1、1-2 概率、古典概型,一、频率的定义二、概率的统计定义三、概率的公理化定义四、概率的性质五、古典概型六、几何概型,一. 频率,频率(Frequency),频率定义,频率的特性,历史上曾有人做过掷硬币的实验，请看下表:,() 随机波动性； () 稳定性,二概率的统计定义,定义：在相同条件下进行大量重复试验，当试验次数充分大时，事件A的频率将在某个常数p附近摆动,这个常数p称为事件A的概率,记为P(A),即P(A)=p.概率（probability）,由上表可知, 随着试验次数的增加, 正面出现的频率越来越集中在数值0.5附近，我们把频率稳定性的数值称为事件的概率.,1频率的性质,三概率的公理化
2、定义,2概率的公理化定义,定义：设是随机试验E的样本空间，若对中每一个随机事件A都对应一个实数P(A)，使满足：( 1 ) 对每一个事件A，有P(A)1;（非负性）( 2 ) P()=1, P()=0 ;（规范性）,则称P(A)为事件A的概率。,四. 概率的性质,(1) 加法公式:若A与B为互斥事件，则有：P(AB)=P(A)+P(B ) (2)求逆公式: 设A、 互为对立事件，则有：(3)减法公式: 若AB,则 P(AB)=P(A)P(B)P(A)P(B) (4)广义加法公式:P(AB)=P(A)+P(B)P(AB),概率性质说明:,利用概率性质解答下列问题,例1：设P(A)=1/3, P(
3、B)=1/2, 求下列情况下,解答:（1）,练习1：已知AB=；且P(A)=0.2;,求：,解答：,P(B)=0.5 .,练习2：已知P(A)=0.6,P(AB)=0.1且,练习3：,为了学习古典概型，我们先简要复习一下所用到的,一. 加法原理,设完成一件事有m种方式，,第一种方式有n1种方法，,第二种方式有n2种方法,；,第m种方式有nm种方法,无论通过哪种方法都可以完成这件事，,则完成这件事总共 有n1 + n2 + + nm种方法 .,例如，某人要从甲地到乙去,可以乘火车,也可以乘轮船.,火车有两班,轮船有三班,乘坐不同班次的火车和轮船，共有几种方法?,3 + 2 种方法,回答是,二.
4、乘法原理,设完成一件事有m个步骤，,第一个步骤有n1种方法，,第二个步骤有n2种方法,必须通过每一步骤,才算完成这件事，,例如，若一个男人有三顶帽子和两件背心，问他可以有多少种打扮？,可以有 种打扮,当k = n时,称为全排列.,三、排列、组合的几个简单公式,1.不重复排列的计算,排列(permutation, arrangement), 组合(combination),从n个不同元素中取 k（1 k n)个的不同排列数为：,例2、用三面不同颜色的旗子共能打出多少种不同的信号。,例1: 用0,1,2,9共10个符号可以组成多少个不同的四位数。,2.重复排列的计算从n个不同元素中任取 k个（允许
5、重复）（1k n)的不同排列数为：,例如：从装有4张卡片的盒子中有放回地摸取3张, 不同的取法共有4.4.4=43种.,例1、把n个小球放入N个盒子中的不同放法有多少种(nN) ？每个盒子中至多有一个球的放法有多少种？（假定盒子的容量不限）。,3.循环排列的计算从n个不同元素中任取 r个（1r n)的循环排列数为：,说明：将r个不同的元素排在一条封闭的曲线上，若将他们依次（比如按顺时针方向）移动1个位置，2个位置，r-1个位置，则同没有移动时完全一样。也就是说，循环排列只关心元素间的次序，而不关心具体的位置。可见在直线上有r种排列，而在封闭曲线上只有一种排列。,推论：n个元素全取的循环排列数为
6、：,例2、若改为一列，男女相间的不同坐法为多少？,例1、男女同学各四人围坐一张圆桌，约定男女相间，不同的坐法为多少？,例3、若改为一列，且只要求女同学不相间的坐法有多少种？,3.组合(1)不同元素组合数的计算从n个不同元素中取 k个（1kn)的不同组合数为：,例1:在15个同样大小的球中，有10个红的5个白的，从中任取3个的取法有多少？若要求3个球中有2个红的1个白的取法为多少？,分组组合的计算 定理: 把n个不同的元素分成k组,使各组分别组合数为：,例1:一副52张的扑克牌,平均分给4人,每人13张,问有多少种不同的分法?,例2: n双相异的鞋子共2n只，随机地分成n堆，每堆2只，共有多少种
7、不同的分法？若各堆自成一双共有多少种不同的分法？,5. 二项式展开式,说明: 把每双鞋各自绑在一起看成一个物件，再把这n个相异的物件随机地分成n堆，每堆1件，则由上面的定理可得上述结论。,4. 二项式展开式,五、古典概型,1样本空间中只包含有限个样本点，即 =e1,e2,e2,en,2每个样本点ei(i=1,2,3,n)出现的机会相等,定义：把具有下述两个特点的随机试验称为古典概型,古典概型下的概率计算公式:,1、不放回抽样问题 例1：一批产品共100 件，其中5 件次品，现从中任取15件，求（1）恰好取到2件次品的概率； （2）至多取到1件次品的概率。,解：（1）令A=恰好取到2件次品，则,
8、（2）令B=至多取到1件次品，则,2、有放回抽样问题 例2：设袋中有10个球，其中4个红球，6 个白球，从中有放回任取3 个（每次取一个，观察颜色后放回，再取另一个）。 （1）求取到3个白球的概率； （2）求取到“红白红”球的概率； （3）求取到“2红1白”球的概率；,解: (1) A= 取到3个白球 ; P(A)=63/103(2)A=取到“红白红”球;,（3）求取到“2红1白”球的概率；,3、分房问题 例3：设有n个人，每个人都被等可能地分配到N(nN)个房间中去住 ，求下列事件的概率。 （1）指定的n个房间，其中各住一人； （2）恰有n个房间，其中各住一人；(3) 某指定的一个房间中恰有
9、m个人住。,解：（1） A=“指定的n个房间各有一个人住”,（2）A=“恰好有n个房间，其中各有一人住”,4、生日问题例4：某班有50个同学，问至少有两个人的生日在同一天的概率。（假定一年按365天计算）,解：设A=“至少有两个人的生日在同一天”;,=“50个人的生日各不相同”,思考：生日问题某公司有500个人，问至少有一人在10月1日出生的概率。（假定一年按365天计算）,解：设A=“500人中至少有一人在10月1日出生”,=“500人中没有一人在10月1日出生”,5、抽签问题例5：设10 张票中有3 张甲票，10 个同学依次从中任取一张，求第k(1k 10）个同学抽到甲票的概率。,解：A=
10、“第k个同学抽到甲票” 1k 10,6、估计问题 例6：池塘养鱼，为了估计鱼的数量 ，先从池中捞出m条，做上记号放回去，过一段时间，待池塘中的鱼游匀后，再从池中捞出n条，设这n条中作过记号的有k条，试估计池中鱼的数量。,解：设池中有鱼N条，做过记号的鱼占总数的比例为m/N；待鱼游匀后，又捞出的n条鱼中，做过记号的鱼的比例为k/m，若第二次捞出的鱼的数量n很大，则比例k/n与比例m/N近似相等，即,思考：从5双不同的鞋子中任取4只，求这4只鞋子中至少有2只能配成一双的概率。,解：A=4只鞋子中至少有2只能配成一双=4只鞋子全不成双,帕斯卡认为，若不是因故停止赌局而进行下一次的决赛，将会有两种可能
11、情况：第一人赢，并获得64枚全部赌金；或第二人赢，按2：2各分得32枚金币。现在在停局的情况下，第一个人可以这样说：我一定能得32枚金币，即使我下一轮输了，也应将32枚归我。至于另外的32枚，也许你得也许我得，机会是均等的，所以，在给我32枚金币之后，再让我们均分另外的32枚吧。 这样，第一人得48枚，第二人得16枚。,公平分配赌金问题的解答:,费马的解法:由于第一人已得2分，第二人已得1分，离赌博结束最多还要赌2局，其结果有四种可能的情况：I（甲、甲）， II（甲、乙），III（乙、甲），IV（乙、乙），（其中，甲表示第一人获胜，乙表示第二人获胜。）在上述所有四种可能的结果中，除最后一种情况
12、第二人获胜外，其余情况都是第一人获胜。因此公平的分配是第一人分得赌金的3/4.,六、几何概率,定义4 设为一有限区域，其测度为m()(线段的测度为长度,平面区域为面积,空间区域为体积)，G为 中任一区域，其测度为m(G) 。若以A表示“在区域 中随机地取一点，而该点落在区域G中”这一事件，我们称,为事件A发生的几何概率。,G,测度（measure）,例1(P16例10）（会面问题）两人相约7点至8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时就离去，试求两人能会面的概率。,解：设两人到达的时刻分别为x , y，则两人能会面的充要条件为：,G,这是一个几何概型问题，所有可能的结果是边长为60的正方
13、形内的点，能会面的点落在图中阴影里，于是所求概率为：,O 20 60 x,20,60,y,例2：某货运码头仅能容一船卸货，而甲、乙两船在码头卸货时间分别为1小时和2人小时。设甲、乙两船在24小时内的任一时刻随时可能到达，求他们中任何一船都不需要等待码头空出的概率。,解：设甲、乙两船到达的时刻分别为x , y，则两船都不需要等待码头空出的充要条件为：,G,练习：从（0,1）中随机地取两个数，试求下列事件的概率。,（1）两数之和不大于1的概率； （2）两数之积不小于3/16的概率; （3）以上两条同时满足的概率；,G,解：设x, y分别为取自（0,1）中的两个数，则,G,1-2 概率、古典概型小结一、频率的定义二、概率的统计定义三、概率的公理化定义四、概率的性质五、古典概型六、几何概型,
