1、五年级下学期 第 5 讲1第 5 讲 同余的概念和性质解题思路：理解并熟记同余的性质，运用同余性质把数化小、化易。同余定义：若两个整数 a、b 被自然数 m 除有相同的余数，那么称 a、b 对于模 m 同余，用式子表示为：ab（modm）. 性质 1：若 ab（mod m），bc（mod m），那么 ac（mod m），（传递性）。性质 2：若 ab（mod m），cd（mod m），那么 acbd（mod m），（可加减性）。性质 3：若 ab（mod m），cd（mod m），那么 acbd（mod m）（可乘性）。性质 4：若 ab（mod m），那么 anbn（mod m），（其中 n
2、 为自然数）。性质 5：若 acbc（mod m），（c，m）=1，那么 ab（mod m），（记号（c，m ）表示 c 与 m 的最大公约数）。例 1 判定 288 和 214 对于模 37 是否同余，74 与 20 呢？例 2 求乘积 4188141616 除以 13 所得的余数。例 3 求 14389除以 7 的余数。例 4 四盏灯如图所示组成舞台彩灯，且每 30 秒钟灯的颜色改变一次，第一次上下两灯互换颜色，第二次左右两灯互换颜色，第三次又上下两灯互换颜色，这样一直进行下去.请问开灯 1 小时四盏灯的颜色如何排列？五年级下学期 第 5 讲2十位，上的数码，再设 M= ，求证：NM（mo
3、d 9）0ana例 6 求自然数 的个位数字。1021031024习题1.验证对于任意整数 a、b，式子 ab（mod1）成立，并说出它的含义。2.已知自然数 a、b、c，其中 c3，a 除以 c 余 1，b 除以 c 余 2，则 ab 除以 c 余多少？3.1993 年的六月一日是星期二，这一年的十月一日是星期几？4.求 333355555555 3333被 7 除的余数。5.所有自然数如下图排列.问 300 位于哪个字母下面？6. 数 ，被 13 除余多少？7.求 1993100的个位数字.五年级下学期 第 5 讲3第五讲 同余的概念和性质你会解答下面的问题吗？问题 1：今天是星期日，再过
4、 15 天就是“六一”儿童节了，问“六一”儿童节是星期几？这个问题并不难答.因为，一个星期有 7 天，而 157=21，即 1572+1，所以“六一”儿童节是星期一。问题 2：1993 年的元旦是星期五，1994 年的元旦是星期几？这个问题也难不倒我们.因为，1993 年有 365 天，而 365=752+1，所以 1994 年的元旦应该是星期六。问题 1、2 的实质是求用 7 去除某一总的天数后所得的余数.在日常生活中，时常要注意两个整数用某一固定的自然数去除，所得的余数问题.这样就产生了“同余”的概念.如问题 1、2 中的 15 与 365 除以 7 后，余数都是 1，那么我们就说 15
5、与 365 对于模 7 同余。同余定义：若两个整数 a、b 被自然数 m 除有相同的余数，那么称 a、b 对于模 m 同余，用式子表示为：ab（modm）. （*）上式可读作：a 同余于 b，模 m。同余式（*）意味着（我们假设 ab）：a-b=mk，k 是整数，即 m（a-b）.例如：15365（mod7），因为 365-15=350=750。5620（mod9），因为 56-20=3694。900（mod10），因为 90-090=109。由例我们得到启发，a 可被 m 整除，可用同余式表示为：a0（modm）。例如，表示 a 是一个偶数，可以写a0（mod 2）表示 b 是一个奇数，可以
6、写b1（mod 2）五年级下学期 第 5 讲4补充定义：若 m （a-b），就说 a、b 对模 m 不同余，用式子表示是：a b（modm）我们书写同余式的方式，使我们想起等式，而事实上，同余式与等式在其性质上相似.同余式有如下一些性质（其中 a、b、c、d 是整数，而 m 是自然数）。性质 1：aa（mod m），（反身性）这个性质很显然.因为 a-a=0=m0。性质 2：若 ab（mod m），那么 ba（mod m），（对称性）。性质 3：若 ab（mod m），bc（mod m），那么 ac（mod m），（传递性）。性质 4：若 ab（mod m），cd（mod m），那么 acbd
7、（mod m），（可加减性）。性质 5：若 ab（mod m），cd（mod m），那么 acbd（mod m）（可乘性）。性质 6：若 ab（mod m），那么 anb n（mod m），（其中 n 为自然数）。性质 7：若 acbc（mod m），（c，m）=1，那么 ab（mod m），（记号（c，m）表示 c 与 m 的最大公约数）。注意同余式性质 7 的条件（c，m）1，否则像普通等式一样，两边约去，就是错的。例如 610（mod 4），而 3 5（mod 4），因为（2，4）1。请你自己举些例子验证上面的性质。同余是研究自然数的性质的基本概念，是可除性的符号语言。例 1 判定 28
8、8 和 214 对于模 37 是否同余，74 与 20 呢？解：288-214=74=372。288214（mod37）。74-20=54，而 37 54，74 20（mod37）。例 2 求乘积 4188141616 除以 13 所得的余数。分析 若先求乘积，再求余数，计算量太大.利用同余的性质可以使“大数化小”，减少计算量。五年级下学期 第 5 讲5解：4182（mod13），8148（mod13），16164（mod13）， 根据同余的性质 5 可得：41881416162846412（mod13）。答：乘积 4188141616 除以 13 余数是 12。例 3 求 14389除以 7
9、 的余数。分析 同余的性质能使“大数化小”，凡求大数的余数问题首先考虑用同余的性质化大为小.这道题先把底数在同余意义下变小，然后从低次幂入手，重复平方，找找有什么规律。解法 1：1433（mod7）143 893 89（mod 7）8964+16+8+1而 322（mod 7），3 44（mod7），3 8162（mod 7），3 164（mod 7），3 32162（mod 7），3 644（mod 7）。3 893 6431638344235（mod 7），143 895（mod 7）。答：143 89除以 7 的余数是 5。解法 2：证得 143893 89（mod 7）后，3 63 2
10、34241（mod 7），3 84（3 6） 141（mod 7）。3 893 843431435（mod 7）。五年级下学期 第 5 讲6143 895（mod 7）。例 4 四盏灯如图所示组成舞台彩灯，且每 30 秒钟灯的颜色改变一次，第一次上下两灯互换颜色，第二次左右两灯互换颜色，第三次又上下两灯互换颜色，这样一直进行下去.请问开灯 1 小时四盏灯的颜色如何排列？分析 与解答经观察试验我们可以发现，每经过 4 次互换，四盏灯的颜色排列重复一次，而 1 小时=60 分钟=12030 秒，所以这道题实质是求 120 除以 4 的余数，因为1200（mod 4），所以开灯 1 小时四盏灯的颜色
11、排列刚好同一开始一样。十位，上的数码，再设 M=a0a1an，求证：NM（mod 9）。分析 首先把整数 N 改写成关于 10 的幂的形式，然后利用 101（mod 9）。又 11（mod 9），101（mod 9），10 21（mod 9），10 n1（mod 9），上面这些同余式两边分别同乘以 a0、a 1、a 2、a n，再相加得：a 0a 110+a2102+an10na 0a 1a 2a n（mod 9），即 NM（mod 9）.这道例题证明了十进制数的一个特有的性质：五年级下学期 第 5 讲7任何一个整数模 9 同余于它的各数位上数字之和。以后我们求一个整数被 9 除的余数，只要先
12、计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被 9 除的余数即可。例如，求 1827496 被 9 除的余数，只要先求（1+827496），再求和被 9 除的余数。再观察一下上面求和式.我们可以发现，和不一定要求出.因为和式中 18，2+7，9被 9 除都余 0，求余数时可不予考虑.这样只需求 46 被 9 除的余数.因此，1827496 被 9除余数是 1。有人时常利用十进制数的这个特性检验几个数相加、相减、相乘的结果对不对，这种检查方法叫：弃九法。弃九法最经常地是用于乘法.我们来看一个例子。用弃九法检验乘式 5483911749888511 是否正确？因为 54835483112（mod 9）
13、，911791170（mod 9），所以 54839117200（mod 9）。但是 498885114+98+8+85+1+18（mod9），所以 5483911749888511，即乘积不正确。要注意的是弃九法只能知道原题错误或有可能正确，但不能保证一定正确。例如，987598+7+52（mod 9），487348734（mod 9），324756893+2+4+75+6+8+98（mod 9），这时，987548732432475689（mod 9）。但观察个位数字立刻可以判定 9875487332475689.因为末位数字 5 和 3 相乘不可能等于 9。弃九法也可以用来检验除法和乘方
14、的结果。五年级下学期 第 5 讲8例 6 用弃九法检验下面的计算是否正确：2337245873123544。解：把除式转化为：3544731223372458。 354435447（mod 9），731273124（mod 9）， 35447312741（mod 9），但 2337245823387（mod 9）。而 1 7（mod 9） 3544731223372458，即 2337245873123544。例 7 求自然数 210031014102 的个位数字。分析 求自然数的个位数字即是求这个自然数除以 10 的余数问题。解：2 1002 4256 256（mod 10），3 1013
15、425311 25313（mod 10），4 102（2 2） 10042666（mod 10）， 2 1003 1014 1026365（mod 10），即自然数 21003 1014 102的个位数字是 5.习题五1.验证对于任意整数 a、b，式子 ab（mod1）成立，并说出它的含义。2.已知自然数 a、b、c，其中 c3，a 除以 c 余 1，b 除以 c 余 2，则 ab 除以 c 余多少？3.1993 年的六月一日是星期二，这一年的十月一日是星期几？4.求 333355555555 3333被 7 除的余数。五年级下学期 第 5 讲95.所有自然数如下图排列.问 300 位于哪个字
16、母下面？6. 数，被 13 除余多少？（提示：先试除，可知 13|111111，而 19931（mod 6）。7.用弃九法检验下面运算是否正确：845372=315340；1234567891=838114385；11441926132899739459。8.求 1993100的个位数字.习题五解答1.例：1|a-b，23（mod 1），715（mod 1），式子 ab（mod 1）的含义是：任意整数 a、b 对模 1 同余.整数是模 1 的同余类。2.解：a1（mod c），b2（mod c），ab2（mod c）即 ab 除以 c 余 2。3.1993 年的十月一日是星期五。4.解： 33331（mod 7）， 3333 55551（mod 7）。又 55554（mod 7）， 5555 33334 3333（mod 7）。五年级下学期 第 5 讲10而 431（mod 7）， 4 3333（43)11111（mod 7）， 3333 5555+555533331+12（mod 7），即 3333 55555555 3333被 7 除余 2。5.解： 3006（mod 7）。 300 与 6 在同一列，在 D 下面。6.答：余 1。7.不正确；不正确；不正确。8.1.
