1、 2019 届高三第三次考试数学（理）试卷一、选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数 满足 （ 为虚数单位） ，则复数 的虚部为（ ）A3 B-3i C3i D-32. 函数 的定义域为 ,函数 的定义域为 ,则 （ ）A. B. C. D. 2,1)2,1(2,6)3. 等差数列 中 ，则 （ ）na914078aa934aA8 B6 C4 D3 4. 函数 的图象如图所示，为了得到sin(,)2fx的图象，则只将 的图象（ ）cos3gxfxA向左平移 个单位 B向右平移 个单位44C向左平移 个单位 D向右平
2、移 个单位 12125.已知 是定义域为 的奇函数，满足 若 ，()fx(,)()(1)fxf()2f则 （ ）3)08ffA-2018 B0 C2 D506. 数列 的前 项和为 ，对任意正整数 ， ，则下列关于 的论断中正nanSn13naSna确的是（ ）A一定是等差数列 B一定是等比数列C可能是等差数列，但不会是等比数列 D可能是等比数列，但不会是等差数列7. 曲线 在点 处的切线的斜率为 2，则 的最2ln0,fxabx1,f 8ab小值是（ ）A1 0 B9 C8 D 38. 若实数 满足约束条件 ，目标函数 仅在点 处取得最小,xy1 3xy2zaxy10，值，则实数 的取值范围
3、是（ ）aA B C D -62， -62， -31， -31，9设向量 满足 , ,则 的最大值等于( )cb,1,cbabA. B.1 C. 4 D.21410. 设函数 ，若方程 恰好有三个根，分别为sin24fx90,8xfxa，则 的值为（ ）123,123()123A B C D 47411. 函数 ， ，若 成立，则 的最小值是（ ）A B C D 12. 若函数 有一个极值点为 ，且 ，则关于 的方程的不同实数根个数不可能为（ ）A2 B. 3 C4 D5 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分,共 20 分.13. 向量 的夹角为 ，且 则 _ba,601|2|ba(
4、2)ab14. 定积分 _.15.如图， 是直线 上的三点， 是直线 外一点，已知,ABClPl， ， 则1290 4tan3AB=_.PAC16.若关于 的方程 存在三个不等实根，则实数 的取值范围是_.三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17 （本小题满分 10 分）已知函数 的定义域为 .（1）求实数 的取值范围；（2）若实数 的最大值为 ，正数 满足 ，求 的最小值.,ab823nab32ab18.（本小题满分 12 分）在ABC 中，a，b，c 分别是内角 A，B，C 的对边， 51cos5ABC，（1）若 ，求ABC 的面积 SAB
5、C ；4BC（2）若 是边 中点，且 ， 求边 的长DA27D19.（本小题满分 12 分）已知数列 的前 项和 满足 ，且 成等差数列.nanS12na23,a（1）求数列 的通项公式；（2）设 ，求数列 的前 项和 .12nbSnbnT20. （本 小题满分 12 分）已知 ，若sincos,3,mxx cosin,2sinxx(0)，且 的图象相邻的对称轴间的距离不小于 .fxf （1）求 的取值范围.（2）若当 取最大值时， ，且在 中， 分别是角 的对1fABC,abc,ABC边，其面积 ，求 周长的最小值.3ABCS21. （本小题满分 12 分）已知动点 到定直线 的距离比到定点
6、 的距离大 .P:2lx1,02F32（1）求动点 的轨迹 的方程；C（2）过点 的直线交轨迹 于 ， 两点，直线 ， 分别交直线 于点2,0DABOABl， ，证明以 为直径的圆被 轴截得的弦长为定值，并求出此定值. MNx22. （本小题满分 12 分）函数 2ln1.(fxax为 常 数 ）(1)讨论函数 的单凋性；(2)若存在 使得对任意的 不等式0,x2,0（其中 e 为自然对数的底数）都成立，求实数 的取值范22(1)(4amefa m围2019 届高三第三次考试数学（理）试卷参考答案DBDAC CBBDD AA 6 4-32-171(,)e1. 复数 满足 （ 为虚数单位） ，则
7、复数 的虚部为（ ）A B C D 【解】 ，复数 z 的虚部为 . 本题选择 D 选项.2.函数 的定义域为 , 的定义域为 ,则 ( )A. B. C. D. 2,1(2,6)【解】 选择 B3. 等差数列 中 ，则 （ ）na291242078aa9314aA8 B 6 C 4 D 3 【解】D4. 函数 的图象如图所示，为了得到sin(0,)2fx的图象，则只将 的图象（ ）co3gfxA 向左平移 个单位 B 向右平移 个单位44C 向左平移 个单位 D 向右平移 个单位 【答】A1212【解析】 7,;3T323kZkZ ,所以将 的图象向左sin2cos2cos234fxxxfx
8、平移 个单位得到 ，选 A4cos23gx5已知 是定义域为 的奇函数，满足 若 ，则（ ）A B 0 C 2 D 50【答案】C【解析】f（x）是奇函数，且 f（1x）=f（ 1+x） ，f（1x）=f（1+x ）= f （x1） ，f （0）=0，则 f（x+2）=f（x） ，则 f（x+4）=f （x+2 ）=f（ x） ，即函数 f（x）是周期为 4 的周期函数，f（1）=2 ，f（2）=f（0）=0，f （3）=f（12）=f（1）=f（1）=2，f（4）=f（0）=0，则 f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+02+0=0，则=504f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f
9、（2017）+ f（2018）=f（1）+f（2）=2+0=2，6. 数列 的前 项和为 ，对任意正整数 ， ，则下列关于 的论断中正nanSn3naSna确的是（ ）A 一定是等差数列 B 一定是等比数列C 可能是等差数列，但不会是等比数列 D 可能是等比数列，但不会是等差数列【答】C【解】a n+1=3Sn，S n+1Sn=3Sn，S n+1=4Sn，若 S1=0， 则数列a n为等差数列；若 S10，则数列S n为首项为 S1，公比为 4 的等比数列， S n=S14n1，此时 an=SnSn 1=3S14n2(n2)，即数列从第二项起，后面的项组成等比数列。综上，数列a n可能为等差数
10、列，但不会为等比数列。7. 曲线 在点 处的切线的斜率为 2，2l0,fxbxa1,f则 的最小值是（ ）8aA 10 B 9 C 8 D 【答案】B32【解析】 根据导数的几何意义， ，即2.fxb12fabb1.2a= =( ) )= +52 +5=4+5=9，当且仅当8ab1a(ab28即 时，取等号.所以 的最小值是 9.2 8ab13 48ab8. 若实数 满足约束条件 ，目标函数 仅在点 处取得最小,xy1 3xy2zaxy10，值，则实数 的取值范围是（ ）aA B C D 【答案】B-62， -62， -1， -31，【解】 作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，将 ，化成
11、，2zaxy2azx当 时， 仅在点 处取得最小值，132a2azyx,0即目标函数 仅在 处取得最小值，解得 ，故选 B.zx1,069设向量 满足 , ,则 的最大值等于( )cba,13,2cbabA. B.1 C. 4 D.214【答】D【解】设 因为 ， ，所以 四点共圆,因为 ，所以 ，由正弦定理知 ，即过四点的圆的直径为 2，所以| |的最大值等于直径 210. 设函数 ，若方程 恰好有三个根，分别为sin4fx90,8xfxa，则 的值为（ ）123,x123()123A B C D 474【答】D【解】 由 ，则 ， 画出函数的大致图象，如图所示，90,8x52,42x得当
12、时方程 恰有三个根，由 得 ；由21afa42x8x得 ，由图可知， 与点 关于直线 对称；34x58x1,0,点 和点 关于 对称， 所以 ，2,03, 22354xx所以 ，故选 D121237xx11. 函数 ， ，若 成立，则的最小值是（ ）A B C D 【答案】A【解】设 ，则 ， ， ， ，令 ，则 ， ， 是 上的增函数，又 ，当 时， ，当 时， ，即 在 上单调递减，在 上单调递增， 是极小值也是最小值， 的最小值是 故选 A12. 若函数 有一个极值点为 ，且 ，则关于 的方程 的不同实数根个数不可能为（ ）A B C D 【答案】A【解】由 ，由题意 有两个不等实根，不
13、妨设为 ，因此方程 有两个不等实根 ，即 或 ，由于 是 的一个极值，因此 有两个根，而 有 1 或 2 或 3 个根（无论 是极大值点还是极小值点都一样，不清楚的可以画出 的草图进行观察） ，所以方程 的根的个数是 3 或 4 或 5，不可能是 213.已知向量 的夹角为 ，且 则 _ba,60,1|,2|ba(2)ab【解】614. 定积分 _ 【答案】【解】 ，故15. 如图， 是直线 上的三点， 是直线 外一点，已知 ， ,ABClPl12ABC， 则 =_90P4tan3AC【答案】 3217【解析】设 ， ，则由PBC434tan,cos,sin355APBAPB可得 2A 12i
14、sicsini， ， ，且 2 222148osccos ，解得 5sin186cos， 26in7则 5sincos904PACAPCAPB23sii1B16.若关于 的方程 存在三个不等实根，则实数 的取值范围是_【答案】【解析】原方程可化为 ，令 ，则 设 ，则 得，当 时， ，函数单调递增；当 时， ，函数单调递减故当 时，函数有极大值 ，也为最大值，且可得函数 的图象如下：关于 的方程 存在三个不等实根，方程 有两个根，且一正一负，且正根在区间 内令 ，则有 ，解得 实数 的取值范围是17. 已知函数 的定义域为 .（1）求实数 的取值范围；（2）若实数 的最大值为 ，正数 满足 ，
15、求 的最小值.【解】 （1）由 在 上恒成立，即 恒成立（当且仅当 时等号成立）（2）由（1）知 ，即 ，当且仅当的最小值是 18.在ABC 中，a，b，c 分别是内角 A，B，C 的对边， 51os5ABC（1）若 ，求ABC 的面积 SABC ；4（2）若 是边 中点，且 ，求边 的D27DBC长【答案】 （1） ；（2）4.46【解】 （1） ， ，又51cos5AB， 4，(0,)ABCB CDA所以 562cos1sin2ABCABC， 64521sin21 ABCBSAC （2）以 BA，BC 为邻边作如图所示的平行四边形 ABCE，如图，则 ，BE 2BD7，CE AB5，51c
16、oscosABCE在BCE 中，由余弦定理： BCEEcos22即 ，解得：CB4 )51(2549C19. 已知数列 的前 项和 满足 ，且 成等差数列.nanS12na23,a（1）求数列 的通项公式；（2）设 ，求数列 的前 项和 .【答】 （1） （2）12nbSnbnTna14n【解】 （1） ，所以 ，即 （ ） ，即数列na12nnaS1n是以 2 为公比的 等比数列，又 成等差数列，所以 ，即na123,321a，解得 ，所以数列 的通项公式为 .114nan（2）由（1）得 ，1nS所以 12124n nnnb，1142nnB CDA E223 11114 242n nnnT
17、 20. 已知 ，若sincos,mxx cosi,sixx(0)，且 的图象相邻的对称轴间的距离不小于 .fxf 2（1）求 的取值范围.（2）若当 取最大值时， ，且在 中， 分别是角 的对边，1fABC,abc,ABC其面积 ，求 周长的最小值.【答案】 （1） （2）63ABCS01【解】 （1） sincossin3cosinfxmxxx22(cosin)23i()6www又由条件知 ，所以 . 01（2）当 取 最大值 1 时， ，又 ，2sin16fA132,6A所以 ，故 .在 中， ， 56A3BCsin4ABCSbcc又由余弦定理有： 4bc22cosab周长24426ac
18、 b当且仅当 时取得等号.所以， 周长的最小值为 .ABC621. 已知动点 到定直线 的距离比到定点 的距离大 .P:2lx1,02F32（1）求动点 的轨迹 的方程；C（2）过点 的直线交轨迹 于 ， 两点，直线 ， 分别交直线 于点 ，2,0DABOABlM，证明以 为直径的圆被 轴截得的弦长为定值，并求出此定值.【答案】 （I）NMx；（II）详见解析.2yx【解】 （）设点 的坐标为 ，因为定点 在定直线 ： 的右侧，且动P,xy1,02Fl2x点 到定直线 ： 的距离比到定点 的距离大 ，Pl2x1,02F32所以 且 得 ，即 ，2x213yx 1xyx2yx轨迹 的方程为 C（
19、）设 ， （ ） ，则 ， 21,At 2,Bt120t211,DAtt， ， ， 三点共线， ，22DBD12t ，又 ， ，10tt12t12t直线 的方程为 ，令 ，得 同理可得 OA1yxt1,Mt2,Mt所以以 为直径的圆的方程为 ，MN1220xytt即 将 代入上式得212140txyyt12t，令 ，即 或 ，212ty0x4故以 为直径的圆被 轴截得的弦长为定值 4MNx22. 函数 2ln1.(fa为 常 数 ）(1)讨论函数 的单凋性；x(2)若存在 使得对任意的 不等式0,12,0（其中 e 为自然对数的底数）都成立，求实数 的取值202m4aefxa m范围【解析】
20、（I） ，记 211 xafx(0)x21gxax（i）当 时 ，所以 ，函数 在 上单调递增； 0a0gf,（ii）当 时，因为 ，224aA所以 ，函数 在 上单调递增；gxfx,（iii ）当 时，由 ，解得 ，2a0g22,ax所以函数 在区间 上单调递减，fx22,a在区间 上单调递增220,（II）由（I）知当 时，函数 在区间 上单调递增，,0afx0,1所以当 时，函数 的最大值是 ，对任意的 ，0,1xfx2a2,0都存在 ，使得不等式 成立，024amefx等价于对任意的 ，不等式 都成立， ,a2max1即对任意的 ，不等式 都成立，02ae记 ，由 ，2214ahme01h， 2a aee由 得 或 ,因为 ，所以 ，0alnm,20当 时， ，且 时， ，21mel0lnamha时， ，所以 ，ln,hai llnh所以 时， 恒成立；20a当 时， ，因为 ，所以 ，me2 1ae2,0a0ha此时 单调递增，且 ，h48h所以 时， 成立；2,0a20ha当 时， ， ，meme20hm所以存在 使得 ，因此 不恒成立0,0a综上， 的取值范围是 21,
