1、第3章 线性离散系统数学描述,本章阐述线性定常离散系统的数学描述及其求解方法，它们是分析和设计数字控制系统的基础。,3.1 引言,离散系统（ Discrete system ），又称离散时间系统（Discrete-time system ) 。本章研究线性定常离散系统的数学描述及求解方法，这是分析和综合数控系统的基础。,主要内容： 线性定常离散系统的四种数学模型及其互相转换； 线性定常离散系统的求解方法。,3.2 线性常系数差分方程(时域表达式) Difference equation,3.2.1 差分方程表达式,第一种形式：表示y(kT)与本时刻及前m个时刻输入、前n个时刻 的输出有关，称为
2、n阶常系数差分方程，是在输入输出的最高阶上统一。,3.2.2 差分方程解 =通解+特解通解是齐次方程的解，为零输入解，代表系统在无外力作用下的自由运动，反映了离散系统自身的特性。特解是由非零输入产生的解，对应于非齐次方程的特解，反映了系统在外作用下的强迫运动。差分方程求解有两种方法：解析法与递推法。,解法一：递推法从初始值递推求解,解法二：解析法差分方程通解求法,特解求法试探法，略,对照：连续系统微分方程解析法求通解,3.3 脉冲响应与卷积和,Impulse response convolution summation,反过程：已知离散系统的阶跃响应y(k)，可求得离散系统的脉冲响应h(k)为
3、,3.4 Z变换,3.4.1 Z变换定义,注：若两个信号具有相同的采样点，则其Z变换相同。Z变换存在必须满足收敛性，即上式极限存在。,3.4.2 求Z变换,1 级数求和法根据Z变换定义,2 部分分式法 已知连续信号f(t)的L氏变换F(s)，若可分解为部分分式，则由Z变换表求F(z)。,3 留数计算法,3.4.3 Z变换性质,3 移位定理,回顾：拉氏变换的重要性质,3.4.4 Z反变换,3.4.5 用Z变换法解差分方程 （应用移位定理）,3.5 脉冲传递函数Z传函 （Pulse transfer function）,3.5.1 定义,3.5.2 求Z传递函数,1 已知差分方程，求Z传函。,2
4、已知脉冲响应h*(t)，求Z传函。,3 已知系统的传递函数G(s)，求Z传函（部分分式法）。,注意，由Z变换的定义可知，Z变换与采样周期T 密切相关，在计算中必须考虑T 的影响。,3.5.3 脉冲传递函数中Z的意义,数值积分问题,所谓的差分，即是两相邻采样点输出值之间的差异，对应着数值微分（求导）的近似求法：,采样周期T 越小，数值积分越接近连续积分；,1 前向矩形积分,2 后向矩形积分,对应的数值微分的近似求法后向差分,3 梯形积分,3.6 离散状态空间表达式（时域描述）,3.6.1 一般表达式,对于一定的系统，状态变量的选择不是唯一的，但变量的数目应该是相等的。,式中 n阶状态向量x(k) ，是表征系统内部状态特性的一组变量，n个变量说明系统是n阶的。,3.6.2 由差分方程求状态空间表达式只讨论单输入单输出由差分方程描述的n阶离散系统。,3.6.3 特征方程,同一系统可以选择不同的状态变量，但其特征方程不变。,3.6.4 传递矩阵,3.6.5 离散状态方程求解,1 递推法求解,2 Z变换求解,思考与练习,
