1、第五章函数与中考中考要求及 命题趋势函数是数形结合的重要体现，是每年中考 的必考 内容，函数的概念主要用选择、填空 的形式考查 自变量的取值范围，及自变量与因变量的变化图像、平面直角坐标系等，一般占 2%左右。一次函数与一次方程有紧密地联系，是中考必考内容，一般以填空、选择、解答题及综合题的形式考查，占 5%左右。反比例函数的图像和性质的考查常以客观题形式出现，要关注反比例函数与实际问题的联系，突出应用价值，36 分；二次函数是初中数学的一个十分重要的内容，是中考的热点，多以压轴题出现在试卷中。要求：能通过对实际问题情景分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；会用描点法画二次函数图像，
2、能丛图像上分析二次函数的性质；会根据公式确定图像的顶点、开口方向和对称轴，并能解决实际问题。会求一元二次方程的近似值。2007 年依然主要考查自变量的取值范围及自变量与因变量之间的变化图像为主。一次函数的图像和性质；在实际问题中考查对反比例函数的概念及性质的理解。将继续考查二次函数，重点关注它与代数、几何知识的综合应用，加强二次函数的实际应用。应试对策1、 理解函数的概念和平面直角坐标系中某些点的坐标特点。2、 要进行自变量与因变量之间的变化图像识别的训练，真正理解图像与变量的关系。 3、 掌握一次函数的一般形式和图像4、 掌握一次函数的增减性、分布象限，会作图5、 明确反比例函数的特征图像，
3、提高实际应用能力。6、 牢固掌握二次函数的概念和性质，注重在实际情景中理解二次函数的意义，关注与二次函数相关的综合题，弄清知识之间的联系。第一讲 变量之间的关系与平面直角坐标系【回顾与思考】知识点平面直角坐标系、常量与变量、函数与自变量、函数表示方法大纲要求1.了解平面直角坐标系的有关概念，会画直角坐标系，能由点的坐标系确定点的位置，由点的位置确定点的坐标；2.理解常量和变量的意义，了解函数的一般概念，会用解析法表示简单函数；3.理解自变量的取值范围和函数值的意义，会用描点法画出函数的图像。内容分析1平面直角坐标系的初步知识在平面内画两条互相垂直的数轴，就组成平面直角坐标系，水平的数轴叫做 x
4、 轴或横轴 (正方向向右)，铅直的数轴叫做 y 轴或纵轴(正方向向上)，两轴交点 O 是原点这个平面叫做坐标平面x 轴和 y 把坐标平面分成四个象限(每个象限都不包括坐标轴上的点)，要注意象限的编号顺序及各象限内点的坐标的符号：由坐标平面内一点向 x 轴作垂线，垂足在 x 轴上的坐标叫做这个点的横坐标，由这个点向 y 轴作垂线，垂足在 y 轴上的坐标叫做这个点的纵坐标，这个点的横坐标、纵坐标合在一起叫做这个点的坐标（横坐标在前，纵坐标在后)一个点的坐标是一对有序实数，对于坐标平面内任意一点，都有唯一一对有序实数和它对应，对于任意一对有序实数，在坐标平面都有一点和它对应，也就是说，坐标平面内的点
5、与有序实数对是一一对应的2函数设在一个变化过程中有两个变量 x 与 y，如果对于 x 的每一个值， y 都有唯一的值与它对应，那么就说 x 是自变量， y 是 x 的函数用数学式子表示函数的方法叫做解析法在用解析式表示函数时，要考虑自变量的取值范围必须使解析式有意义遇到实际问题，还必须使实际问题有意义当自变量在取值范围内取一个值时，函数的对应值叫做自变量取这个值时的函数值3函数的图象把自变量的一个值和自变量取这个值时的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，可以在坐标平面内描出一个点，所有这些点组成的图形，就是这个函数的图象也就是说函数图象上的点的坐标都满足函数的解析式，以满足函数解析式的自变量值和
6、与它对应的函数值为坐标的点都在函数图象上知道函数的解析式，一般用描点法按下列步骤画出函数的图象：(i)列表在自变量的取值范围内取一些值，算出对应的函数值，列成表(ii)描点把表中自变量的值和与它相应的函数值分别作为横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出相应的点(iii)连线按照自变量由小到大的顺序、用平滑的曲线把所描各点连结起来【例题经典】了解平面直角坐标系的意义，会判断点的位置或求点的坐标例 1、在平面直角坐标系中，点(1，2)所在的象限是 ( )A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限分析：考查已知的点的坐标，确定它的象限 答案：D例 2 .如果代数式 有意义那么直角坐标系中点 A
7、(a、b)的位置在( ab1)(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限分析：要使根式有意义，a 和 b 都要大于 0 答案： A例 3（1） （2006 年益阳市）在平面直角坐标系中，点 A、B、C 的坐标分别为A（-2，1） ，B（-3，-1） ，C（1，-1） 若四边形 ABCD 为平行四边形，那么点D 的坐标是_（2） （2006 年德州市）将点 A（3，1）绕原点 O 顺时针旋转 90到点 B，则点B的坐标是_【解析】利用数形结合的方法，直观求解会根据图象获取信息，进行判断例 4、函数 中，自变量 x 的取值范围是_；1xy答案：xl例 5、下列四个图象中，不表示
8、某一函数图象的是( )分析：D 图不能用函数式表示出来。答案：D例 6（2006 年怀化市）放假了，小明和小丽去蔬菜加工厂社会实践，两人同时工作了一段时间后，休息时小明对小丽说：“我已加工了 28 千克，你呢？”小丽思考了一会儿说：“我来考考，图（1） 、图（2）分别表示你和我的工作量与工作时间关系，你能算出我加工了多少千克吗？”小明思考后回答：“你难不倒我，你现在加工了_千克 ”(1) (2)【解析】结合已知条件和图象，先求出小明休息前的工作时间和小丽的工作效率，是解决问题的关键例 7、 （05 枣庄）水池有 2 个进水口，1 个出水口，每个进水口进水量与时间的关系如图甲所示，出水口出水量与
9、时间的关系如图乙所示某天 0 点到6 点，该水池的蓄水量与时间的关系如图丙所示下 列 论 断 ： 0 点 到 1 点 ， 打 开 两 个 进 水 口 ， 关 闭 出 水 口 ； 1 点 到 3 点 ， 同时 关 闭 两 个 进 水 口 和 个 出 水 口 ； 3 点 到 4 点 ， 关 门 两 个 进 水 口 ， 打 开 出 水 口 ； 5 点 到 6 点 同 时 打 开 两 个 进 水 口 和 一 个 出 水 口 其 中 ， 可 能 正 确 的 论 断 是(A) (B) (C) (D)选（D）了解函数的表示方法，理解函数图象的意义例 8（2006 年贵阳市）小明根据邻居家的故事写了一道小诗：
10、“儿子学成今日返，老父早早到车站，儿子到后细端详，父子高兴把家还 ”如果用纵轴 y表示父亲与儿子行进中离家的距离，用横轴 x 表示父亲离家的时间，那么下面的图象与上述诗的含义大致吻合的是（ ）【评析】本例主要考查识图能力，对于函数图象信息题，要充分挖掘图象所含信息，通过读图、想图、析图找出解题的突破口另外，函数图象信息通常是以其他学科为背景，因此熟悉相关学科的有关知识对解题很有帮助例 9.某班同学在探究弹簧的长度跟外力的变化关系时，实验记录得到的相应数据如下表：砝码的质量 x(克) 050 100 150 200 250 300 400 500指针位置 y(厘米) 2 3 4 5 6 7 7.
11、5 7.5 7.5则 y 关于 x 的函数图象是( )分析：当砝码的质量大于或等于 275 克时，指针位置 7.5(厘米)不变答案：D第二讲 正比例、反比例、一次函数知识点正比例函数及其图像、一次函数及其图像、反比例函数及其图像大纲要求1理解正比例函数、一次函数、反比例函数的概念；2理解正比例函数、一次函数、反比例函数的性质；3会画出它们的图像；4会用待定系数法求正比例、反比例函数、一次函数的解析式内容分析1、一次函数（1）一次函数及其图象如果 y=kx+b（K，b 是常数，K0） ，那么，Y 叫做 X 的一次函数。特别地，如果 y=kx（k 是常数，K0） ，那么，y 叫做 x 的正比例函数
12、一次函数的图象是直线，画一次函数的图象，只要先描出两点，再连成直线（2）一次函数的性质当 k0 时 y 随 x 的增大而增大，当 k0 时，图象的两个分支分别在一、二、三象限内，在每个象限内， y 随 x 的增大而减小；当 K 0 时，bkxy的取值范围是 ( ) xA、 4 B、 0 C、 0,b0，而 k=2，只需考虑 m-20由 便可求出 m 的值210m用待定系数法确定一次函数表达式及其应用例 5 （2006 年济宁市）鞋子的“鞋码”和鞋长（cm）存在一种换算关系，下表是几组“鞋码”与鞋长的对应数值：鞋长 16 19 24 27鞋码 22 28 38 44（1）分析上表， “鞋码”与鞋
13、长之间的关系符合你学过的哪种函数？（2）设鞋长为 x， “鞋码”为 y，求 y 与 x 之间的函数关系式；（3）如果你需要的鞋长为 26cm，那么应该买多大码的鞋？【评析】本题是以生活实际为背景的考题题目提供了一个与现实生活密切联系的问题情境，以考查学生对有关知识的理解和应用所学知识解决问题的能力，同时为学生构思留下了空间建立函数模型解决实际问题例 6（2006 年南京市）某块试验田里的农作物每天的需水量 y（千克）与生长时间 x（天）之间的关系如折线图所示 这些农作物在第 10天、第 30天的需水量分别为 2000 千克、 3000 千克，在第 40 天后每天的需水量比前一天增加 100 千
14、克（1）分别求出 x40 和 x40 时 y 与 x 之间的关系式；（2）如果这些农作物每天的需水量大于或等于4000 千克时，需要进行人工灌溉，那么应从第几天开始进行人工灌溉？【评析】本题提供了一个与生产实践密切联系的问题情境，要求学生能够从已知条件和函数图象中获取有价值的信息，判断函数类型建立函数关系为学生解决实际问题留下了思维空间第二节 反比例函数【回顾与思考】反比例函数、【例题经典】理解反比例函数的意义例 1 若函数 y=（m 2-1）x 为反比例函数，则 m=_235m【解析】在反比例函数 y= 中，其解析式也可以写为 y=kx-1，故需满足k两点，一是 m2-10，二是 3m2+m
15、-5=-1【点评】函数 y= 为反比例函数，需满足 k0，且 x 的指数是-1，两者缺x一不可会灵活运用反比例函数图象和性质解题例 2、若 M 、N 、P 三点都在函数 （0）的图1,y2,4y3,1yxky象上，则 的大小关系为（ ）321、A、 B、 2y32y13C、 D、 123点评：本题旨在考查学生对反比例函数性质的掌握情况，画出图象便一目了然，渗透了数形结合的数学思想。例 3 （ 2006 年常德市）已知 P1（x 1，y 1） ，P 2（x 2，y 2） ，P 3（x 3，y 3）是反比例函数 y=的图象上的三点，且 x10知双曲线两个分支分x别位于第一、三象限内，且在每一个象限
16、内，y 的值随着 x 值的增大而减小，点 P1，P 2，P 3的横坐标均为负数，故点 P1，P 2 均在第三象限内，而 P3 的第一象限故 y0此题也可以将 P，P，P 三点的横坐标取特殊值分别代入 y= 中，2x求出 y1，y 2，y 3 的值，再比较大小例4某蓄电池的电压为定值，右图表示的是该蓄电池电流 I(A)与电阻 R()之间的函数关系图像请你写出它的函数解析式是 答案：I=36/R例 5.已知直线 y=kx+b 与双曲线 y= 交于 A(x1，y 1)，xk，B(x 2，y 2)两点，则 x1x2的值( )A.与 k 有关、与 b 无关 B.与 k 无关、与 b 有关C与 k、b 都
17、有关 D.与 k、b 都无关答案：D例 6（2006 年烟台市）如图，一次函数 y=kx+b 的图象与反比例函数 y= 图象mx交于 A（-2，1） ，B（1，n）两点（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的 x 的取值范围【解析】 （1）求反比例函数解析式需要求出 m 的值把 A（-2，1）代入 y= 中便可求出 m=-2把 B（1，n）代入 y= 中得 n=-mx 2x2由待定系数法不难求出一次函数解析式 （2）认真观察图象，结合图象性质，便可求出 x 的取值范围例 7、如图，RtABO 的顶点 A 是双曲线 y= 与直线 y=-x+(k+
18、1)在第四象限xk的交点，ABx 轴于 B，且 SABO = 23(1)求这两个函数的解析式；(2)求直线与双曲线的两个交点 A，C 的坐标和AOC的面积解：(1)设 A 点坐标为(x，y)，SABO=3/2 k=3，点 A 在第四象限内，k=-3， 反比例函数的解析式为 y=-3/x，一次函数的解析式为 y=-x-2； (2) 解两个解析式的方程组得 x1=-3 y1=1 x2=1 y2=-3A 点坐标为(1，-3)，C 点坐标为(-3，1)，设直线AC 与 y 轴交于点 D，则 D 点坐标为(O，-2)，S AOC =SAOD +SCOD =4(平方单位) 第三节 二次函数【回顾与思考】知
19、识点二次函数、抛物线的顶点、对称轴和开口方向大纲要求1理解二次函数的概念；2会把二次函数的一般式化为顶点式，确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向，会用描点法画二次函数的图象；3会平移二次函数 yax 2(a0)的图象得到二次函数 ya(axm) 2k 的图象，了解特殊与一般相互联系和转化的思想；4会用待定系数法求二次函数的解析式；5利用二次函数的图象，了解二次函数的增减性，会求二次函数的图象与x 轴的交点坐标和函数的最大值、最小值，了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系。内容（1）二次函数及其图象如果 y=ax2+bx+c(a,b,c 是常数，a0),那么，y 叫做 x 的二次函数。二次
20、函数的图象是抛物线，可用描点法画出二次函数的图象。（2）抛物线的顶点、对称轴和开口方向抛物线 y=ax2+bx+c(a0)的顶点是 ，对称轴是 ，当 a0)4,2(2abcabx2时，抛物线开口向上，当 aO；4a+cO，其中正确结论的个数为( )A 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D4 个答案：D会用待定系数法求二次函数解析式例 3.已知：关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=3 的一个根为 x=-2，且二次函数y=ax2+bx+c 的对称轴是直线 x=2，则抛物线的顶点坐标为( )A(2，-3) B.(2，1) C(2，3) D(3，2)答案：C例 4、 （2006 年烟台市）如
21、图（单位：m） ，等腰三角形 ABC 以 2 米/秒的速度沿直线 L 向正方形移动，直到 AB 与 CD 重合设 x 秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为 ym2（1）写出 y 与 x 的关系式；（2）当 x=2，3.5 时，y 分别是多少？（3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、对称轴.例 5、 （2005 年天津市）已知抛物线 y= x2+x- 15（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴（2）若该抛物线与 x 轴的两个交点为 A、B，求线段 AB 的长【点评】本题（1）是对二次函数的“基本方法”的考查，第（2）问主要考查二次函数与一元二次方程的关系
22、例 6.已知：二次函数 y=ax2-(b+1)x-3a 的图象经过点 P(4，10)，交 x 轴于A(x1，O)，B(x 2，O)两点(x 1ACO?若存在，请你求出 M 点的横坐标的取值范围；若不存在，请你说明理由(1)解：如图抛物线交 x 轴于点 A(x1，0)，B(x2，O)，则 x1x2=3O，x 1ACO例 7、 （04青海湟中县实验区卷） “已知函数 的图象经过点cbxy21A（c，2） ， 求证：这个二次函数图象的对称轴是 x=3。 ”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。（1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出
23、二次函数图象；若不能，请说明理由。（2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。点评： 对于第（1）小题，要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式，就要把原来的结论“函数图象的对称轴是 x=3”当作已知来用，再结合条件“图象经过点 A（c，2） ”，就可以列出两个方程了，而解析式中只有两个未知数，所以能够求出题中的二次函数解析式。对于第（2）小题，只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第（1）小题中的解析式就可以了。而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件，可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标，可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等。解答
24、 （1）根据 的图象经过点 A（c，2） ，图象的对称轴cbxy21是 x=3，得 ,321,2bc解得 .,c所以所求二次函数解析式为 图象如图所示。.2312xy（2）在解析式中令 y=0，得 ，解得0.53,21xx所以可以填“抛物线与 x 轴的一个交点的坐标是（3+ ”或“抛物线与)0,5x 轴的一个交点的坐标是 ).0,53(令 x=3 代入解析式，得 2y所以抛物线 的顶点坐标为21xy ),253(所以也可以填抛物线的顶点坐标为 等等。,函数主要关注：通过不同的途径（图象、解析式等）了解函数的具体特征；借助多种现实背景理解函数；将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型；渗透
25、函数的思想；关注函数与相关知识的联系。第四节 二次函数的应用【回顾与思考】 二次函数应用、【例题经典】用二次函数解决最值问题例 1 （2006 年旅顺口区）已知边长为 4 的正方形截去一个角后成为五边形 ABCDE（如图） ，其中AF=2，BF=1试在 AB 上求一点 P，使矩形 PNDM 有最大面积【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间例 2 某产品每件成本 10 元，试销阶段每件产品的销售价 x（元）与产品的日销售量 y（件）之间的关系如下表：x（元） 15 20 30 y（件）
26、25 20 10 若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数（1）求出日销售量 y（件）与销售价 x（元）的函数关系式；（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？【解析】 （1）设此一次函数表达式为 y=kx+b则 解得 k=-152,0kb1，b=40，即一次函数表达式为 y=-x+40（2）设每件产品的销售价应定为 x 元，所获销售利润为 w 元w=（x-10） （40-x）=-x 2+50x-400=-（x-25） 2+225产品的销售价应定为 25 元，此时每日获得最大销售利润为 225 元【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有
27、区别，主要有两点：（1）设未知数在“当某某为何值时，什么最大（或最小、最省） ”的设问中，“某某”要设为自变量， “什么”要设为函数；（2）问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程例 3.你知道吗?平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为 4 m，距地面均为1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离 1m、25 m 处绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶已知学生丙的身高是 15 m，则学生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如右图所示)( )A15 m B1625 m C166 m D167 m分析：本题考查二次函数的应用答案：B
28、第五节 用函数的观点看方程（组）或不等式【回顾与思考】【例题经典】利用一次函数图象求方程（组）的解例 1 （1） （2006 年陕西省）直线 y=kx+b（k0）的图象如图 1，则方程kx+b=0的解为 x=_，不等式 kx+by2【点评】抓住抛物线与 x 轴的交点和直线与抛物线交点来观察分析利用函数与方程、不等式关系解决综合问题例 3 某医药研究所开发了一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药后 2 小时时血液中含药量最高，达每毫升 6 微克（1 微克=10-3毫克） ，接着逐步衰减， 10 小时时血液中含药量为每毫升 3 微克，每毫升血液中含药量 y（微克）随时间 x（
29、小时）的变化如图所示当成人按规定剂量服药后:（1）分别求出 x2 和 x2 时 x 与 y 之间的函数关系式； （2）如果每毫升血液中含药量为 4 微克或 4 微克以上时在治疗疾病时是有效的，那么这个有效时间是多长？【点评】从图中提供有效信息建立函数关系，并转化为不等式为解决第六节 函数的综合应用【回顾与思考】 函数应用1.:23.:4、【例题经典】一次函数与反比例函数的综合应用例 1 （2006 年南充市）已知点 A（0，-6） ，B（-3 ，0） ，C（m，2）三点在同一直线上，试求出图象经过其中一点的反比例函数的解析式并画出其图象 （要求标出必要的点，可不写画法） 【点评】本题是一道一次
30、函数和反比例函数图象和性质的小综合题，题目设计新颖、巧妙、难度不大，但能很好地考查学生的基本功一次函数与二次函数的综合应用例 2 （2005 年海门市）某校八年级（ 1）班共有学生 50 人，据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出是 a 元经测算和市场调查， 若该班学生集体改饮某品牌的桶装纯净水，则年总费用由两部分组成，一部分是购买纯净水的费用，另一部分是其他费用 780 元，其中，纯净水的销售价（元 /桶）与年购买总量 y（桶）之间满足如图所示关系（1）求 y 与 x 的函数关系式；（2）若该班每年需要纯净水 380 桶，且 a 为 120 时，请你根据提供的信息分析一下：该班学生集体改饮
31、桶装纯净水与个人买材料，哪一种花钱更少？（3）当 a 至少为多少时，该班学生集体改饮桶装纯净水一定合算？从计算结果看，你有何感想（不超过 30 字）？【点评】这是一道与学生生活实际紧密联系的试题，由图象可知，一次函数图象经过点（4，400） 、 （5，320）可确定 y 与 x 关系式，同时这也是一道确定最优方案题，可利用函数知识分别比较学生个人购买饮料与改饮桶装纯净水的费用，分析优劣二次函数与图象信息类有关的实际应用问题例 3 一蔬菜基地种植的某种绿色蔬菜，根据今年的市场行情，预计从 5 月 1日起的 50 天内，它的市场售价 y1与上市时间 x 的关系可用图（a）的一条线段表示；它的种植成本 y2 与上市时间 x 的关系可用图（b）中的抛物线的一部分来表示（1）求出图（a ）中表示的市场售价 y1 与上市时间 x 的函数关系式（2）求出图（b）中表示的种植成本 y2 与上市时间 x 的函数关系式（3）假定市场售价减去种植成本为纯利润，问哪天上市的这种绿色蔬菜既不赔本也不赚钱？（市场售价和种植成本的单位：元/千克，时间单位：天）【点评】本题是一道函数与图象信息有关的综合题学生通过读题、读图从题目已知和图象中获取有价值的信息，是问题求解的关键
