1、高等数学第一章习题一、填空1.设 的定义域是 ， ，则复合函数 的定义域为)(xfy1,0(xln)(xfy),1e2. 设 的定义域是1,2,则 的定义域 -1/2,0 。(f3.设 ， 则 的定义域 0，1 。21)(xxf )xf5.设 的定义域为 ，则 的定义域 f),0(tanf Zkk,)4,(6. 已知 ，则 的定义域为 。2sin)(fx)(x2x7. 设 的定义域是 ,则 的定义域f1(xfe,08.设 的定义域是 ,则 的定义域 ()fx0cos)f2,2k9. 0 sinlmx10. 。176253lixx 1765311. xx)(lie12.当 时， 是比 高阶 的无
2、穷小13x13.当 时， 与 为等价无穷小，则0x132axcosa2314.若数列 收敛，则数列 是否有界 有界 。nn15.若 （A 为有限数） ，而 不存在，xf)(lim0 )(lim0xg则 不存在 。)(0gx16.设函数 在点 处连续，则 在点 处是否连续。 （ 不一定 ）)(f0x)(xf017.函数 的间断点是1、2 32xy18. 函数 在 处连续是 在该点处有定义的充分条件；函数 在 处有定义是 在)(f0)(xf )(xf0)(xf该点处有极限的无关条件。 （填：充要，必要，充分，既不充分也不必要，无关） 。19.函数左右极限都存在且相等是函数极限存在的 充要 条件，是
3、函数连续的 必要 条件。（填：充分、必要、充要、既不充分也不必要）21.函数 在区间 内的最小值是 不存在 xy12,22.已知 在 0 处连续，则 2 。,23)ln(si)(xkf k23.设 处处连续，且 ，则 9 )(xf 3)(f )sin(3ilm0xfx24. 是 的第 1 类间断点，且为 跳跃 间断点.ay25. 是 的第 2 类间断点，且为 振荡 间断点.0xxcos226设函数 ,当 0 ， 1 时，函数 在1 ,b)(1)2)1(xaefxab)(xf点 x=1 处连续. 27.在“充分” 、 “必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内：（1）数列 有界是数
4、列 收敛的 必要 条件。数列 收敛是数列 有界的 充分 nxnxnxnx条件。（2） 在 的某一去心邻域内有界是 存在的 必要 条件。 存在是 在()f0 0lim()xf0lim()xf()fx的某一去心邻域内有界的 充分 条件。0x（3） 在 的某一去心邻域内无界是 存在的 必要 条件。 存在是()f0 0li()xf0li()xf在 的某一去心邻域内无界的 充分 条件。x二、选择1.如果 与 存在，则（ C ）.0lim()xf0li()xf（A） 存在且 0()xfx（B） 存在但不一定有0li()xf 00limxf（C） 不一定存在 （D） 一定不存在0lim()xf2.如果 ，
5、，则必有（ D ） 。0 xg0liA、 B、fx0li 0lim0xgfxC、 D、 （k 为非零常数）01lim0xgfx xfx0lim3.当 时，arctgx 的极限（ D ） 。A、 B、 C、 D、不存在，但有界224. （ D ） 。1lixA、 B、 C、=0 D、不存在15.当 时，下列变量中是无穷小量的有（ C ） 。0A、 B、 C、 D、xsinxsin12xxln6. 下列变量在给定的变化过程中是无穷大量的有（ A ） 。A、 B、 C、 D、0lglg132x01xe7.无穷小量是（ C ）.（A）比 0 稍大一点的一个数 （B）一个很小很小的数（C）以 0 为极限
6、的一个变量 （D）常数 08. 如果 都在 点处间断，那么（ D ）)(,xgf0（A） 在 点处间断 （B） 在 点处间断x)(xgf0（C） 在 点处连续 （D） 在 点处可能连续。f 9.已知 ，且 ，那么（ A ）0()limx()1f（A） 在 处不连续。 （B） 在 处连续。f0x()fx0（C） 不存在。 （D）0li()x 0lim1x10.设 ，则 为（ D ）2()43f0li()xf（A） (B)113(C) (D)不存在411.设 则（ C ）0,|)(xxf（A） 在 的极限存在且连续； （B） 在 的极限存在但不连续；)(f )(xf0(C) 在 的左、右极限存在但
7、不相等； （D ） 在 的左、右极限不存在。x12. 设 ，则当 时，有（ B ） 23)(xf 0x（A） 与 是等价无穷小； （B） 与 是同阶但非等价无穷小；)(xf )(xf（C） 是比 高阶的无穷小； （D） 是比 低阶的无穷小。13.当 时，下列四个无穷小量中 ，哪一个是比另外三个更高阶的无穷小（ D ）0（A） ； （B ） ； （C） ；（D） 。2xxcos112xxtan14. 当 时， 是等价无穷小，则： （ C ）a3artn与 a（A） 1 ； （B） 2； （C） 3； （D）1/215 下列运算正确的是（ C ）（A） 01coslim01coslislimcos
8、il 000 xxxxx（B） nta33 (C) = =0 + 100=100)1si(lx1lislixx(D) 55inta三、基本计算题（一求极限）1. xx22lim1.解：12. 22lixx2.解：1 3. 259lim38xx3. 解： 4. )cos1(li0xx4.解： 25. )(sinlm2n5. 解：6. xxcos1i)(li06.解：17. 302sinlimxx7.解： 18. )ln(sitai30xx8.解： 219. xexsinlimi09.解：110.设 时， 是等价无穷小，求 的值1cos)1(312xa与 a10.解： 11 032sintlim1
9、si1xx11 解：312. 210)(seclixx12.解：13. nn1lim13.解 e14. 121)(limxx14 解： e15. 10li 0,3xxabcabc15.解：16. xx)21(lim16.解 ： ln1e17.10lim2arctnttte17. 解：118. )(li284nn18.解：219.设 求 ),1,0)(axf（ )(2)1(lnim2nff19. 解 aln20. 2)1(321(limnn20. 解： 21. 1lin21.解： 1 22. )2(lim22 nn 22.解： 23. 1li0xx23.解：124. xx1)532(lim24.
10、解：5 25. |sin1li410xex25.解： 1（二连续与间断）26. 处 连 续 在之 值 ， 使补 充 定 义 0)()0()0(2tanrcsi)( xffxxf26.解 ,6lm0fx处 连 续 在， 则补 充 定 义 )()(xf27.指出函数 的间断点，并判定其类型.121xy27.解 是函数的第一类间断点（跳跃间断点） 。0x四、综合计算题（一连续与间断）1设 ，讨论 在其定义域内的连续性，若有间断点，指出其类型。21()limnnxfx()fx1. 解 x=1 是第一类跳跃间断点。01)(xf2设 ，试问： 为何值时，使 在 0 处连续？0,2cos)(xaxf a)(
11、xf2. 解： 1。a3已知 ，求 与 的值，1lim2xbx b3.解： 2， 3。b4讨论函数 的连续性，并指明间断点的种类。ysin)4(24.解 当 2 或 0 或 2 时函数无定义故，2、0、2 为间断点x2 为函数的第二类间断点。0 为函数的可去间断点。2 为函数的跳跃间断点。5设 ，应怎样选取数 ， ，才能使 在 1 处连续？1,arcos,1)(2xbxf ab)(xf5.解 ， 0。6讨论函数 的连续性，并指明间断点的种类232xy6.解 当 1 或 2 时函数无定义，故 1 和 2 为函数的间断点，xx1 为函数的可去间断点。2 为函数的第二类间断点。7求极限 ， 记此极限
12、为 ，求函数 的间断点并指出其类型。xtxt sinilm )(xf)(xf7. 解： efsin)(当 时，函数无定义，所以，是函数 的间断点，2,10,k )(f是可去间断点；x，是第二类间断点。8设 ，求函数 的间断点并指出其类型。01,)ln()1xefx )(xf8. 解 是第二类间断点； 是跳跃间断点。1x0x9 1,0)1()(, xxabfba ， 有 可 去 间 断 点有 无 穷 间 断 点的 值 ， 使确 定9.解 0（二已知某些极限，求另外的极限或常数）10若 ， 求 ， 的值2limxabb10.解 ， 4c8,11已知 ，求 。4os1)(li0xfx xxf10)(
13、lim11. 解： 2e12 设 ，试确定 与 的值。2)13(lim2bax ab12. 解： ,913 ).(,1)(li,(li)( 023 xpxxppx 求且是 多 项 式设 13.解： x23（三零点定理、介值定理）14 设 在 上连续。且 ，则必存在 使)(f1,01)(0f ),(f14 解 设 xfF15.设函数 在 上连续， 证明：在 上至少存在一点 ，使得,ba.0,gqbadc ,ba).()(fgqdcqf15.解：利用最值、介值定理16设 在 上连续，且 ，则 ，使得 。x3,1 3)(21ff 3,11)(f16.解：利用最值、介值定理六、提高题（一求极限）1当
14、时，求|x )1()(1)(lim242nxxn 1. 解 原式 xxxnnnn 1)(1limli 222设 求x 21321nxli2.解 )1(3(lim)(lilim1 knnn 2)1(li2n3. xxsitat)(li03.解 xxxx sinta)si(ta)()si()ta(ilin)(0xxxx sinta)(t)si(lmsinta)()(lim00 0tansilm2121co2l12li 303030 xxxx（二零点定理、介值定理）4设 在0, n(n 为自然数， n2)上连续， ，证明：存在 使)(xf )(nf ,01,n。14.解 设 ， 且连续，)(xffF
15、1,0则： ).1()(,)2(3)2(1,0)0( fFfFfF将以上各式相加得 ，nfini另一方面，因为 连续，所以有， )(xf 1,0)(niMim由介值定理知 使iMiFmnnii 1010 )(, ,0n即)()(niff5证明：奇次方程 至少有一个实根 。0122120 nnnaxxa 0a5. 证 不妨设 ，令a 1210)( nxf 则 ， )()( 2102 nnxf )(lim)(li xffxx，又 在 连续,那么，在 上也连续，)(,21XfX(f,21X由零点定理知，至少存在一个 使得 ，即方程,210f至少有一个实根。0220 nnnaxxa6 设 在 内为非负连续函数， ，证明：在 内存在点 ，使得)(f,b bxxn21 ),(bannff )(216. 证设 ， 在 上连续且有最小值 m 和最大值 M，即有 lxFF,1n由介值定xmMmx )()(,)(21 nxFFn)()(21理知，存在 ，使得 ，即,1ba nx)(21，从而 成立。nnxffxf )()(l)(l2 nffxf )()(
