1、135第 13 讲 第 5 章 线性系统的频域分析法Frequency-response analysis5.1 频率特性及其表示法5.2 典型环节对数频率特性曲线的绘制5.3 典型环节的幅相曲线的绘制5.4 稳定裕度和判据5.3 极坐标图(Polar plot)，幅相频率特性曲线，奈奎斯特曲线5.3.1 积分与微分因子5.3.2 一阶因子5.3.3 二阶因子5.3.4 传递延迟ReIm 010 ReIm 0Tj11 Tje 低 频 区图 5-33(a) 传递延迟的极坐标图图 5-33(b) 和 的极坐标图TjeTj1可以写成TjejG)( TjjGsincos)( 因为的幅值总为 1，而相角
2、随线性变化，所以传递延迟的极坐标图是一个单位园圆，如图 5-33(a)所示。在低频时，传递延迟与一阶环节的特性相似，如图 5-33(b)所示。当 时，T1TjeTj1136TjTj11当 时，两者存在本质的差别。T5.3.5 极坐标图的一般形状 ReIm0型 系 统0型 系 统1型 系 统2 00 0 Re01mn2mn3mn图 5-34(a)0 型 1 型和 2 型系统的极坐标图(b)高频区域内的极坐标图 )1()1)(1()( 2 jTjTjjKjGnm n即 0 型系统：极坐标图的起点 是一个位于正实轴的有限值。 0对应于 的极坐 标图曲线的终点位于坐 标原点，并且这一点上的曲线与一个坐
3、标轴相切。1 型系统：在总的相角中， 的相角是 项产生的。在低频时，极坐90j标是一条渐近于平行与虚轴的直线的线段。当 时，幅 值为零，且曲线收敛于原点，且曲线与一个坐标轴相切。即 2 型系统：在总相角中 的相角是由 项产生的。 1802)(j0 型、1 型和 2 型系统极坐标图低频部分的一般形状如图 5-34(a)所示。如果 的分母多项式阶次高于分子多项式阶次，那么 的轨迹)(jG )(jG137将沿者顺时针方向收敛于原点。当 时， )(jG轨迹将与实轴或虚轴相切如图 5-34(b)所示。极坐标图曲线的复杂形状都是由分子的动动态特性引起的。由分子的时间常数决定的。5.4 对数幅-相图(Nic
4、hols Chart)尼柯尔斯图Nichols ChartOpen-Loop Phase (deg)Open-Loop Gain(dB)-180 -135 -90 -45 0-50-40-30-20-1001020图 5-34 二阶因子对数幅- 相图5.5 奈奎斯特稳定判据(Nyquist Stability Criterion) C(s)R(s) G(s)H(s)图 3-35 闭环系 统考虑图 5-35 所示的闭环系统，其闭环传递函数 为)(1)(sGHsRC138为了保证系统稳定，特征方程 0)(1sGH的全部根，都必须位于左半 s 平面。 虽然开环传递函数 的极点)(sGH和零点可能位于
5、右半 s 平面，但如果闭环传递函数的所有极点均位于左半s 平面， 则系 统是稳定的。奈奎斯特稳定判据正是将开环频率响应 与)()(jj在右半 s 平面内的零点数和极点数联系起来的判据。这种方)(1sGH法无须求出闭环极点，得到广泛应用。由解析的方法和实验的方法得到的开环频率特性曲线，均可用来进行稳定性分析。奈奎斯特稳定判据是建立在复变函数理论中的图形影射基础上的。假设开环传递函数 可以表示成 s 的多项式之比。对于物理)(sGH上可实现的系统，闭环传递函数的分母多项式的阶数必须大于或等于分子多项式的阶数，这表明，当 s 趋于无穷大时，任何物理上可实现系统的的极限，或 趋于零，或趋于常数。)(s
6、GH5.5.1 预备知识 0)(1)(sGHsF可以证明，对于 S 平面上 给定的一条不通过任何奇点的连续封闭曲线，在平面上必存在一条封闭曲线与之对应。 平面上的原点被封闭曲)(sF )(sF线包围的次数和方向，在下面的讨论中具有特别重要的意义。我们将包围的次数和方向与系统的稳定性联系起来。例如考虑下列开环传递函数： )2)(16)(ssGH其特征方程为：139)2(16)(1)( ssGHsF0)2(14.5.4.5.( sjj函数 在 s 平面内除了奇点外 处处解析。 对于 s 平面上的每一个解析点，)(F平面上必有一点与之对应。例如 ，则 为：)(s 21js)(F57.0.)23)(2
7、(61)( jjjjF 这样，对于 s 平面上给定的连续封闭轨迹，只要它不通过任何奇点，在平面上就必有一个封 闭曲线与之对应 。)(sS 平面 平面)(sF-1 0 1 2 3 4-1-0.500.511.52-4 -3 -2 -1 0 100.20.40.60.811.21.41.61.82A B CDA1 B1 C1D1（a）140-3 -2 -1 0 1-2-1.5-1-0.500.511.52-1 0 1 2 3 4-2-1.5-1-0.500.511.52A B C D E F A B C D E F1 A B C D E F A1 B1 C1 D1 E1 (b)-3 -2 -1 0
8、 1-3-2-101230 1 2 3 4-2-1.5-1-0.500.511.52(d)141图 5-36 s 平面上的图形在平面上的保角 变换图 5-36（a）所示为上半 s 平面内的直线 和 在 平面上1,32)(sF的保角变换。例如，上半 s 平面内的直线 映射到 平面)0(js上，就变成了 平面上的 的曲线。对于 s 平面上顺时针转出的轨)(F3迹 ABCD，其在 平面上对应曲线是 A1B1C1D1。曲线的箭头表示运动方向。根据保角变换的性质，s 平面相上和 平面上对应的角度是相等)(F的，并且具有相同的意义（例如，因为 s 平面内的直线 AB 与 CD 相互垂直，所以在 平面上 A
9、1B1 与 C1D1 在 B1 点也构成直角）。由图 5-36(b)可)(sF以看出，当 s 平面上的 图形包围两个 的极点时， 的轨迹将反时针)()(s方向包围 平面上原点两次。)(在 的平面上，图形包围原点的次数，取决于 s 平面上的封闭曲线。例如，这个曲 线当 s 平面上的图形包围 的两个极点和两个零点，相应)(sF的 的轨 迹将不包围原点。如图 5-36（c）所示。如果这个曲线只包围一个)(sF零点，相应 的 的轨迹将顺时针包围原点一次，如图 5-36（d）所示。如果)(s 平面上的封闭曲线既不包围原点又不包围极点， 的轨迹将永远不会)(s包围 平面上的原点，如图 5-36（d）所示。
10、)(对于 s 平面上的每一点，除了奇点外，在 平面上只有一个相应的)(F点与之对应，即从 s 平面到 平面的影射是一一对应的。但是，从)(sF平面到 s 平面的影射不是一一对应的，因为对于 平面上的某一)(F )(s给定点，在 s 平面上可能有一个以上的点与之对应。例如如图 5-36（c）中，对于 平面上的 B1 点，在 s 平面上与之 对应的有(-3,3)和(0,-3)两个点。)(如果在 s 平面上曲线包围 k 个零点和 k 个极点(k=0,1,2)，即包围的零点数与极点数相同，则在 平面上，相应 的封闭曲线不包围 平面)(sF )(sF上的原点。上述讨论是影射定理的图解说明。奈奎斯特稳定判
11、据正是建立在影射定理的基础上。5.5.2 影射定理 )(sF设 为两个 s 的多 项式之比，并设 P 为 的极点数，Z 为)( )(sF142的零点数，它 们位于 s 平面上的某一封 闭曲线内，且有多重极点和多)(sF重零点的情况。又设上述封闭曲线不通过 的任何极点和零点。于是，s)(F平面上的这一封闭曲线影射到 平面上，也是一条封闭曲线。当变量 s)(s顺时针通过封闭曲线时，在 平面上，相应的轨迹顺时针包围 原点F )(F的总次数 R 等于 Z-P。若 R 为 正数，表示 的零点数超过了极点数；若 R 为负数，表示)(s的极点数超过了零点数。在控制系 统应 用中，由 很容易确)(sF )(s
12、GH定 的 P 数。因此，如果， 的轨迹图中确定了)(1)(sGH )(sFR，则 s 平面上封闭曲 线内的零点数很容易确定。5.5.3 影射定理在闭环系统稳定性分析中的应用为了分析线性控制系统的稳定性，令 s 平面上的封闭曲线包围整个右半 s 平面。 这时 的封闭 曲线由整个 轴(从 到 )和右半 s 平面上j半径为无穷大的半圆轨迹构成。该封闭曲线为奈奎斯特轨迹( 轨迹的方向为顺时针方向) ，如图 5-37 所示。因为奈奎斯特轨迹包围了整个右半 s 平面，所以它包围了 的所有正实部的极点和零点。如果)(1sGH在右半 s 平面不存在零点，则 不存在闭环极点，因而系统是)(1s稳定的。封 闭曲
13、线，即奈奎斯特曲线不通过 )(1sGH的任何极点和零点。如果将影射定理应用到 的特殊情况，可以陈述)()(ssF如下：如果 s 平面上的封闭曲线包围整个右半 s 平面，则函数在右半 s 平面内的零点数等于函数)(1)(GHsF右半 s 平面内的极点数，加上在)()(s143平面内的对应封闭曲线对 平面)(1)(sGHsF )(1)(sGHsF上原点的顺时针方向包围次数。 平 面sj0图 5-37 s 平面内的封闭 曲线根据前面的假设条件，有闭环常 数)(1limsHGs即当 s 沿半径为无穷大的半圆运动时，函数 保持)(1)(sGHsF常数。因此， 的轨迹是否包围了)(1)(sF平面上的原点，
14、可以考虑 s 平面上的封闭曲线的一)(1)(sGHsF部分，即只考虑 轴来确定。传函数奈奎斯特闭环系统j5.5.4 奈奎斯特稳定判据利用 的轨迹，对-1+j0 点的包围情况以及分析系统的方法概)(jHG括为下列奈奎斯特稳定判据（对于 在 轴上既无极点也无零点)(sGHj的特殊情况）：如果开环传递函 在 s 右半平面内有 k 个极点，并)(s且 ，则为了使闭环系统稳定，当 从 变到 时，常 数)(1limsHGs 144的轨迹必须反时针包围-1+j0 点 k 次。 )(jHGReIm平 面GH1)()(1 jHjG10 ReIm0)()(1 jHjG )()( jHjG1 平 面GH5.5.5
15、关于奈奎斯特稳定判据的几点说明这一判据可表示为： PRZ式中函数 在右半 s 平面内的零点数Z)(1)(sGHsF对-1+j0 点顺时针包围的次数R函数 在右半 s 平面内的极点数P)(s如果 P 不等于零，对于稳定的控制系统，必须 或 ，这意味0ZPR着必须反时针方向包围-1+j0 点 P 次。如果函数 在右半 s 平面内无任何极点，则 。因此，为)(sGH了保证系统稳定， 的轨迹必须不包围-1+j0 点。j5.5.6 含有位于 上极点和/或零点的特殊情况)(sj145平 面sj 0j0jjj 1ABC 平 面GHReIm ,FEDFEDA BC00图 5-39 s 平面上的封闭曲线和 GH
16、 平面上的 轨迹，其中)(sHG)1()(TKsHG因为奈奎斯特轨迹不能通过 的极点/ 和或零点。S 平面上的封闭)(sHG曲线的形状必须加以改进。在原点附近采用半径为无穷小 的半圆，如图 5-39 所示。变量 沿着 轴从 运动到 ，从 到 ，变量 沿着半径sjj0jj0s为 （ ）的半圆运动，再沿着正 轴从 运动到 。从 开始，轨迹1jjjj为半径为无穷大的半圆，变量沿着此轨迹返回到起始点。 平 面sj 0j0jjj 1ABC 平 面GHReImFED 001图 5-40 s 平面上的封闭曲线和 GH 平面上的 轨迹，其中)(sHG)1()(2TKsHG146对于包含因子 的开环传递函数 ，
17、当变量 s 沿半,32,1s )(sGH径为 ( )的半圆运 动时， 的图形中将有 个半径为无穷大的)(sGH顺时针方向的半圆环绕原点。例如，考虑开环传递函数： )1()(2TsKs设 则jes jeseHGj)(lim当 s 平面上的 时， 的相角 。如图 5-4090)(s180所示。在右半 s 平面内没有极点，并且对所有的正 K 值，轨迹包围点两次。所以函数 在右半 s 平面内存在两个零点。因01j )(1sGH此，系统是不稳定的。如果 含有位于 轴上的极点和/或零点，则可以采用类似)(sGHj的方法进行分析。奈奎斯特稳定判据（对于 含有位于 轴上的极点和/或零)(sGHj点的一般情况）
18、：如果开环传递函数 在右半 s 平面内有 k 个极点，则为了使系统稳定，当变量 s 顺时针通过变化后的奈奎斯特轨迹时，轨迹必须反时针方向包围 点 k 次。)(sGH01j0j5.6 稳定性分析如果在 s 平面内，奈奎斯特轨迹包含 的 Z 个零点和 P 个)(1sGH极点，并且当 s 变量顺时针沿奈奎斯特轨迹运动时，不 通过)(1s147的任何极点或零点，则在 平面上相对应的曲线将沿顺时针方向)(sGH包围 点 次（负 R 值表示反时针包围 点） 。01jPZR 01ja)不包围-1+j0。如果这时 在右半 s 平面内没有极点，说明)(s系统是稳定的；否则，系统是不稳定的。b)反 时针 包围 点
19、。如果反时针方向包 围的次数，等于01j在右半 s 平面内没有极点数，则系统是稳定的；否则系统是不)(sGH稳定的。c)顺时针包围 点。系统是不稳定的。01j例 5-3 设闭环系统的开环传递函数为： )1)()(21sTsKGsH的轨迹如图 5-41 所示。 在右半 s 平面内没有任)()(jGjH )(GH何极点，并且 的轨迹不包围 ，所以对于任何的值，该)(jj 01j系统都是稳定的。148Nyquist DiagramReal AxisImaginary Axis-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.6-0.4-0.200.20.40.
20、6图 5-41 例 5-3 中的 极坐标图)()(jGjH例 5-4 设系统具有下列开环传递函数： )1)()(21sTsKsG试确定以下两种情况下，系统的稳定性：增益 K 较小增益 K 较大。小 K 值平 面GHReIm001 000ZRP149平 面GHReIm001 220ZRP大 K 值图 5-42 例 5-4 中的 极坐标图)()(jGjHjjj0在右半 s 平面内的极点数等于零。为了使系统稳定必须保证)(sGH，或者说 的轨迹不包围 点。对于小 K，0ZR)(GH01j的轨迹不包围 点，因此系统在小 K 值时是稳定的。对于)(s01j大 K， 的轨迹顺时针包围 点两次，说明有两个闭
21、环极点)( 01j为位于右半 s 平面，因此系统在大 K 值时是稳定的。例 5-5 设开环传递函数为： )1()(2sTsGH该系统的闭环稳定性取决于 和 相对大小。试画出该系统的奈奎斯特图，1T并确定系统的稳定性。150ReIm00121TT平 面GH 平 面GHReIm00121TT点矢 量 穿 过 01)()( jjHjG 稳定 平 面GHReIm00121TT不稳定图 5-43 例 5-5 中的 极坐标图)()(jGjH时， 的轨迹不包 围 ，因此，系统是稳定的。21T)(sGH01j当 时， 的轨迹通过 点，这表明闭环极点位于 轴)(s j j上。当 时， 的轨迹顺时针 方向包围 点
22、两次，因此21T)(s 01j系统有两个闭环极点位于右半 s 平面，系统是不稳定的。151例 5-6 设一个闭环系统具有下列开环传递函数： )1()(TsKsHG试确定该闭环系统的稳定性。 平 面GHReIm100图 5-44 例 5-6 中的 极坐标图)()(jGjH在右半 s 平面内有一个极点 ( )，因此 。图 5-44 中的奈)(sGHTs11P奎斯特图表明， )(GH轨迹顺时针方向包围 点一次，因此，0j。因为 。这表明闭环系统有两个极点在右半 s 平面，因此系1R2PRZ统是不稳定的。例 5-7 设一个闭环系统具有下列开环传递函数：试确定该闭环系统的稳定性。 1,)(3)(KsHsG在右半 s 平面内有一个极点 ( )，因此 。开环系统是不稳)( 1s1P152定的。图 5-45 表明 轨迹逆时针方向包围 点一次，因此，)(sGH01j因为 ，这说明 没有零点位于右半 s 平面内，1R0PRZ)(1s闭环系统是稳定的。这是一个开环系统不稳定，但是回路闭合后，变成稳定系统的例子。 平 面GHReIm001 图 5-45 例 5-7 中的 极坐标图)()(jGjH1)(313)( jjKjjG)(4)(22jK jK)1(3)(4223K134)(
