1、第十章 排列、组合和二项式定理网络体系总览 计 数 原 理排 列 数 公 式二 项 式 定 理组 合 数 公 式 通 项 公 式二 项 式 系 数 性 质排 列组 合 排 列 与 组 合组 合 数 性 质考点目标定位1.掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题.2.理解排列与组合的意义，掌握排列数与组合数的计算公式，掌握组合数的两个性质，并能用它们解决一些简单的应用问题.3.掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题.复习方略指南排列与组合是高中数学中，从内容到方法都比较独特的一部分.其重点是在熟练应用公式的基础上，运用两个基本原理，解决
2、计数应用题.二项式定理的重点是二项展开式及通项公式的联系和应用.本章内容高考所占比重不大，经常以选择题、填空题的形式出现，但对思维能力要求较高，在复习中，要注意通过典型例题，掌握分析问题的方法，总结解题规律.10.1 分类计数原理、分步计数原理知识梳理分类计数原理与分步计数原理是计数问题的基本原理，它贯穿于全章学习的始终，体现了解决问题时将其分解的两种常用方法，即把问题分类解决和分步解决，是本章学习的重点.特别提示正确区分和使用两个原理是学好本章的关键，其核心是“完成一件事”是“分类”完成，还是“分步”完成.点击双基1.十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有_种行车路线.A.24 B.16
3、C.12 D.10解析：起点为 C 种可能性，终点为 C 种可能性，因此，行车路线共有 C C =121413 143种.答案：C2.（2002 年全国）从正方体的 6 个面中选取 3 个面，其中有 2 个面不相邻的选法共有A.8 种 B.12 种 C.16 种 D.20 种解析：有 2 个面不相邻即有一组对面，所以选法为 C C =12 种.134答案：B3.某城市的电话号码，由六位升为七位（首位数字均不为零） ，则该城市可增加的电话部数是A.9876543 B.896C.9106 D.81105解析：电话号码是六位数字时，该城市可安装电话 9105 部，同理升为七位时为9106.可增加的电
4、话部数是 9106910 5=81105.答案：D4.72 的正约数（包括 1 和 72）共有_个.解析：72=2 332.2 m3n（0m3，0n2，m ，nN ）都是 72 的正约数 .m 的取法有 4 种，n 的取法有 3 种，由分步计数原理共 34 个.答案：125.（2005 年春季北京，13）从1，0，1，2 这四个数中选三个不同的数作为函数f（x）= ax2+bx+c 的系数，可组成不同的二次函数共有_个，其中不同的偶函数共有_个.（用数字作答）解析：一个二次函数对应着 a、b、c（a0）的一组取值，a 的取法有 3 种，b 的取法有 3 种，c 的取法有 2 种，由分步计数原理
5、，知共有二次函数 332=18 个.若二次函数为偶函数，则 b=0.同上共有 32=6 个.答案：18 6典例剖析【例 1】 电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有 30 封，乙信箱中有 20 封.现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的结果？解：分两类：（1）幸运之星在甲箱中抽，再在两箱中各定一名幸运伙伴，有302920=17400 种结果；（2）幸运之星在乙箱中抽，同理有 201930=11400 种结果.因此共有 17400+11400=28800 种不同结果.评 述 ： 在
6、综 合 运 用 两 个 原 理 时 ， 既 要 合 理 分 类 ， 又 要 合 理 分 步 ， 一 般 情 况 是 先 分 类 再 分 步 .思考讨论本题为什么要先分类？由于幸运之星在哪个信箱产生对幸运伙伴的产生有影响，分步计数原理中步与步间要独立.【例 2】 从集合1，2，3， ，10 中，选出由 5 个数组成的子集，使得这 5 个数中的任何两个数的和不等于 11，这样的子集共有多少个?解：和为 11 的数共有 5 组：1 与 10，2 与 9，3 与 8，4 与 7，5 与 6，子集中的元素不能取自同一组中的两数，即子集中的元素取自 5 个组中的一个数.而每个数的取法有 2 种，所以子集的
7、个数为 22222=25=32.评述：解本题的关键是找出和为 11 的 5 组数，然后再用分步计数原理求解.深化拓展上例中选出 5 个数组成子集改为选出 4 个数呢?答案：C 24=80 个.【例 3】 （2003 年新课程卷）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为 6 个部分（如下图）.现要栽种 4 种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有_种.（以数字作答）12 3 456解法一：从题意来看 6 部分种 4 种颜色的花，又从图形看知必有 2 组同颜色的花，从同颜色的花入手分类求.（1）与同色，则也同色或也同色，所以共有 N1=43221=48 种；（2
8、）与同色，则或同色，所以共有 N2=43221=48 种；（3）与且与同色，则共有 N3=4321=24 种.所以，共有 N=N1+N2+N3=48+48+24=120 种.解法二：记颜色为 A、B、C、D 四色，先安排 1、2、3 有 A 种不同的栽法，不妨设341、2、3 已分别栽种 A、B、C ，则 4、5、6 栽种方法共 5 种，由以下树状图清晰可见.4 5 6CCCCDDDDDBB根据分步计数原理，不同栽种方法有 N=A 5=120.34答案：120评述：解法一是常规解法，解法二安排 4、5、6 时又用了分类和列举的方法.闯关训练夯实基础1.（2004 年全国，文 5）从长度分别为
9、1、2、3、4 的四条线段中，任取三条的不同取法共有 n 种.在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的三角形的个数为 m，则 等于nA.0 B. C. D.41243解析：n=C =4，在“1、2、3、4”这四条线段中，由三角形的性质“两边之和大于34第三边，两边之差小于第三边”知可组成三角形的有“2、3、4” ，m=1. = .n41答案：B2.（2004 年黄冈检测题）某班新年联欢会原定的 6 个节目已排成节目单，开演前又增加了 3 个新节目，如果将这 3 个节目插入节目单中，那么不同的插法种数为A.504 B.210 C.336 D.120解析：三个新节目一个一个插入节目单中，分别有
10、7、8、9 种方法.插法种数为 789=504 或 A A =504.96答案：A3.从 1 到 10 的正整数中，任意抽取两个相加，所得和为奇数的不同情形有_种.解析：当且仅当偶数加上奇数后和为奇数，从而不同情形有 55=25 种.答案：254.从图中的 12 个点中任取 3 个点作为一组，其中可构成三角形的组数是A.208 B.204 C.200 D.196解析：在 12 个点中任取 3 个点的组合数为 C ，在同一直线上的 3 点的组数为 20，312则可构成三角形的组数为 C 20=200.12答案：C5.4 棵柳树和 4 棵杨树栽成一行，柳树、杨树逐一相间的栽法有_种.解析：2A A
11、 =1152 种.答案：11526.（2001 年上海）某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选 2 菜 2 素共 4 种不同的品种.现在餐厅准备了 5 种不同的荤菜，若要保证每位顾客有 200 种以上的不同选择，则餐厅至少还需要不同的素菜品种_种.（结果用数值表示）解析：设素菜 n 种，则 C C 200 n（n1）40，所以 n 的最小值为 7.25n答案：7培养能力7.（2003 年全国）如图，一个地区分为 5 个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色.现有 4 种颜色可供选择，则不同的着色方法共有_种.（以数字作答） 解析：依次染、.故有 C C C C C =
12、72 种.1431231答案：728.（理）设有编号为 1，2，3，4，5 的五个球和编号为 1，2，3，4，5 的五个盒子.现将这五个球投放入这五个盒子内，要求每个盒子内投放一球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法有多少种?分析：五个球分别投放到五个盒子内，恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，则其他三个球必不能投放到与球的编号相同的盒子内，此时，这三个球与对应的三个盒子，就成了受限的特殊元素与特殊位置.解：先在五个球中任选两个球投放到与球编号相同的盒子内，有 C 种；剩下的三个25球，不失一般性，不妨设编号为 3，4，5，投放 3 号球的方法数为 C ，则投放 4，5
13、号球12的方法只有一种，根据分步计数原理共有 C C =20 种 .251评述：本题投放球有两种方法，一种是投入到与编号相同的盒子内，另一种是投入到与编号不同的盒子内，故应分步完成.（文）在所有两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个?分析：在 09 这 10 个数字中，按照题目要求组成的两位数中，个位数字不能为 0 和1，十位数字不能为 0 和 9.也就是说组成两位数的数字可按个位分类或按十位分类来计算.解法一：按个位数字是 2，3，4，5，6，7，8，9 分成 8 类，在每一类中满足条件的两位数分别是 1 个，2 个，3 个，4 个，5 个，6 个，7 个，8 个.则共有 1+2+
14、3+4+7+8=36（个）.解法二：按十位数字是 1，2，3，4，5，6，7，8 分成 8 类，在每一类中满足条件的两位数分别是 8 个，7 个，6 个，5 个，4 个，3 个，2 个，1 个.则共有 8+7+6+5+4+3+2+1=36（个）.评述：在具体分类或分步时，常遇到困难，要多练习，多积累经验，掌握思维方法，逐步做到恰当分类，合理分步.9.五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，报名方法的种数为多少？又他们争夺这四项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少种？解：（1）5 名学生中任一名均可报其中的任一项，因此每个学生都有 4 种报名方法，5 名学生都报了项目才能算完成这一事件.故报名
15、方法种数为 44444=45 种.（2）每个项目只有一个冠军，每一名学生都可能获得其中的一项获军，因此每个项目获冠军的可能性有 5 种.故有 n=5=5 4 种.探究创新10.三边长均为整数，且最大边长为 11 的三角形的个数是多少?解：设较小的两边长为 x、y 且 xy，则 xy11，x+y11，x、yN *.当 x=1 时，y=11；当 x=2 时，y=10，11；当 x=3 时，y=9，10，11；当 x=4 时，y=8，9，10，11；当 x=5 时，y=7，8，9，10，11；当 x=6 时，y=6，7，8，9，10，11；当 x=7 时，y=7，8，9，10，11；当 x=11 时
16、，y=11.所以不同三角形的个数为1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=36.评述：本题关键是列出约束条件，然后寻找 x=1，2，11 时，y 的取值个数的规律，再用分类计数原理求解.思悟小结1.分类计数原理和分步计数原理是解决排列、组合问题的理论基础.这两个原理的本质区别在于分类与分步，分类用分类计数原理，分步用分步计数原理.2.元素能重复的问题往往用计数原理.教师下载中心教学点睛弄清两个原理的区别与联系，是正确使用这两个原理的前提和条件.这两个原理都是指完成一件事而言的.其区别在于：（1）分类计数原理是“分类” ，分步计数原理是“分步” ；（2）分类计数原理中每类办法中的每一种方法都
17、能独立完成一件事，分步计数原理中每步中每种方法都只能做这件事的一步，不能独立完成这件事.拓展题例【例 1】 关于正整数 2160，求：（1）它有多少个不同的正因数？（2）它的所有正因数的和是多少？解：（1）N=2160=2 4335，2160 的正因数为 P=2 3 5 ，其中 =0，1，2，3，4， =0，1，2，3， =0，1.2160 的正因数共有 542=40 个.（2）式子（2 0+21+22+23+24）（3 0+31+32+33）（5 0+51）的展开式就是 40 个正因数.正因数之和为 31406=7440.【例 2】 球台上有 4 个黄球，6 个红球，击黄球入袋记 2 分，击红球入袋记 1 分，欲将此十球中的 4 球击入袋中，但总分不低于 5 分，击球方法有几种？解：设击入黄球 x 个，红球 y 个符合要求，则有 x+y=4，2x+y5（x、yN） ，得 1 x4. .0,4;,3,;3,1相应每组解（x，y ） ，击球方法数分别为 C C ，C C ， C C ，C C .14362463416406共有不同击球方法数为 C C +C C +C C +C C =195.143620
