1、p15-44 群论- 1 -复习：子群陪集共轭元与类类的定理定理一若 ，则 。kCC21 1X逆定理若 ，则 。1XkC21定理二： 两个类的类乘（1.3-6）kkijji CcC是一个非负整数。ijkc1.4 正规子群与商群正规子群1、共轭子群： XSX-12、正规子群： XSX-1 = S（不变子群）p15-44 群论- 2 -3、正规子群的性质商群群 G 可以按正规子群 S 的陪集来分解G=S+SA2+SA3+SAi （1.2-4）1、定义G/S= S, SA2, SA3, SAi （1.4-7）2、商群的例子C3V/S = S, SA 同构和同态1、同构两个群的群元之间存在一对一的对应
2、关系（具有相同的群表） ，称这两个群同构。2、同态两个不同阶的群，群元之间存在多对一的对应关系，称这两个群同态。一个群与其商群同态。3、同态核 Pp15-44 群论- 3 -大群 G 中与小群 G的单位元对应的群元集合，称为同态核。同态核定理：同态核 P 是 G 的正规子群。1.5 直积群Ga=E, A2, A3, , AgaGb=E, B2, B3, , Bgb两个群满足（1）只有单位元是共同的；（2）G a 的所有元与 Gb 的所有元对易。则 Ga 与 Gb 的直积群为G= Ga Gb=EGb, A2Gb, A3Gb, , AgaGb = E,A2,Aga,B2,A2B2,AgaB2, A
3、gaBgb 例 1：6 阶循环群例 2：O h=O Ci定理：如果 G= Ga Gb，那么 Ga 及 Gb 必为G 的正规子群。半直积群p15-44 群论- 4 -两个群Ga=E, A2, A3, , AgaGb=E, B2, B3, , BgbGa 在 Gb 下不变，即 BiGa Bi-1=Ga，则集合 E,A2,Aga,B2,A2B2,AgaB2, AgaBgb 称为 Ga 与 Gb 的半直积群，记作 GaG b。作业 9：习题 11第二章 群表示理论2.1 群的矩阵表示定义：群 G 的矩阵表示，就是一个与群 G同态或同构的方矩阵群。群 D3=E, C2A, C2B, C2C, , C3z
4、13z（1）D 3 群的 d3 表示：10E10A01Bp15-44 群论- 5 -01C01D01FC2AC2B= 对应于 AB=D.13z（2）D 3 群的 D3 (3)表示：坐标变换 的矩阵表示：zyxRzyx3323121312110E10A10231B1023C1023D1023F（3）D 3 群的 D3 (2)表示：10E10A213B213C213D213Fp15-44 群论- 6 -（4）C 3V 群坐标变换矩阵作为 D3 群的表示：10E10A10231B1023C1023D1023F（5）D 3 群的一个三维矩阵表示 D：10E10A 21300B213001C213001
5、D21300F（6）D 3 群的高维矩阵表示：p15-44 群论- 7 -1001E 1001A1023B 100231C100231D 100231F（7）D 3 群的同态群表示：群 D3=E, C2A, C2B, C2C, , C3z13z正规子群 S=E, , C3z13z10E 10A或二维表示10E10Ap15-44 群论- 8 -等。确实表示和不确实表示恒等表示（一维的单位矩阵）E=(1), A=(1), B=(1), C=(1), D=(1), F=(1)表示的形式无限多。一个群的基本表示（不可约表示）只有有限的几个。表示的性质和表示之间的关系：（1）等价表示 M=S-1MS两个
6、等价表示的矩阵不同，但认为是相同的表示。例题：D3 群的 d3 表示：10E10A01Bp15-44 群论- 9 -01C01D01F与表示（5）D：10E 10A 21300B213001C213001D21300F是相同的。相似变换矩阵 062311631S计算 ：1S 16201620det S代数余子式p15-44 群论- 10 -，310621)(1 S 610312)(212 S 21326231)(13 S所以 021663131det13231SSS验证 100623116302166311Sp15-44 群论- 11 - 0623116310102166313)(1SBD 2
7、16310263102166321301)(BD作业 10：验算 D3 群的 d3 表示与 D表示是等价表示。另外，表示 D与 C3V 群坐标变换矩阵也等价；变换矩阵为 ，01S 01S验算：p15-44 群论- 12 - 012301010)(1SBD02130110230)(BD（2）幺正表示幺正矩阵 UU=I，即 U=U-1实正交矩阵 R 是幺正的。正交变换：在欧氏空间中保持任意矢量长度的线性变换。例如：D 3 群的坐标变换矩阵 D3 (3)表示：p15-44 群论- 13 -10E10A10231B1023C1023D1023FD3 群的 D3 (2)表示（3） 、C3V 群的坐标变换
8、矩阵 C3V (3)（4） ，都是正交变换矩阵，都是 D3 群的幺正表示。有关幺正表示的定理定理一 有限群的任何非奇异的矩阵表示，都可以通过相似变换变成幺正矩阵表示。定理二 若群 G 的两个幺正 表示 DG 和 DG是等价的，那么，必然存在一个幺正矩阵U，使 D(R)=U-1D(R)U注意：等价表示 M=S-1MS（例题）D 3 群的 d3 表示与 D表示是等价表p15-44 群论- 14 -示，相似变换矩阵为，062311631S 021663131Sd3 表示与 D表示是幺正表示，相似变换矩阵 S 也是么正的。 100623116310216631S（3）可约表示与不可约表示可约表示：表示
9、矩阵是相同形式的块状对角矩阵，或者可以用同一个相似变换变成相同形式的块状对角矩阵。D3 群的 D3(3)表示是可约表示：10E10A 1023Bp15-44 群论- 15 -10231C10231D10231FD3 群的 D表示是可约表示：10E10A 21300B213001C213001D21300FD3 群的 d3 表示也是可约表示：10E10A01B01C01D01F不可约表示p15-44 群论- 16 -D3 群的 D3(2)表示（可以记作 DE）：10E10A 213B213C213D213F恒等表示 D1 或 DA1：E=(1), A=(1), B=(1), C=(1), D=(
10、1), F=(1)可约表示 nGGG DDD321例如：D 3 群的 D可约表示 D= DA1D ED3 群的 D3(3)表示：10E10A 102301Bp15-44 群论- 17 -10231C10231D10231FD3(3)= DA2D E其中 DA2 不可约表示：E=(1), A=(-1), B=(-1), C=(-1), D=(1), F=(1)可约表示具有不同的很多形式，实际上很多是等价表示，即相同的表示。不可约表示是基本的。D3 群的不可约表示只有 3 个：DA1：E=(1), A=(1), B=(1), C=(1), D=(1), F=(1)DA2：E=(1),A=(-1),
11、B=(-1),C=(-1),D=(1), F=(1)DE：10E10A 213Bp15-44 群论- 18 -213C213D213F2.2 舒尔引理舒尔引理：若有一非零矩阵 A 与群 G 的某一表示的所有矩阵对易，（1）若此表示是不可约表示，则 A 必为单位矩阵的常数倍；（2）若 A 不是单位矩阵的常数倍，则表示必为可约的。当 A 是厄密矩阵时，约化矩阵就是使 A 对角化的矩阵。舒尔引理给出了可约性的原则判据。即：寻找与群 G 的某一表示所有矩阵对易的矩阵中，是否有不是单位矩阵常数倍的矩阵。复习：（p21 定理一），即 kkCX1 XCkk同一类的各元的表示矩阵之和，是否有不是单位矩阵常数倍
12、的矩阵。p15-44 群论- 19 -例：（1）对于 D3 群的二维表示 D210)(ED10)(A 213)(B213)(C213)(D213)(FD有 10)(ED 10213213)()(F0)()()(CDBAD对于可约性不能作出判断。（2）对于 D3 群的三维表示 d310E10A01Bp15-44 群论- 20 -01C01D01F有 10)(ED 01010)()(F1)()()(CDBAD找到了两个不是单位矩阵常数倍的矩阵，与群 D3 表示 d3 的所有矩阵对易。所以群D3 的表示 d3 是可约的。作业 11：由舒尔引理判断 D3 群的坐标变换矩阵表示即 D3(3)表示的可约性
13、。舒尔引理的逆定理（p.47）2.3 表示矩阵元的正交性定理定理：对于群 G 的两个不等价的不可约幺正表示p15-44 群论- 21 -（2.3-1）jijGRji lgRD)()(*例如：D 3 群的两个不等价的不可约么正表示：恒等表示1G： ， ， ，2D1010213213，213)(2D213)(2FDGRR1212)()( )21()21()21()2(1 26342lgGRRD1212)()( )23(23)(23230 264lg列指标不同（ ）：0p15-44 群论- 22 -GRRD12212)()( )23(123)1()3(3)(01 = 0 不是同一个不可约表示（ ）：0ijGRRD121)()( )21()21()2()2(1 04)(2（2.3-1）jijGRji lgRD)()(*
