1、 本 科 毕 业 论 文题目 重组图的拉普拉斯谱作 者： 唐 晶 专 业： 数学与应用数学（师范）指导教师： 吕 大 梅 完成日期： 2014 年 5 月 南 通 大 学本 科 毕 业 论 文题目： 重组图的拉普拉斯谱 姓 名： 唐 晶 指导教师： 吕 大 梅 专 业： 数学与应用数学（师范） 南通大学理学院2014 年 5 月南通大学毕业论文I摘 要设 是一个顶点集为 ，边集为 的 阶简单图。用 表EVG,21nvVGEnija示 中 与 之间的边数，称 为 的邻接矩阵，矩阵 的特征值就称为ivj ijaGA)( A的邻接谱，度矩阵 为 的顶点度数构成的对角矩阵。图 的拉普拉斯矩阵定义为：D
2、。Laplace 矩阵的研究是代数图论的重要组成部分。AGL本文着重研究了两个完全图的重组图的 Laplace 谱，然后研究了两个完全图的重组图删去一条边所得的图的 Laplace 谱，通过谱之间的比较得出相应的结论，同时推广研究了个完全图的重组图的情形。p关键词： Laplace 谱，重组图，完全图南通大学毕业论文IIABSTRACTLet be a simple graph with the vertex set and the edge set ),(EVG ,21nvV. We use to express the number of edges between vertex and
3、of , and call)(Eij ijGas the adjacency matrix of , view the eigenvalues of as the adjacency nijaA G)(Aspectrum of . The degree matrix is the diagonal matrix whose i-th diagonal entry is the G)(Ddegree of vertex i in . The Laplace matrix of is given by . The )()(GDLresearch on the characteristics val
4、ue of Laplace matrix , is an important part of algebraic )(Ggraph theory. In this paper, we study the Laplace spectrum of the recombinant graph of two complete graphs, and the Laplace spectrum of the recombinant graph of two complete graphs, furthermore, we obtain some results by comparison. Further
5、more, we study the Laplace spectrum of the recombinant graph of p complete graphs.Key words: Laplace spectrum, recombinant graph, complete graph南通大学毕业论文III目录摘 要 .IABSTRACT .II目录 .III第一章 绪 论 .41.1 引 言 .41.2基本概念及已有结果 .41.3 本文主要结果 .6第二章 重组图的 Laplace谱 .72.1 两个完全图的重组图的 Laplace谱 .72.2 去掉两个完全图的重组图中 Kk内一条边的
6、情况 .92.3 去掉两个完全图的重组图中 内一条边的情况 .12n12.4 去掉两个完全图的重组图中 与 之间的一条边的情况 .14kk12.5 个完全图的重组图的情形 .18p第三章 归 纳 .19参考文献 .20致 谢 .21南通大学毕业论文4第一章 绪 论1.1 引 言图谱理论的主要目标是把图的重要结构性质和它的特征值联系起来，它在图划分、排名、网络病毒传播和聚集等方面都有一些应用1。图的特征值的研究是组合数学的一个重要组成部分。从历史观点上来说，图的谱和结构之间的第一个关系是在 1876 年基尔霍夫证明了他著名的矩阵-树定理时发现的2。图谱理论的主要原理是把图的重要不变量和图谱联系起
7、来。通常，像色数和独立数这样难以计算的不变量，用含特征值的表达式比较它们是很有效的。在1 中，也给出一些图谱和它的结构的关系以及这些关系在图划分、排名、网络病毒传播和聚集等领域的一些实际应用。对于图的特征值的其他应用，可参见1，3，4，5。更多图的特征值的结果，可以看 Cevtkovic et al.的专著6 ，7(邻接矩阵的特征值) ，Mohar 的综述8 （拉普拉斯矩阵的特征值） ，Godsil 和Royle 的专著9 （邻接矩阵和拉普拉斯矩阵的特征值）或者是 Chung 的书10（标准拉普拉斯矩阵的特征值） 。1.2 基本概念及已有结果下面是一些相关定义：定义 1.1：既无环边也无重边的
8、图称为简单图。定义 1.2：任意两点间都有一条边的简单图称为完全图， 阶完全图记为 。nnK定义 1.3：设简单图 都包含一个子图与图 同构，把)2(,21pG 0G的顶点看成是一样的，所得的简单图 称为 基于 的重组图，记pG,21 p,21 0为 。),;(210pA定义 1.4：由一个图删去其顶点的子集,同时删去他们关联的边所得的图，称为这个图的诱导子图。定义 1.5：设图 为简单图，即图 不包含重边与环， 的顶点集为),(EVGGG，顶点的度为 ， 的邻接矩阵为 是一个实对称矩阵，定,1nvVnd,21 nijaA)(义如下： ，当 时，如果顶点 与 相邻，则 ，否则 。0ia),(
9、jiivj 1ij 0ija定义 1.6：图 G 的 Laplace 矩阵定义为： ,其中 为 的顶点度)()(GDL)(D南通大学毕业论文5数构成的对角矩阵，称为度矩阵。定义 1.7：矩阵 的特征值是使得 存在一个非零向量解为 。每一个非零解称AXA为对应特征值 的特征向量。 Laplace 矩阵 的所有特征值称为图 的拉普拉斯)(GLG（Laplace）谱。下给出几个简单图的拉普拉斯谱11。 完全图的拉普拉斯谱： 一个 n-1，n-1 个-1； 完全二部图的拉普拉斯谱：一个 0，n-1 个 m，m-1 个 n，一个 m+n； 圈的拉普拉斯谱：2-2 ；1,2cosj路的拉普拉斯谱：2-2
10、。n拉普拉斯算子矩阵 的特征值按递增顺序列出：)(GL。 和 是 的两个顶点且 ，从 中删除行 和列 得到)()(21Gn ij jiLij矩阵 。)(ijL定理 1.1（矩阵-树定理）2如果 和 是连通图 的两个顶点且 ，则 的生成树的数ijGjiG目等于 的绝对值。另外， 的生成树的数目等于 。)det(ij n2由矩阵-树定理可知： 当且仅当 是连通的，据此，M.Fiedler称 为0)(2G 2的代数连通度，记为 12。Ga现在我们列出图的拉普拉斯矩阵的特征值的一些简单性质 51，第 14 章。定理 1.21 设 为一个简单图。则的拉普拉斯矩阵为半正定矩阵。)(i的拉普拉斯算子的最小特
11、征值 等于 0，它的重数等于 的连通分支数目。G)(1GG图 是连通的当且仅当 。)(i )(2定理 1.31 设 为一任意 n 阶图， 。nRMerris 给出图与其补图 Laplace 谱之间的关系如下：定理 1.41 若 的 Laplace 谱为 ，则G0)()(121 GGnn， 。cini ()(,i定理 1.5 1 若 为偶图， 为 的线图， 的 Laplace 谱为*南通大学毕业论文6， 的邻接谱为 ，若 ，则0121n *Gm21 10ss， ， 。)(*Giisi,2 1n1.3 本文主要结果 本文着重研究了两个完全图的重组图的 Laplace 谱，然后研究了两个完全图的重组
12、图删去一条边所得的图的 Laplace 谱，通过谱之间的比较得出相应的结论，同时推广研究了个完全图的重组图的情形。p南通大学毕业论文7第二章 重组图的 Laplace谱2.1 两个完全图的重组图的 Laplace 谱设 为 Kk 的顶点集。 为连同 共有 个点的完全图，其顶点kvU,.11nkv,.211n集记为 ， 为连同 共有 个点的完全图，其顶点集记为 。设 表示完全2nkv,.212 2UnG图 和 在 Kk 基础上的重组图，即 =（ ， ；K k） ，其中： 。1n2 nG12n k1定理 2.1.1，设重组图 =（ ， ；K k）的 Laplace 谱为 ,则n12 n,21,0434321 1k nk 。211 nnn证明：图 的邻接矩阵为 ,其中： nGknkknAGA210)(，1 代表全 1 矩阵，0 代表全 0 矩阵，其中：iiA0101 。knki21,度矩阵 = ,其中：)(nGDknkD210， ii nnD 10001000011 knki21,Laplace 矩阵南通大学毕业论文8 11010111)()( 221nnnGADLnnn 的特征多项式为)(nGL 1101 0111111)(- 222 nnnnGLn 11122210 000010 00=0011 10 0000nnnnn
