1、1高等数学（二）习题库鲜思东 李红刚 张一进重庆邮电学院计算机学院2004 年 7 月2说 明根据：（1） “大纲” 、 “计划”要求和教材内容；（2）学生学习实际，多层次能力设计，满足后继课学习需要；（3）教学实践；（4）提高学生考研成绩。我们特编写和制作了高等数学（二）的教学辅导资料。本资料的特点：（1）系统性强，适合学生建立全面系统的知识网络；（2）突出方法描述，适合训导学生建立分析思维；（3）注意基本能力培养，适合学生注重基本知识、基本方法的学习和掌握；（4）选题层次要求清晰，适合学生按自己的专业特点和自己学习目标选择学习内容和习题内容；（5）设问和答疑，注重训导学生对方法、实际背景、
2、激发创造思维；（6）习题解答程度适当，训导学生动手、动脑 ，选题按内容、难度分层次、一般题目无解答过程，只提供可能的参考解法；有一定难度的题目，给出主要解答；对于富于创造性思维、难度较高的问题，给出比较详尽的解答。从而使我们的参考教材具有广泛的适用性、理论上的完备性、应用方面的灵活性，在3实践中定能认真负责地帮助学生增强学习兴趣，丰富学习方法，提高学习的效果。第一章 映射，极限，连续习题一 集合与实数集基本能力层次：【1.1-A1-3】1：已知：A ，B= .1120,n 112,n 求：AB,AB,AB,BA解：ABA； ABB; AB=0; BA= ；分析：因为 【1.1A2-1 】 2:
3、 已知：A x|1x2 x|5x63,B=y|2y3求：在直角坐标系内画出 AB解：如图所示 AB（x,y）| .,xAyB【1.1-A5 】3：证明： P 为正整数，p2n 或 p2n+1，当 p2n+1 时，p 24n 2+4n+1，不能被 2 整除，故 p2n。即结论成立。基本理论层次：【1.1-A6 】4：证明：设 p，q 为数集 A 的上确界，且 pq。设 pN 时,就有|1n有定义变知 成立1|nli1n8：求下列数列的极限（1） （2）lim3n223linn （3）（4） （5） （ ）1linlimna0解：（1） ,又 ,所以 , 故： 023nlim03nxli3nli3
4、n（2）由于2233(1)1()26nn 又因为： ,所以：1li()6n23linn （3）因为：所以：（4） 因为： ，并且 , 故由夹逼原理得1limnn1lim()nlin（5）当 a1 时,结论显然成立. 由二项式公式得：8同理：当 时，由于 可得 01a1a9: 证明：由二项式定理,又因为： ）故：所以：10：证明:因为： N, 从而有1nba故： N+,并且：9+111： 22211()()()npannp12：证明：因为对于 ，取 m2n，由于01213：解：14：10解：15：证明：16： 1117：证：设 x0。按定义：1819：12得：20：解：由于21：解：22：解：1
5、3故：23：24：25：1426：27：28：29：1530：判断题：1：2：3： 4： 5 0 分析能力层次12：163：174：185：习题三 无穷小与无穷大、极限运算法则及两个重要极限基本能力层次1设 1,)(xxf问：当 时 )(xf是无穷小吗？是无穷大吗？为什么？2两个无穷小的商是否一定是无 穷小？举例说明.3将 )(fy表示成一个常数与无 穷小之和：19(1) xfy12)( ， 当 ; (2) xfy1)(2 ， 当 0. 4.证明：函数 sin在区间 ,0上无界，但当 0x时， 这函数不是无穷大.5求下列极限：（1） 42lim2x; (2) 2limx; (3) x3li20
6、 ； (4) )13(li1x; (5) )1(li1x ； (6) )25(li0xx;（7） )2(limxx； (8) 1lim2x,；(9) 145li2x； （10） 232lix；(11) )(li3x； (12) )141(linn ；（13） 2)(.mnn； (14) 2m；(15) )1si(l0xx； (16) xxarct)(li.6若 0li23x ,试求 与 .7计算下列极限： （1） xcotlim0； (2) xx5tan3silm0；(3) x5sin2； (4) i2co1 ； (5) )(lin, (x 为不等于零的常数 )； （6） xnsli ；(7)
7、 22xx.8.计算下列极限：（1） kx)(lim ,(k 为正整数 )； （2） xx2)1(lim；(3)124lixx； (4) xx2cot0)tan3li；20(5) xox12)(lim.9若 2liean,试 求 a 的值（a 为正整数）.10利用极限存在准则证明：（1） ， ， ,的极限存在（a0 ）；（2） 1.21lim22 nnn .基本理论层次1：解：同理：（3） ， （4）2：213：解：由： 得：则：分析能力层次习题四 无穷小的比较、函数的连续及性质基本能力层次1当 0x时, 与 )(tansi2x相比,哪一个是高阶无 穷小？2.当 时， x1 和 (1) ,(2
8、) )1(2x 是否同阶？是否等价？3证明：当 时,有 sec x-1 x 2.4.求下列极限：（1） 20coslimxx； (2) mnx)(tasil0,（n，m 为正整数）；22(3) xx20sintalm.5证明： )(0(t, (x0).6研究下列函数的连续性，并画出函数的图形：（1） xfy)( ; (2) 2,140,)(xxfy.7.求下列函数的间断点，并指出其 类型:、1、 2312xy; (2) ysin;(3) cos; (4) .1,1,x或 ;（5） nnxxf2lim)(.8. 设 0,si)(xabf（a，b 是常数）:问 a，b 为何值时 ， )(xf在 0
9、连续？9证明：若函数 )(f在点 连续且 0)(xf,则存在 0的某一邻域 )(0U,当)(x0U时， x.10求函数 321f的连续区间，并求极限 )(lim0xf, )(li3f及 )(lim3xf.11.求下列极限：（1） 1lim243xx； （2） )2cosln(i6x；（3） 5li1x； （4） )si1(silmxx；（5） 20lnixx； （6） exxtanlisi2si0.12.设函数 .1,)(2xbaf求 a、b 的值，使函数在（- ，+ ）内连续.2313证明方程 0sin2x在区间 ),2(内至少有一个根 .14.证明：设 )(f在(- ,+ )内连续， 1x
10、是方程 0)(xf的两个相邻的根 )(21x,若存在 2,10x使 0f (或 )0f),则对任一 ),(21x都有 0f(或)(f).15.若 x在 ba,上连续, bxxn21,则在 nx,1上必有 ,使nffii)()(1.16.证明：若 xf在(- ,+ )内连续，且 )(limxf存在，则 )(xf必在(- ),内有界.基本理论层次1：2：证明：因为从而，3：24（1） （2）（3）4：255：6：267：8：（a）（d）分析能力层次（略）综合练习题基本能力层次1在“充分”、 “必要 ”和“充要” 三者中选择一个正确的填空：27(1) )(xf在 0的某一去心邻域内有界是 )(lim
11、0xf存在的 条件；(2) lim0x是 )(xf在 0的某一去心邻域内无界的 条件；(3)函数 fy在点 左、右极限都存在且相等是它在该点有极限的条件 ；(4)若 ax时，有 )(0xgf，则 0)(limxa是 )(f在 ax过程中为无穷小的条件 ；(5)函数 )(fy在点 0处有定义是它在该点连续的条件 ；(6)函数 x在区间 ba,上连续是 )(xf在 ba,上有最大 值和最小值的条件 .2填空：(1)已知 fsin)(, 21)(f,则 )( 的定义域为 ;(2) 2163limxx;(3) xxsin20)1(li;(4)若 .0,1i)(2xaefx在(- ),上连续， 则 a
12、;(5)设 21lim2bx，则 a , b ;(6)设 )()(af有无穷间断点 0x，有可去间断点 1x,则 a , b.3.选择题：(1)设 .1,0sin)(xxf ，则 )4(f( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) (2)下列函数中，为周期函数的是（ ）(A)x cosx (B)sinx 2 (C)sin x1 (D)sin 2x28(3)设 .0,1,)(xf则 )(xf( ) (A)-f(x) (B) f(-x) (C) 0 (D)f(x)(4) 2cosinlmxx( )(A)振荡不存在 (B) 1 (C) -1 (D) (5)当 0 时，与 x等价的无穷小是（ ）
13、(A) x (B) 2x (C) x 2 (D) 2x 2(6) 2)()1ef的连续范围是（ ）(A) ),(),( (B) ),1(),( (C) 1 (D) 2 4.求下列极限：（1） 1sinlimxx; (2) xxesin102lim;(3) 30si2tali xx.5.已知 1)sin(lim0xxf,求 20)(limxf.6.求函数 )4tan()(xf在区间(0, )内的间断点，并说明是第几类的.7已知 21li2334xbx ,求 a、b 之值.8设 )(f在 a,上连续， i, niti ,210, 1it.证明：至少存在一点b,使 )(1iinxft.9. 设 )(xf对任意实数 满足等式 )(xff, 且 )(f在 0x处连续，证明 )(xf必是常数 .2910. 设 )(xf在 ba,上连续， ).(bfaf,证明存在 ba,，且 2ba,使ff.提示:对辅助函数 F(x)= )(2xff在区间 ,上用闭区间上连续函数的性质基本理论层次30
