ， 若向量 满足 ， ，则 ( D )学科网 9(1,)a(2,)bc()/ab()ccA B C D7(,)9797,97,9322 （陕西）若正方体的棱长为 ，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为( B )2(A) (B) (C) (D) 2633223.（陕西）若 ,则 的值为（ A ）3sinco021sin（A） （B） （C） (D) 10524 （江西）已知函数 是 上的偶函数，若对于 ，都有 ，且当()fx,)0x(2)(fxf时 ，则 的值
23、为（ C ）(0,2)x2log1(208(9)ffA B C 1 D 225 （全国卷 I）如果函数 的图像关于点 中心对称，那么 的最小值为（ A ）3cs()yx4(,0)3(A) (B) (C) (D) 6426.（陕西）已知函数 的反函数为 ，则 （ C ）()fx()1gx 2l (1)f g（A）0 （B）1 （C） 2 （D）427.（全国卷）已知直线 与抛物线 相交于 A、B 两点，F 为 C 的焦点，若0yk 2:8Cyx,则 k=（ D ） （A ） (B) (C) (D) 2F332学科网28 （江西）公差不为零的等差数列 的前 n 项和为 ，若 是 与 的等比中项，
24、=32，则anS4a78S等于（ C ） A 18 B 24 C 60 D 9010S29.（四川）已知直线 和直线 ，抛物线 上一动点 到直线 和直线 1:4360lxy2:1lx2yxP1l2l的距离之和的最小值是（ A ） A.2 B.3 C. D. 537630.（重庆） 的展开式中 的系数是（ D ）28()x4xA16 B70 C560 D112031在ABC 中，C=2B，则 等于 （ A ）sin3A B C Dbaabcaac32、 （山东）将函数 y=sin2x 的图像平移 个单位，再向上平移 1 个单位，所得图像的函数解析式是4（D）（A）y=cos2x （B） y=2cos x （C）y=1+sin(2x+ ) （D ）y=2sin x2 42
